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小專題(六)　圓的切線的判定方法(教材變式) 例　(教材P75習(xí)題T2)如圖，AB是⊙O的直徑，直線MN過點B，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CBM＝∠A. 求證：MN是⊙O的切線． 【解答】　∵AB是⊙O的直徑， ∴∠C＝90. ∴∠A＋∠ABC＝90. 又∵∠CBM＝∠A， ∴∠CBM＋∠ABC＝90. ∴AB⊥BM.又∵OB是⊙O的半徑， ∴MN是⊙O的切線． 　證明一條直線為圓的切線，主要有以下兩種方法：①直線與圓有公共點：要判斷是不是圓的切線關(guān)鍵看直線和圓是不是有公共點，若有(但沒說唯一)，那么就連出這條半徑，如果能夠證明該直線和這個半徑垂直，就說明直線是圓的切線(簡稱為“連半徑證垂直”)；②不確定直線與圓是否有公共點：若題目中沒有告訴直線和圓有公共點，那就算圓心到直線的距離是不是等于圓的半徑．若等于，則該直線就是圓的切線．(簡稱為“作垂直證半徑”) 1．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60. (1)求∠ABC的度數(shù)； (2)求證：AE是⊙O的切線． 解：(1)∵∠ABC與∠D都是弧AC所對的圓周角， ∴∠ABC＝∠D＝60. (2)證明：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90. ∴∠BAC＝30. ∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝30＋60＝90. ∴BA⊥AE，且OA是⊙O的半徑． ∴AE是⊙O的切線． 2．如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交邊AC于點D，且過點D的⊙O的切線DE平分邊BC，交BC于E.求證：BC是⊙O的切線． 證明：連接OD，OE， ∵O為AB的中點，E為BC的中點， ∴OE為△ABC的中位線． ∴OE∥AC. ∴∠DOE＝∠ODA，∠BOE＝∠A. ∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA.∴∠DOE＝∠BOE(SAS)． ∵OD＝OB，OE＝OE，∴△ODE≌△OBE. ∴∠ODE＝∠OBE. ∵DE是⊙O的切線，∴∠ODE＝∠OBE＝90. ∴OB⊥BC. ∵OB是⊙O的半徑， ∴BC是⊙O的切線． 3．如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D為半圓O的三等分點，過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E.求證：CE為⊙O的切線． 證明：連接OD. ∵點C，D為半圓O的三等分點， ∴∠BOC＝∠BOD. ∵∠BAD＝∠BOD， ∴∠BOC＝∠BAD.∴AE∥OC. ∵AD⊥EC，∴OC⊥EC. ∵OC是⊙O的半徑， ∴CE為⊙O的切線． 4．如圖，AB為⊙O直徑，C是⊙O上一點，CO⊥AB于點O，弦CD與AB相交于點F，過點D作∠CDE，使∠CDE＝∠DFE，交AB的延長線于點E.過點A作⊙O的切線交ED的延長線于點G.求證：GE是⊙O的切線． 證明：連接OD， ∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC. ∵OC⊥AB， ∴∠COF＝90， ∴∠OCD＋∠CFO＝90. ∴∠ODC＋∠CFO＝90. ∵∠EFD＝∠CFO，∠EFD＝∠CDE， ∴∠ODC＋∠CDE＝90. ∴OD⊥GE.又∵OD是⊙O的半徑， ∴GE是⊙O的切線． 5．如圖，O為正方形ABCD對角線AC上一點，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點M，與AB，AD分別相交于點E，F(xiàn).求證：CD與⊙O相切． 證明：連接OM，過點O作ON⊥CD，垂足為N. ∵⊙O與BC相切于點M， ∴OM⊥BC. ∵在正方形ABCD中，AC平分∠BCD， ON⊥CD，OM⊥BC，∴OM＝ON. ∴點N在⊙O上． ∴CD與⊙O相切． 6．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，直線MN經(jīng)過點C，過點A作直線MN的垂線，垂足為D，且∠BAC＝∠CAD. (1)求證：直線MN是⊙O的切線； (2)若CD＝3，∠CAD＝30，求⊙O的半徑． 解：(1)證明：連接OC. ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠ACO. 又∵∠BAC＝∠CAD， ∴∠ACO＝∠CAD. ∴OC∥AD. 又∵AD⊥MN，∴OC⊥MN. ∵OC是⊙O的半徑， ∴直線MN是⊙O的切線． (2)∵在Rt△ACD中，∠CAD＝30，CD＝3， ∴AC＝2CD＝6. ∵∠BAC＝∠CAD，∴∠BAC＝30. ∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90. 在Rt△ACB中，AC＝6，∠BAC＝30， ∴AB＝4，即⊙O的直徑為4. ∴⊙O的半徑為2. 7．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90，∠BAC的平分線交BC于點D，E為AB上的一點，DE＝DC，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D，AB＝5，EB＝3. (1)求證：AC是⊙D的切線； (2)求線段AC的長． 解：(1)證明：過點D作DF⊥AC于點F. ∵∠ABC＝90， ∴AB⊥BC. ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC， ∴BD＝DF.∴點F在⊙D上． ∴AC是⊙D的切線． (2)在Rt△BDE和Rt△FDC中， ∵BD＝DF，DE＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)． ∴EB＝CF. ∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DF⊥AC， ∴AB＝AF. ∴AB＋EB＝AF＋FC， 即AB＋EB＝AC. ∴AC＝5＋3＝8. 8．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，過點A作直線EF. (1)如圖1所示，若AB為⊙O的直徑，要使EF成為⊙O的切線，還需要添加的一個條件是(至少說出兩種)：①∠BAE＝90；②∠EAC＝∠ABC； (2)如圖2所示，若AB不是⊙O的直徑而是弦，且∠CAE＝∠B，EF是⊙O的切線嗎？試證明你的判斷． 　　　 圖1　　　　　　　　　圖2 解：EF是⊙O的切線． 證明：連接AO并延長，交⊙O于點M，連接CM， 則∠ACM＝90，∠M＝∠ABC， 即∠M＋∠CAM＝∠ABC＋∠CAM＝90. ∵∠CAE＝∠ABC， ∴∠CAM＋∠CAE＝90. ∴AE⊥AM. ∵AM為直徑， ∴EF是⊙O的切線．