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xx中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：考點(diǎn)32 尺規(guī)作圖 一．選擇題（共13小題） 1．（xx?襄陽(yáng)）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN分別交BC，AC于點(diǎn)D，E．若AE=3cm，△ABD的周長(zhǎng)為13cm，則△ABC的周長(zhǎng)為（　?。? A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm 【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題． 【解答】解：∵DE垂直平分線段AC， ∴DA=DC，AE=EC=6cm， ∵AB+AD+BD=13cm， ∴AB+BD+DC=13cm， ∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm， 故選：B． 　 2．（xx?河北）尺規(guī)作圖要求：Ⅰ、過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線；Ⅱ、作線段的垂直平分線； Ⅲ、過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線；Ⅳ、作角的平分線． 如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖： 則正確的配對(duì)是（　?。? A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ 【分析】分別利用過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線作法以及線段垂直平分線的作法和過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線、角平分線的作法分別得出符合題意的答案． 【解答】解：Ⅰ、過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線；Ⅱ、作線段的垂直平分線； Ⅲ、過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線；Ⅳ、作角的平分線． 如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖： 則正確的配對(duì)是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ． 故選：D． 　 3．（xx?河南）如圖，已知?AOBC的頂點(diǎn)O（0，0），A（﹣1，2），點(diǎn)B在x軸正半軸上按以下步驟作圖：①以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作弧，分別交邊OA，OB于點(diǎn)D，E；②分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)F；③作射線OF，交邊AC于點(diǎn)G，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（　?。? A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2） 【分析】依據(jù)勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依據(jù)∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，進(jìn)而得出HG=﹣1，可得G（﹣1，2）． 【解答】解：∵?AOBC的頂點(diǎn)O（0，0），A（﹣1，2）， ∴AH=1，HO=2， ∴Rt△AOH中，AO=， 由題可得，OF平分∠AOB， ∴∠AOG=∠EOG， 又∵AG∥OE， ∴∠AGO=∠EOG， ∴∠AGO=∠AOG， ∴AG=AO=， ∴HG=﹣1， ∴G（﹣1，2）， 故選：A． 　 4．（xx?宜昌）尺規(guī)作圖：經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線，下列作圖中正確的是（　?。? A． B． C． D． 【分析】根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)向直線作垂線即可． 【解答】已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C． 求作：AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C． 作法：（1）任意取一點(diǎn)K，使K和C在AB的兩旁． （2）以C為圓心，CK的長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E． （3）分別以D和E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F， （4）作直線CF． 直線CF就是所求的垂線． 故選：B． 　 5．（xx?濰坊）如圖，木工師傅在板材邊角處作直角時(shí)，往往使用“三弧法”，其作法是： （1）作線段AB，分別以A，B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧的交點(diǎn)為C； （2）以C為圓心，仍以AB長(zhǎng)為半徑作弧交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D； （3）連接BD，BC． 下列說(shuō)法不正確的是（　?。? A．∠CBD=30 B．S△BDC=AB2 C．點(diǎn)C是△ABD的外心 D．sin2A+cos2D=1 【分析】根據(jù)等邊三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)一一判斷即可； 【解答】解：由作圖可知：AC=AB=BC， ∴△ABC是等邊三角形， 由作圖可知：CB=CA=CD， ∴點(diǎn)C是△ABD的外心，∠ABD=90， BD=AB， ∴S△ABD=AB2， ∵AC=CD， ∴S△BDC=AB2， 故A、B、C正確， 故選：D． 　 6．（xx?郴州）如圖，∠AOB=60，以點(diǎn)O為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧交OA，OB于C，D兩點(diǎn)；分別以C，D為圓心，以大于CD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P；以O(shè)為端點(diǎn)作射線OP，在射線OP上截取線段OM=6，則M點(diǎn)到OB的距離為（　?。? A．6 B．2 C．3 D． 【分析】直接利用角平分線的作法得出OP是∠AOB的角平分線，再利用直角三角形的性質(zhì)得出答案． 【解答】解：過(guò)點(diǎn)M作ME⊥OB于點(diǎn)E， 由題意可得：OP是∠AOB的角平分線， 則∠POB=60=30， ∴ME=OM=3． 故選：C． 　 7．（xx?臺(tái)州）如圖，在?ABCD中，AB=2，BC=3．以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)P，交CD于點(diǎn)Q，再分別以點(diǎn)P，Q為圓心，大于PQ的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)N，射線CN交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)是（　　） A． B．1 C． D． 【分析】只要證明BE=BC即可解決問(wèn)題； 【解答】解：∵由題意可知CF是∠BCD的平分線， ∴∠BCE=∠DCE． ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD， ∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC， ∴BE=BC=3， ∵AB=2， ∴AE=BE﹣AB=1， 故選：B． 　 8．（xx?嘉興）用尺規(guī)在一個(gè)平行四邊形內(nèi)作菱形ABCD，下列作法中錯(cuò)誤的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根據(jù)菱形的判定和作圖根據(jù)解答即可． 【解答】解：A、由作圖可知，AC⊥BD，且平分BD，即對(duì)角線平分且垂直的四邊形是菱形，正確； B、由作圖可知AB=BC，AD=AB，即四邊相等的四邊形是菱形，正確； C、由作圖可知AB=DC，AD=BC，只能得出ABCD是平行四邊形，錯(cuò)誤； D、由作圖可知對(duì)角線AC平分對(duì)角，可以得出是菱形，正確； 故選：C． 　 9．（xx?昆明）如圖，點(diǎn)A在雙曲線y═（x＞0）上，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B，分別以點(diǎn)O和點(diǎn)A為圓心，大于OA的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于D，E兩點(diǎn)，作直線DE交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)F（0，2），連接AC．若AC=1，則k的值為（　?。? A．2 B． C． D． 【分析】如圖，設(shè)OA交CF于K．利用面積法求出OA的長(zhǎng)，再利用相似三角形的性質(zhì)求出AB、OB即可解決問(wèn)題； 【解答】解：如圖，設(shè)OA交CF于K． 由作圖可知，CF垂直平分線段OA， ∴OC=CA=1，OK=AK， 在Rt△OFC中，CF==， ∴AK=OK==， ∴OA=， 由△FOC∽△OBA，可得==， ∴==， ∴OB=，AB=， ∴A（，）， ∴k=． 故選：B． 　 10．（xx?湖州）尺規(guī)作圖特有的魅力曾使無(wú)數(shù)人沉湎其中．傳說(shuō)拿破侖通過(guò)下列尺規(guī)作圖考他的大臣： ①將半徑為r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)分點(diǎn)； ②分別以點(diǎn)A，D為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，G是兩弧的一個(gè)交點(diǎn)； ③連結(jié)OG． 問(wèn)：OG的長(zhǎng)是多少？ 大臣給出的正確答案應(yīng)是（　?。? A． r B．（1+）r C．（1+）r D． r 【分析】如圖連接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解決問(wèn)題； 【解答】解：如圖連接CD，AC，DG，AG． ∵AD是⊙O直徑， ∴∠ACD=90， 在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30， ∴AC=r， ∵DG=AG=CA，OD=OA， ∴OG⊥AD， ∴∠GOA=90， ∴OG===r， 故選：D． 　 11．（xx?臺(tái)灣）如圖，銳角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙兩人想找一點(diǎn)P，使得∠BPC與∠A互補(bǔ)，其作法分別如下： （甲）以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于P點(diǎn)，則P即為所求； （乙）作過(guò)B點(diǎn)且與AB垂直的直線l，作過(guò)C點(diǎn)且與AC垂直的直線，交l于P點(diǎn)，則P即為所求 對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列敘述何者正確？（　?。? A．兩人皆正確 B．兩人皆錯(cuò)誤 C．甲正確，乙錯(cuò)誤 D．甲錯(cuò)誤，乙正確 【分析】甲：根據(jù)作圖可得AC=AP，利用等邊對(duì)等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定義可知：∠BPC+∠APC=180，根據(jù)等量代換可作判斷； 乙：根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得：∠BPC+∠A=180． 【解答】解：甲：如圖1，∵AC=AP， ∴∠APC=∠ACP， ∵∠BPC+∠APC=180 ∴∠BPC+∠ACP=180， ∴甲錯(cuò)誤； 乙：如圖2，∵AB⊥PB，AC⊥PC， ∴∠ABP=∠ACP=90， ∴∠BPC+∠A=180， ∴乙正確， 故選：D． 　 12．（xx?安順）已知△ABC（AC＜BC），用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點(diǎn)P，使PA+PC=BC，則符合要求的作圖痕跡是 （　?。? A． B． C． D． 【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)分別分得出即可． 【解答】解：A、如圖所示：此時(shí)BA=BP，則無(wú)法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、如圖所示：此時(shí)PA=PC，則無(wú)法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、如圖所示：此時(shí)CA=CP，則無(wú)法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、如圖所示：此時(shí)BP=AP，故能得出PA+PC=BC，故此選項(xiàng)正確； 故選：D． 　 13．（xx?南寧）如圖，△ABC中，AB＞AC，∠CAD為△ABC的外角，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。? A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC 【分析】根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得∠DAE=∠B，進(jìn)而判定AE∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】解：根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得∠DAE=∠B，故A選項(xiàng)正確， ∴AE∥BC，故C選項(xiàng)正確， ∴∠EAC=∠C，故B選項(xiàng)正確， ∵AB＞AC， ∴∠C＞∠B， ∴∠CAE＞∠DAE，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤， 故選：D． 　 二．填空題（共7小題） 14．（xx?南京）如圖，在△ABC中，用直尺和圓規(guī)作AB、AC的垂直平分線，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，連接DE．若BC=10cm，則DE=　5　cm． 【分析】直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出DE是△ABC的中位線，進(jìn)而得出答案． 【解答】解：∵用直尺和圓規(guī)作AB、AC的垂直平分線， ∴D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)， ∴DE是△ABC的中位線， ∴DE=BC=5cm． 故答案為：5． 　 15．（xx?淮安）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=5，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q，過(guò)P、Q兩點(diǎn)作直線交BC于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)是　?。? 【分析】連接AD由PQ垂直平分線段AB，推出DA=DB，設(shè)DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90，根據(jù)AD2=AC2+CD2構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題； 【解答】解：連接AD． ∵PQ垂直平分線段AB， ∴DA=DB，設(shè)DA=DB=x， 在Rt△ACD中，∠C=90，AD2=AC2+CD2， ∴x2=32+（5﹣x）2， 解得x=， ∴CD=BC﹣DB=5﹣=， 故答案為． 　 16．（xx?山西）如圖，直線MN∥PQ，直線AB分別與MN，PQ相交于點(diǎn)A，B．小宇同學(xué)利用尺規(guī)按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧交AN于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D；②分別以C，D為圓心，以大于CD長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠NAB內(nèi)交于點(diǎn)E；③作射線AE交PQ于點(diǎn)F．若AB=2，∠ABP=60，則線段AF的長(zhǎng)為　2?。? 【分析】作高線BG，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)得：BG=1，AG=，可得AF的長(zhǎng)． 【解答】解：∵M(jìn)N∥PQ， ∴∠NAB=∠ABP=60， 由題意得：AF平分∠NAB， ∴∠1=∠2=30， ∵∠ABP=∠1+∠3， ∴∠3=30， ∴∠1=∠3=30， ∴AB=BF，AG=GF， ∵AB=2， ∴BG=AB=1， ∴AG=， ∴AF=2AG=2， 故答案為：2． 　 17．（xx?東營(yíng)）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90，以頂點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線CP交AB于點(diǎn)D．若BD=3，AC=10，則△ACD的面積是　15　． 【分析】作DQ⊥AC，由角平分線的性質(zhì)知DB=DQ=3，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算可得． 【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥AC于點(diǎn)Q， 由作圖知CP是∠ACB的平分線， ∵∠B=90，BD=3， ∴DB=DQ=3， ∵AC=10， ∴S△ACD=?AC?DQ=103=15， 故答案為：15． 　 18．（xx?通遼）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，以大于AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)；②作直線MN交BC于點(diǎn)D，連接AD．若AB=BD，AB=6，∠C=30，則△ACD的面積為　9　． 【分析】只要證明△ABD是等邊三角形，推出BD=AD=DC，可得S△ADC=S△ABD即可解決問(wèn)題； 【解答】解：由作圖可知，MN垂直平分線段AC， ∴DA=DC， ∴∠C=∠DAC=30， ∴∠ADB=∠C+∠DAC=60， ∵AB=AD， ∴△ABD是等邊三角形， ∴BD=AD=DC， ∴S△ADC=S△ABD=62=9， 故答案為9． 　 19．（xx?成都）如圖，在矩形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N；②作直線MN交CD于點(diǎn)E．若DE=2，CE=3，則矩形的對(duì)角線AC的長(zhǎng)為　　． 【分析】連接AE，如圖，利用基本作圖得到MN垂直平分AC，則EA=EC=3，然后利用勾股定理先計(jì)算出AD，再計(jì)算出AC． 【解答】解：連接AE，如圖， 由作法得MN垂直平分AC， ∴EA=EC=3， 在Rt△ADE中，AD==， 在Rt△ADC中，AC==． 故答案為． 　 20．（xx?湖州）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形ABCD的邊為斜邊，向內(nèi)作四個(gè)全等的直角三角形，使四個(gè)直角頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H都是格點(diǎn)，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦圖．例如，在如圖1所示的格點(diǎn)弦圖中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，此時(shí)正方形EFGH的而積為5．問(wèn)：當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形ABCD的邊長(zhǎng)為時(shí)，正方形EFGH的面積的所有可能值是　13或49或9?。ú话?）． 【分析】當(dāng)DG=，CG=2時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=，可得正方形EFGH的面積為13．當(dāng)DG=8，CG=1時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=7，可得正方形EFGH的面積為49．當(dāng)DG=7，CG=4時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=3，可得正方形EFGH的面積為9． 【解答】解：當(dāng)DG=，CG=2時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=，可得正方形EFGH的面積為13． 當(dāng)DG=8，CG=1時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=7，可得正方形EFGH的面積為49． 當(dāng)DG=7，CG=4時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=3，可得正方形EFGH的面積為9． 故答案為13或49或9． 　 三．解答題（共21小題） 21．（xx?廣州）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90，AB＞CD，AD=AB+CD． （1）利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E，連接AE（保留作圖痕跡，不寫作法）； （2）在（1）的條件下， ①證明：AE⊥DE； ②若CD=2，AB=4，點(diǎn)M，N分別是AE，AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BM+MN的最小值． 【分析】（1）利用尺規(guī)作出∠ADC的角平分線即可； （2）①延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于F．只要證明AD=AF，DE=EF，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可解決問(wèn)題； ②作點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)K，連接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．連接MK．由MB=MK，推出MB+MN=KM+MN，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)K、M、N共線，且與KH重合時(shí)，KM+MN的值最小，最小值為KH的長(zhǎng)； 【解答】解：（1）如圖，∠ADC的平分線DE如圖所示． （2）①延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于F． ∵CD∥AF， ∴∠CDE=∠F，∵∠CDE=∠ADE， ∴∠ADF=∠F， ∴AD=AF， ∵AD=AB+CD=AB+BF， ∴CD=BF， ∵∠DEC=∠BEF， ∴△DEC≌△FEB， ∴DE=EF， ∵AD=AF， ∴AE⊥DE． ②作點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)K，連接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．連接MK． ∵AD=AF，DE=EF， ∴AE平分∠DAF，則△AEK≌△AEB， ∴AK=AB=4， 在Rt△ADG中，DG==4， ∵KH∥DG， ∴=， ∴=， ∴KH=， ∵M(jìn)B=MK， ∴MB+MN=KM+MN， ∴當(dāng)K、M、N共線，且與KH重合時(shí)，KM+MN的值最小，最小值為KH的長(zhǎng)， ∴BM+MN的最小值為． 　 22．（xx?廣東）如圖，BD是菱形ABCD的對(duì)角線，∠CBD=75， （1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作AB的垂直平分線EF，垂足為E，交AD于F；（不要求寫作法，保留作圖痕跡） （2）在（1）條件下，連接BF，求∠DBF的度數(shù)． 【分析】（1）分別以A、B為圓心，大于AB長(zhǎng)為半徑畫弧，過(guò)兩弧的交點(diǎn)作直線即可； （2）根據(jù)∠DBF=∠ABD﹣∠ABF計(jì)算即可； 【解答】解：（1）如圖所示，直線EF即為所求； （2）∵四邊形ABCD是菱形， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75，DC∥AB，∠A=∠C． ∴∠ABC=150，∠ABC+∠C=180， ∴∠C=∠A=30， ∵EF垂直平分線線段AB， ∴AF=FB， ∴∠A=∠FBA=30， ∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45． 　 23．（xx?安徽）如圖，⊙O為銳角△ABC的外接圓，半徑為5． （1）用尺規(guī)作圖作出∠BAC的平分線，并標(biāo)出它與劣弧的交點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不寫作法）； （2）若（1）中的點(diǎn)E到弦BC的距離為3，求弦CE的長(zhǎng)． 【分析】（1）利用基本作圖作AE平分∠BAC； （2）連接OE交BC于F，連接OC，如圖，根據(jù)圓周角定理得到=，再根據(jù)垂徑定理得到OE⊥BC，則EF=3，OF=2，然后在Rt△OCF中利用勾股定理計(jì)算出CF=，在Rt△CEF中利用勾股定理可計(jì)算出CE． 【解答】解：（1）如圖，AE為所作； （2）連接OE交BC于F，連接OC，如圖， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE， ∴=， ∴OE⊥BC， ∴EF=3， ∴OF=5﹣3=2， 在Rt△OCF中，CF==， 在Rt△CEF中，CE==． 　 24．（xx?自貢）如圖，在△ABC中，∠ACB=90． （1）作出經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，圓心O在斜邊AB上且與邊AC相切于點(diǎn)E的⊙O（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明） （2）設(shè)（1）中所作的⊙O與邊AB交于異于點(diǎn)B的另外一點(diǎn)D，若⊙O的直徑為5，BC=4；求DE的長(zhǎng)．（如果用尺規(guī)作圖畫不出圖形，可畫出草圖完成（2）問(wèn)） 【分析】（1）作∠ABC的角平分線交AC于E，作EO⊥AC交AB于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OB為半徑畫圓即可解決問(wèn)題； （2）作OH⊥BC于H．首先求出OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得=，解決問(wèn)題； 【解答】解：（1）⊙O如圖所示； （2）作OH⊥BC于H． ∵AC是⊙O的切線， ∴OE⊥AC， ∴∠C=∠CEO=∠OHC=90， ∴四邊形ECHO是矩形， ∴OE=CH=，BH=BC﹣CH=， 在Rt△OBH中，OH==2， ∴EC=OH=2，BE==2， ∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90， ∴△BCE∽△BED， ∴=， ∴=， ∴DE=． 　 25．（xx?北京）下面是小東設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程． 已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P． 求作：直線PQ，使得PQ∥l． 作法：如圖， ①在直線l上取一點(diǎn)A，作射線PA，以點(diǎn)A為圓心，AP長(zhǎng)為半徑畫弧，交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B； ②在直線l上取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合），作射線BC，以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q； ③作直線PQ．所以直線PQ就是所求作的直線． 根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程， （1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡） （2）完成下面的證明． 證明：∵AB=　AP　，CB=　CQ　， ∴PQ∥l（　三角形中位線定理?。ㄌ钔评淼囊罁?jù)）． 【分析】（1）根據(jù)題目要求作出圖形即可； （2）利用三角形中位線定理證明即可； 【解答】（1）解：直線PQ如圖所示； （2）證明：∵AB=AP，CB=CQ， ∴PQ∥l（三角形中位線定理）． 故答案為：AP，CQ，三角形中位線定理； 　 26．（xx?白銀）如圖，在△ABC中，∠ABC=90． （1）作∠ACB的平分線交AB邊于點(diǎn)O，再以點(diǎn)O為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑作⊙O；（要求：不寫做法，保留作圖痕跡） （2）判斷（1）中AC與⊙O的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)果． 【分析】（1）首先利用角平分線的作法得出CO，進(jìn)而以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作⊙O即可； （2）利用角平分線的性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)而求出即可． 【解答】解：（1）如圖所示： ； （2）相切；過(guò)O點(diǎn)作OD⊥AC于D點(diǎn)， ∵CO平分∠ACB， ∴OB=OD，即d=r， ∴⊙O與直線AC相切， 　 27．（xx?無(wú)錫）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4）． （1）請(qǐng)用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作一條直線AC，它與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)C，且使∠ABC=90，△ABC與△AOC的面積相等．（作圖不必寫作法，但要保留作圖痕跡．） （2）問(wèn)：（1）中這樣的直線AC是否唯一？若唯一，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不唯一，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出所有這樣的直線AC，并寫出與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式． 【分析】（1）①作線段OB的垂直平分線AC，滿足條件，②作矩形OA′BC′，直線A′C′，滿足條件； （2）分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題； 【解答】（1）解：如圖△ABC即為所求； （2）解：這樣的直線不唯一． ①作線段OB的垂直平分線AC，滿足條件，此時(shí)直線的解析式為y=﹣x+． ②作矩形OA′BC′，直線A′C′，滿足條件，此時(shí)直線A′C′的解析式為y=﹣x+4． 　 28．（xx?孝感）如圖，△ABC中，AB=AC，小聰同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成了如下操作： ①作∠BAC的平分線AM交BC于點(diǎn)D； ②作邊AB的垂直平分線EF，EF與AM相交于點(diǎn)P； ③連接PB，PC． 請(qǐng)你觀察圖形解答下列問(wèn)題： （1）線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系是　PA=PB=PC??； （2）若∠ABC=70，求∠BPC的度數(shù)． 【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得：PA=PB=PC； （2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得：∠ABC=∠ACB=70，由三角形的內(nèi)角和得：∠BAC=180﹣270=40，由角平分線定義得：∠BAD=∠CAD=20，最后利用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論． 【解答】解：（1）如圖，PA=PB=PC，理由是： ∵AB=AC，AM平分∠BAC， ∴AD是BC的垂直平分線， ∴PB=PC， ∵EP是AB的垂直平分線， ∴PA=PB， ∴PA=PB=PC； 故答案為：PA=PB=PC； （2）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=70， ∴∠BAC=180﹣270=40， ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=20， ∵PA=PB=PC， ∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20， ∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20+40+20=80． 　 29．（xx?深圳）已知菱形的一個(gè)角與三角形的一個(gè)角重合，然后它的對(duì)角頂點(diǎn)在這個(gè)重合角的對(duì)邊上，這個(gè)菱形稱為這個(gè)三角形的親密菱形，如圖，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45，以點(diǎn)C為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作AD，再分別以點(diǎn)A和點(diǎn)D為圓心，大于AD長(zhǎng)為半徑作弧，交EF于點(diǎn)B，AB∥CD． （1）求證：四邊形ACDB為△FEC的親密菱形； （2）求四邊形ACDB的面積． 【分析】（1）根據(jù)折疊和已知得出AC=CD，AB=DB，∠ACB=∠DCB，求出AC=AB，根據(jù)菱形的判定得出即可； （2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，求出菱形的邊長(zhǎng)和高，根據(jù)菱形的面積公式求出即可． 【解答】（1）證明：∵由已知得：AC=CD，AB=DB， 由已知尺規(guī)作圖痕跡得：BC是∠FCE的角平分線， ∴∠ACB=∠DCB， 又∵AB∥CD， ∴∠ABC=∠DCB， ∴∠ACB=∠ABC， ∴AC=AB， 又∵AC=CD，AB=DB， ∴AC=CD=DB=BA∴四邊形ACDB是菱形， ∵∠ACD與△FCE中的∠FCE重合，它的對(duì)角∠ABD頂點(diǎn)在EF上， ∴四邊形ACDB為△FEC的親密菱形； （2）解：設(shè)菱形ACDB的邊長(zhǎng)為x， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB∥CE， ∴∠FAB=∠FCE，∠FBA=∠E， △EAB∽△FCE 則：， 即， 解得：x=4， 過(guò)A點(diǎn)作AH⊥CD于H點(diǎn)， ∵在Rt△ACH中，∠ACH=45， ∴， ∴四邊形ACDB的面積為：． 　 30．（xx?貴港）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）．如圖，已知∠α和線段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠C=90，AB=a． 【分析】根據(jù)作一個(gè)角等于已知角，線段截取以及垂線的尺規(guī)作法即可求出答案． 【解答】解：如圖所示， △ABC為所求作 　 31．（xx?江西）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E為AB的中點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺分別按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）． （1）在圖1中，畫出△ABD的BD邊上的中線； （2）在圖2中，若BA=BD，畫出△ABD的AD邊上的高． 【分析】（1）連接EC，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可； （2）連接EC，ED，F(xiàn)A，利用三角形重心的性質(zhì)解答即可． 【解答】解：（1）如圖1所示，AF即為所求： （2）如圖2所示，BH即為所求． 　 32．（xx?青島）已知：如圖，∠ABC，射線BC上一點(diǎn)D． 求作：等腰△PBD，使線段BD為等腰△PBD的底邊，點(diǎn)P在∠ABC內(nèi)部，且點(diǎn)P到∠ABC兩邊的距離相等． 【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題． 【解答】解：∵點(diǎn)P在∠ABC的平分線上， ∴點(diǎn)P到∠ABC兩邊的距離相等（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）， ∵點(diǎn)P在線段BD的垂直平分線上， ∴PB=PD（線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）， 如圖所示： 　 33．（xx?寧波）在53的方格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上． （1）在圖1中畫出線段BD，使BD∥AC，其中D是格點(diǎn)； （2）在圖2中畫出線段BE，使BE⊥AC，其中E是格點(diǎn)． 【分析】（1）將線段AC沿著AB方向平移2個(gè)單位，即可得到線段BD； （2）利用23的長(zhǎng)方形的對(duì)角線，即可得到線段BE⊥AC． 【解答】解：（1）如圖所示，線段BD即為所求； （2）如圖所示，線段BE即為所求． 　 34．（xx?河南）如圖，反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象過(guò)格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）P． （1）求反比例函數(shù)的解析式； （2）在圖中用直尺和2B鉛筆畫出兩個(gè)矩形（不寫畫法），要求每個(gè)矩形均需滿足下列兩個(gè)條件： ①四個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，且其中兩個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn)O，點(diǎn)P； ②矩形的面積等于k的值． 【分析】（1）將P點(diǎn)坐標(biāo)代入y=，利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式； （2）根據(jù)矩形滿足的兩個(gè)條件畫出符合要求的兩個(gè)矩形即可． 【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象過(guò)格點(diǎn)P（2，2）， ∴k=22=4， ∴反比例函數(shù)的解析式為y=； （2）如圖所示： 矩形OAPB、矩形OCDP即為所求作的圖形． 　 35．（xx?金華）如圖，在66的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上．試在各網(wǎng)格中畫出頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，面積為6，且符合相應(yīng)條件的圖形． 【分析】利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題即可； 【解答】解：符合條件的圖形如圖所示： 　 36．（xx?濟(jì)寧）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，某數(shù)學(xué)小組探究求環(huán)形花壇（如圖所示）面積的方法，現(xiàn)有以下工具；①卷尺；②直棒EF；③T型尺（CD所在的直線垂直平分線段AB）． （1）在圖1中，請(qǐng)你畫出用T形尺找大圓圓心的示意圖（保留畫圖痕跡，不寫畫法）； （2）如圖2，小華說(shuō)：“我只用一根直棒和一個(gè)卷尺就可以求出環(huán)形花壇的面積，具體做法如下： 將直棒放置到與小圓相切，用卷尺量出此時(shí)直棒與大圓兩交點(diǎn)M，N之間的距離，就可求出環(huán)形花壇的面積”如果測(cè)得MN=10m，請(qǐng)你求出這個(gè)環(huán)形花壇的面積． 【分析】（1）直線CD與C′D′的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)O． （2）設(shè)切點(diǎn)為C，連接OM，OC．旅游勾股定理即可解決問(wèn)題； 【解答】解：（1）如圖點(diǎn)O即為所求； （2）設(shè)切點(diǎn)為C，連接OM，OC． ∵M(jìn)N是切線， ∴OC⊥MN， ∴CM=CN=5， ∴OM2﹣OC2=CM2=25， ∴S圓環(huán)=π?OM2﹣π?OC2=25π． 　 37．（xx?廣安）下面有4張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉蟹謩e畫出符合要求的圖形，所畫圖形各頂點(diǎn)必須與方格紙中小正方形的頂點(diǎn)重合，具體要求如下： （1）畫一個(gè)直角邊長(zhǎng)為4，面積為6的直角三角形． （2）畫一個(gè)底邊長(zhǎng)為4，面積為8的等腰三角形． （3）畫一個(gè)面積為5的等腰直角三角形． （4）畫一個(gè)邊長(zhǎng)為2，面積為6的等腰三角形． 【分析】（1）利用三角形面積求法以及直角三角形的性質(zhì)畫即可； （2）利用三角形面積求法以及等腰三角形的性質(zhì)畫出即可． （3）利用三角形面積求法以及等腰直角三角形的性質(zhì)畫出即可； （4）利用三角形面積求法以及等腰三角形的性質(zhì)畫出即可． 【解答】解：（1）如圖（1）所示： （2）如圖（2）所示： （3）如圖（3）所示； （4）如圖（4）所示． 　 38．（xx?青島）問(wèn)題提出：用若干相同的一個(gè)單位長(zhǎng)度的細(xì)直木棒，按照如圖1方式搭建一個(gè)長(zhǎng)方體框架，探究所用木棒條數(shù)的規(guī)律． 問(wèn)題探究： 我們先從簡(jiǎn)單的問(wèn)題開(kāi)始探究，從中找出解決問(wèn)題的方法． 探究一 用若干木棒來(lái)搭建橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n的矩形框架（m、n是正整數(shù)），需要木棒的條數(shù)． 如圖①，當(dāng)m=1，n=1時(shí)，橫放木棒為1（1+1）條，縱放木棒為（1+1）1條，共需4條； 如圖②，當(dāng)m=2，n=1時(shí)，橫放木棒為2（1+1）條，縱放木棒為（2+1）1條，共需7條； 如圖③，當(dāng)m=2，n=2時(shí)，橫放木棒為2（2+1））條，縱放木棒為（2+1）2條，共需12條；如圖④，當(dāng)m=3，n=1時(shí)，橫放木棒為3（1+1）條，縱放木棒為（3+1）1條，共需10條； 如圖⑤，當(dāng)m=3，n=2時(shí)，橫放木棒為3（2+1）條，縱放木棒為（3+1）2條，共需17條． 問(wèn)題（一）：當(dāng)m=4，n=2時(shí)，共需木棒　22　條． 問(wèn)題（二）：當(dāng)矩形框架橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n時(shí)，橫放的木棒為　m（n+1）　條， 縱放的木棒為　n（m+1）　條． 探究二 用若干木棒來(lái)搭建橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n，高是s的長(zhǎng)方體框架（m、n、s是正整數(shù)），需要木棒的條數(shù)． 如圖⑥，當(dāng)m=3，n=2，s=1時(shí)，橫放與縱放木棒之和為[3（2+1）+（3+1）2]（1+1）=34條，豎放木棒為（3+1）（2+1）1=12條，共需46條； 如圖⑦，當(dāng)m=3，n=2，s=2時(shí)，橫放與縱放木棒之和為[3（2+1）+（3+1）2]（2+1）=51條，豎放木棒為（3+1）（2+1）2=24條，共需75條； 如圖⑧，當(dāng)m=3，n=2，s=3時(shí)，橫放與縱放木棒之和為[3（2+1）+（3+1）2]（3+1）=68條，豎放木棒為（3+1）（2+1）3=36條，共需104條． 問(wèn)題（三）：當(dāng)長(zhǎng)方體框架的橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n，高是s時(shí)，橫放與縱放木棒條數(shù)之和為　[m（n+1）+n（m+1）]（s+1）　條，豎放木棒條數(shù)為?。╩+1）（n+1）s　條． 實(shí)際應(yīng)用：現(xiàn)在按探究二的搭建方式搭建一個(gè)縱長(zhǎng)是2、高是4的長(zhǎng)方體框架，總共使用了170條木棒，則這個(gè)長(zhǎng)方體框架的橫長(zhǎng)是　4?。? 拓展應(yīng)用：若按照如圖2方式搭建一個(gè)底面邊長(zhǎng)是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒　1320　條． 【分析】從特殊到一般探究規(guī)律后利用規(guī)律即可解決問(wèn)題； 【解答】解：?jiǎn)栴}（一）：當(dāng)m=4，n=2時(shí)，橫放木棒為4（2+1）條，縱放木棒為（4+1）2條，共需22條； 問(wèn)題（二）：當(dāng)矩形框架橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n時(shí)，橫放的木棒為 m（n+1）條，縱放的木棒為n（m+1）條； 問(wèn)題（三）：當(dāng)長(zhǎng)方體框架的橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n，高是s時(shí)，橫放與縱放木棒條數(shù)之和為[m（n+1）+n（m+1）]（s+1）條，豎放木棒條數(shù)為（m+1）（n+1）s條． 實(shí)際應(yīng)用：這個(gè)長(zhǎng)方體框架的橫長(zhǎng)是 s，則：[3m+2（m+1）]5+（m+1）34=170，解得m=4， 拓展應(yīng)用：若按照如圖2方式搭建一個(gè)底面邊長(zhǎng)是10，高是5的正三棱柱框架，橫放與縱放木棒條數(shù)之和為1656=990條，豎放木棒條數(shù)為665=330條需要木棒1320條． 故答案為22，m（n+1），n（m+1），[m（n+1）+n（m+1）]（s+1），（m+1）（n+1）s，4，1320； 　 39．（xx?香坊區(qū)）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1的方格紙中，有線段AB和線段CD，點(diǎn)A、B、C、D均在小正方形的頂點(diǎn)上． （1）在方格紙中畫出以AB為斜邊的等腰直角三角形ABE，點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上； （2）在方格紙中畫出以CD為對(duì)角線的矩形CMDN（頂點(diǎn)字母按逆時(shí)針順序），且面積為10，點(diǎn)M、N均在小正方形的頂點(diǎn)上； （3）連接ME，并直接寫出EM的長(zhǎng)． 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)畫出即可； （2）利用矩形的性質(zhì)畫出即可； （3）根據(jù)勾股定理解答即可． 【解答】解：（1）如圖所示； （2）如圖所示； （3）如圖所示，EM= 　 40．（xx?天門）圖①、圖②都是由邊長(zhǎng)為1的小菱形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)O，M，N，A，B均在格點(diǎn)上，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺在網(wǎng)格中完成下列畫圖． （1）在圖①中，畫出∠MON的平分線OP； （2）在圖②中，畫一個(gè)Rt△ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上． 【分析】（1）構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題； （2）利用菱形以及平行線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題； 【解答】解：（1）如圖所示，射線OP即為所求． （2）如圖所示，點(diǎn)C即為所求； 　 41．（xx?哈爾濱）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上． （1）在圖中畫出以線段AB為一邊的矩形ABCD（不是正方形），且點(diǎn)C和點(diǎn)D均在小正方形的頂點(diǎn)上； （2）在圖中畫出以線段AB為一腰，底邊長(zhǎng)為2的等腰三角形ABE，點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上，連接CE，請(qǐng)直接寫出線段CE的長(zhǎng)． 【分析】（1）利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題即可； （2）利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題即可； 【解答】解：（1）如圖所示，矩形ABCD即為所求； （2）如圖△ABE即為所求，CE=4．