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第二十五章 25.3用頻率估計概率 知識點1：利用頻率估計概率 一般地,在大量重復(fù)試驗中,如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近,那么這個常數(shù)p就叫做事件A發(fā)生的概率,記作P(A)=p. 頻率估計概率的適用對象:當(dāng)試驗的可能結(jié)果不是有限個,或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時,可通過統(tǒng)計頻率來估計概率.根據(jù)大量重復(fù)試驗,某一事件發(fā)生的頻率越來越穩(wěn)定于某個常數(shù),可將這個常數(shù)看作該事件發(fā)生的概率. 關(guān)鍵提醒:概率是事件在大量重復(fù)試驗中頻率逐漸穩(wěn)定的值,即用大量重復(fù)試驗中事件發(fā)生的頻率去估計得到事件發(fā)生的概率,但大量試驗反映的規(guī)律并非在每一次試驗中一定存在,如拋硬幣10次,并不一定是正面、反面各5次. 知識點2：設(shè)計模擬試驗 通過試驗預(yù)測某事件的概率時,當(dāng)試驗的所有可能不是有限個,或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時,要通過頻率來估計概率,也就是說,要借助試驗法得到相應(yīng)的概率,如試驗遇到找不到相應(yīng)的實物或用實物進行試驗困難較大的情況下,其有效方法是: (1)尋找滿足條件的替代物做模擬試驗;(2)用計算器產(chǎn)生隨機整數(shù)的方法進行模擬試驗. 知識點3：用統(tǒng)計頻(概)率解決實際問題 實際問題中的試驗一般不屬于各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等的類型,所以先用頻率去估計概率,然后根據(jù)估計的概率解決相關(guān)問題. 歸納整理:(1)在隨機試驗中,由于眾多微小的偶然因素的影響,每次測得的結(jié)果不盡相同(具有偶然性),但大量重復(fù)試驗所得結(jié)果卻能反映規(guī)律. (2)在做大量重復(fù)試驗時,可以根據(jù)概率要達(dá)到的精度來確定數(shù)據(jù)表中頻率保留的數(shù)位.一般用頻率估計出來的概率要比數(shù)據(jù)表中的頻率保留的數(shù)位要少. 考點1：利用頻率估計概率 【例1】從某玉米種子中抽取6批,在同一條件下進行發(fā)芽試驗,有關(guān)數(shù)據(jù)如下: 種子粒數(shù) 100 400 800 1000 2000 5000 發(fā)芽種子粒數(shù) 85 398 652 793 1604 4005 發(fā)芽頻率 0.850 0.745 0.851 0.793 0.802 0.801 根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以估計,該玉米種子發(fā)芽的概率約為　　　　(精確到0.1). 答案:0.8. 點撥:從左到右,當(dāng)試驗種子的粒數(shù)很多時,種子的發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定于0.8左右,即種子的發(fā)芽的概率為0.8. 考點2：設(shè)計模擬試驗求概率 【例2】把圖中的3張紙片放在盒子里攪勻,任取2張,看是拼成房子(正方形和三角形)還是拼成菱形(兩個三角形). 苗苗記錄了她做這個游戲的情況,并繪制了如下的表格: 拼圖次數(shù) 10 20 30 40 50 60 80 100 拼成房子的次數(shù) 7 13 19 27 34 40 53 67 拼成房子的頻率 (1)計算拼成房子的頻率并填表,估計能拼成房子的概率是多少?(結(jié)果保留三位有效數(shù)字) (2)如果你身邊沒有這樣的硬紙片,你能設(shè)計一個模擬試驗嗎?說說你的方案. 解:(1)表格中拼成房子的頻率依次為: 0.700,0.650,0.633,0.675,0.680,0.667,0.663,0.670. 可以看出,隨著試驗次數(shù)的增多,拼成房子的頻率穩(wěn)定在0.666左右,從而估計出任意抽取2張拼成房子的概率是0.666. (2)模擬試驗方案:一個不透明的袋子里裝有1只紅球和2只白球,這些球除顏色外沒有其他區(qū)別,從中隨機摸出兩只球,兩只球顏色不同代表拼成房子,顏色相同代表拼成菱形. 點撥:本題涉及用頻率估計概率及模擬試驗的設(shè)計.(1)解答時表格中的頻率可以直接求得,估計概率要注意隨著試驗次數(shù)的增多,頻率穩(wěn)定在哪個常數(shù)附近;(2)模擬試驗的方法很多,關(guān)鍵是注意試驗的條件要相同. 考點3：利用頻率求概率解決實際問題 【例2】某工廠封裝圓珠筆的箱子,每箱只裝2000枝,在一次封裝時,誤把一些已作標(biāo)記的不合格的圓珠筆也裝入箱里,若隨機拿出100枝圓珠筆,共做10次試驗,100枝中不合格的圓珠筆的平均數(shù)是5,你能估計箱子里混入多少不合格的圓珠筆嗎?若每枝合格圓珠筆的利潤為0.05元,而發(fā)現(xiàn)不合格品要退貨并每枝賠償商店1.00元,你能根據(jù)你的估計推算出這箱圓珠筆是虧損還是盈利?虧損,損失多少元?盈利,利潤是多少? 解:因為每100枝平均有5枝不合格,所以有20001005=100,故可估計整箱平均有100枝不合格,1900枝合格.賠償1001=100(元),利潤19000.5=950(元),總的盈利950-100=850(元),所以這箱圓珠筆盈利,共盈利850元. 點撥:利用平均概率可估計出共有多少枝不合格的商品,即可推算出虧損還是盈利.