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課題: 25.2 列舉法求概率 教學目標： 知識與技能目標 學習用列表法、畫樹形圖法計算概率，并通過比較概率大小作出合理的決策。 過程與方法目標 經(jīng)歷實驗、列表、統(tǒng)計、運算、設(shè)計等活動，學生在具體情境中分析事件，計算其發(fā)生的概率。滲透數(shù)形結(jié)合，分類討論，由特殊到一般的思想，提高分析問題和解決問題的能力。 情感與態(tài)度目標 通過豐富的數(shù)學活動，交流成功的經(jīng)驗，體驗數(shù)學活動充滿著探索和創(chuàng)造，體會數(shù)學的應用價值，培養(yǎng)積極思維的學習習慣。 教學重點： 習運用列表法或樹形圖法計算事件的概率。 教學難點： 能根據(jù)不同情況選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行列舉，解決較復雜事件概率的計算問題。 教學過程 1.創(chuàng)設(shè)情景，發(fā)現(xiàn)新知 教材是通過的例5、例6來介紹列表法和樹形圖法的。 例5（教材：同時擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，計算下列事件的概率： (1) 兩個骰子的點數(shù)相同； (2) 兩個骰子的點數(shù)的和是9； (3) 至少有一個骰子的點數(shù)為2。 這個例題難度較大，事件可能出現(xiàn)的結(jié)果有36種。若首先就拿這個例題給學生講解，大多數(shù)學生理解起來會比較困難。所以在這里，我將新課的引入方式改為了一個有實際背景的轉(zhuǎn)盤游戲（前一課已有例２作基礎(chǔ)）。 （1）創(chuàng)設(shè)情景 引例：為活躍聯(lián)歡晚會的氣氛，組織者設(shè)計了以下轉(zhuǎn)盤游戲：A、B兩個帶指針的轉(zhuǎn)盤分別被分成三個面積相等的扇形，轉(zhuǎn)盤A上的數(shù)字分別是1，6，8，轉(zhuǎn)盤B上的數(shù)字分別是4，5，7（兩個轉(zhuǎn)盤除表面數(shù)字不同外，其他完全相同）。每次選擇2名同學分別撥動A、B兩個轉(zhuǎn)盤上的指針，使之產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，指針停止后所指數(shù)字較大的一方為獲勝者，負者則表演一個節(jié)目（若箭頭恰好停留在分界線上，則重轉(zhuǎn)一次）。作為游戲者，你會選擇哪個裝置呢？并請說明理由。 1 6 8 A 4 5 7 B 圖2 聯(lián)歡晚會游戲轉(zhuǎn)盤 【設(shè)計意圖】 選用這個引例，是基于以下考慮：以貼近學生生活的聯(lián)歡晚會為背景，創(chuàng)設(shè)轉(zhuǎn)盤游戲引入，能在最短時間內(nèi)激發(fā)學生的興趣，引起學生高度的注意力，進入情境。 （2）學生分組討論，探索交流 在這個環(huán)節(jié)里，首先要求學生分組討論，探索交流。然后引導學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即： “停止轉(zhuǎn)動后，哪個轉(zhuǎn)盤指針所指數(shù)字較大的可能性更大呢？” 由于事件的隨機性，我們必須考慮事件發(fā)生概率的大小。此時我首先引導學生觀看轉(zhuǎn)盤動畫，同學們會發(fā)現(xiàn)這個游戲涉及A、B兩轉(zhuǎn)盤， 即涉及2個因素，與前一課所講授單轉(zhuǎn)盤概率問題（教材P148例2）相比，可能產(chǎn)生的結(jié)果數(shù)目增多了，列舉時很容易造成重復或遺漏。怎樣避免這個問題呢？ 實際上，可以將這個游戲分兩步進行。 于是，指導學生構(gòu)造表格 （3）指導學生構(gòu)造表格 A B 4 5 7 1 6 8 首先考慮轉(zhuǎn)動A盤：指針可能指向1，6，8三個數(shù)字中的任意一個，可能出現(xiàn)的結(jié)果就會有3個。接著考慮轉(zhuǎn)動B盤：當A盤指針指向1時，B盤指針可能指向4、5、7三個數(shù)字中的任意一個，這是列舉法的簡單情況。當A盤指針指向6或8時，B盤指針同樣可能指向4、5、7三個數(shù)字中的任意一個。一共會產(chǎn)生9種不同的結(jié)果。 【設(shè)計意圖】　這樣既分散了難點，又激發(fā)了學生興趣，滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。 （4）學生獨立填寫表格，通過觀察與計算，得出結(jié)論（即列表法） A B 4 5 7 1 （1，4） （1，5） （1，7） 6 （6，4） （6，5） （6，7） 8 （8，4） （8，5） （8，7） 從表中可以發(fā)現(xiàn)：A盤數(shù)字大于B盤數(shù)字的結(jié)果共有5種。 ∴P(A數(shù)較大)= , P(B數(shù)較大)=. ∴P(A數(shù)較大)＞ P(B數(shù)較大) ∴選擇A裝置的獲勝可能性較大。 在學生填寫表格過程中，注意向?qū)W生強調(diào)數(shù)對的有序性。 由于游戲是分兩步進行的，我們也可用其他的方法來列舉。即先轉(zhuǎn)動Ａ盤，可能出現(xiàn)1，6，8三種結(jié)果；第二步考慮轉(zhuǎn)動Ｂ盤，可能出現(xiàn)4，5，7三種結(jié)果。 1 6 8 開始 A裝置 4 5 7 4 5 7 4 5 7 B裝置 （5）解法二： 　　 由圖知：可能的結(jié)果為： （1，4），（1，5），（1，7）， 　　　　　　　　　　　　　?。?，4），（6，5），（6，7）， 　　　　　　　　　　　　　　（8，4），（8，5），（8，7）。共計9種。 ∴P(A數(shù)較大)= , P(B數(shù)較大)=. ∴P(A數(shù)較大)＞ P(B數(shù)較大) ∴選擇A裝置的獲勝可能性較大。 然后，引導學生對所畫圖形進行觀察：若將圖形倒置，你會聯(lián)想到什么？這個圖形很像一棵樹，所以稱為樹形圖（在幻燈片上放映）。列表和樹形圖是列舉法求概率的兩種常用的方法。 【設(shè)計意圖】自然地學生感染了分類計數(shù)和分步計數(shù)思想。 2.自主分析，再探新知 通過引例的分析，學生對列表法和樹形圖法求概率有了初步的了解，為了幫助學生熟練掌握這兩種方法，我選用了下列兩道例題（本節(jié)教材P151—P152的例5和例6）。 例1：同時擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，計算下列事件的概率： (1) 兩個骰子的點數(shù)相同； (2) 兩個骰子的點數(shù)的和是9； (3) 至少有一個骰子的點數(shù)為2。 例1是教材上一道“擲骰子”的問題，有了引例作基礎(chǔ)，學生不難發(fā)現(xiàn)：引例涉及兩個轉(zhuǎn)盤，這里涉及兩個骰子，實質(zhì)都是涉及兩個因素。于是，學生通過類比列出下列表。 第2個 第1個 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 　由上表可以看出，同時擲兩個骰子，可能出現(xiàn)的結(jié)果有36個，它們出現(xiàn)的可能性相等。由所列表格可以發(fā)現(xiàn)： （1）滿足兩個骰子的點數(shù)相同（記為事件A）的結(jié)果有6個，即（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以P(A)==。 [滿足條件的結(jié)果在表格的對角線上] （2）滿足兩個骰子的點數(shù)的和是9（記為事件B）的結(jié)果有4個，即（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），所以P(B)==。 [滿足條件的結(jié)果在（3，6）和（6，3）所在的斜線上] （3）至少有一個骰子的點數(shù)為2（記為事件C）的結(jié)果有11個，所以P(C)=。 [滿足條件的結(jié)果在數(shù)字2所在行和2所在的列上] 接著，引導學生進行題后小結(jié)： 當一個事件要涉及兩個因素并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，通常采用列表法。運用列表法求概率的步驟如下： ①列表 ； ②通過表格計數(shù)，確定公式P(A)=中m和n的值； ③利用公式P(A)=計算事件的概率。 分析到這里，我會問學生：“例1題目中的“擲兩個骰子”改為“擲三個骰子”，還可以使用列表法來做嗎？”由此引出下一個例題。 例2： 甲口袋中裝有2個相同的球，它們分別寫有字母A和B；乙口袋中3個相同的球，它們分別寫有字母C、D和E；丙口袋中2個相同的球，它們分別寫有字母H和I。從三個口袋中各隨機地取出1個球。 （1）取出的三個球上恰好有1個、2個和3個元音字母的概率分別為多少？ （2）取出的三個球上全是輔音字母的概率是多少？ 例2與前面兩題比較，有所不同：要從三個袋子里摸球，即涉及到3個因素。此時同學們會發(fā)現(xiàn)用列表法就不太方便，可以嘗試樹形圖法。 本游戲可分三步進行。分步畫圖和分類排列相關(guān)的結(jié)論是解題的關(guān)鍵。 A C D E H I H I H I B C D E H I H I H I 甲 乙 丙 從圖形上可以看出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12個，即： A C H A C I A D H A D I A E H A E I B C H B D H B D I B E H B E I B C I （幻燈片上用顏色區(qū)分） 這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等。 （1）只有一個元音字母的結(jié)果（黃色）有5個，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以； 有兩個元音的結(jié)果（白色）有4個，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以； 全部為元音字母的結(jié)果（綠色）只有1個，即AEI ，所以。 （2）全是輔音字母的結(jié)果（紅色）共有2個，即BCH，BDH，所以。 通過例2的解答，很容易得出題后小結(jié)： 當一次試驗要涉及3個或更多的因素時，通常采用“畫樹形圖”。運用樹形圖法 求概率的步驟如下：（幻燈片） ①畫樹形圖 ； ②列出結(jié)果，確定公式P(A)=中m和n的值； ③利用公式P(A)=計算事件概率。 接著我向?qū)W生提問：到現(xiàn)在為止，我們所學過的用列舉法求概率分為哪幾種情況？ 列表法和畫樹形圖法求概率有什么優(yōu)越性？什么時候使用“列表法”方便，什么時候使用“樹形圖法”更好呢？ 【設(shè)計意圖】 通過對上述問題的思考，可以加深學生對新方法的理解，更好的認識到列表法和畫樹形圖法求概率的優(yōu)越性在于能夠直觀、快捷、準確地獲取所需信息，有利于學生根據(jù)實際情況選擇正確的方法。 3.應用新知，深化拓展 為了檢驗學生對列表法和畫樹形圖法的掌握情況，提高應用所學知識解決問題的能力，在此我選擇了教材P154課后練習作為隨堂練習。 （1）經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)前行，也可能向左或向右，如果這三種可能性大小相同。三輛汽車經(jīng)過這個十字路口，求下列事件的概率： ①三輛車全部繼續(xù)前行； ②兩輛車向右轉(zhuǎn)，一輛車向左轉(zhuǎn)； ③至少有兩輛車向左轉(zhuǎn)。 [隨堂練習（1）是一道與實際生活相關(guān)的交通問題，可用樹形圖法來解決。] （2）在6張卡片上分別寫有1——6的整數(shù)，隨機地抽取一張后放回，再隨機地抽取一張，那么第二次取出的數(shù)字能夠整除第一次取出的數(shù)字的概率是多少？ 通過解答隨堂練習（2），學生會發(fā)現(xiàn)列出的表格和例1的表格完全一樣。不同的是：變換了實際背景，設(shè)置的問題也不一樣。這時，我提出：我們是否可以根據(jù)這個表格再編一道用列舉法求概率的題目來呢？ 為了進一步拓展思維，我向?qū)W生提出了這樣一個問題，供學生課后思考： 在前面的引例中，轉(zhuǎn)盤的游戲規(guī)則是不公平的，你能把它改成一個公平的游戲嗎？ 【設(shè)計意圖】 以上問題的提出和解決有利于學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的本質(zhì)，做到舉一反三，融會貫通。 4.歸納總結(jié)，形成能力 我將引導學生從知識、方法、情感三方面來談一談這節(jié)課的收獲。要求每個學生在組內(nèi)交流，派小組代表發(fā)言。 【設(shè)計意圖】 通過這個環(huán)節(jié)，可以提高學生概括能力、表達能力，有助于學生全面地了解自己的學習過程，感受自己的成長與進步，增強自信，也為教師全面了解學生的學習狀況、因材施教提供了重要依據(jù)。 5.布置作業(yè)，鞏固提高 考慮到學生的個體差異，為促使每一個學生得到不同的發(fā)展，同時促進學生對自己的學習進行反思，在第五個環(huán)節(jié)“布置作業(yè)，鞏固提高”里作如下安排： （1）必做題：書本 3， 4，5 （2）選做題： ①請設(shè)計一個游戲，并用列舉法計算游戲者獲勝的概率。 ②研究性課題：通過調(diào)查學校周圍道路的交通狀況，為交通部門提出合理的建議等。 【設(shè)計意圖】 通過教學實踐作業(yè)和社會實踐活動，引導學生靈活運用所學知識，讓學生把動腦、動口、動手三者結(jié)合起來，啟發(fā)學生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)協(xié)作精神和科學的態(tài)度。