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xx中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：考點(diǎn)24 平行四邊形 一．選擇題（共9小題） 1．（xx?寧波）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E是邊CD的中點(diǎn)，連結(jié)OE．若∠ABC=60，∠BAC=80，則∠1的度數(shù)為（　?。? A．50 B．40 C．30 D．20 【分析】直接利用三角形內(nèi)角和定理得出∠BCA的度數(shù)，再利用三角形中位線定理結(jié)合平行線的性質(zhì)得出答案． 【解答】解：∵∠ABC=60，∠BAC=80， ∴∠BCA=180﹣60﹣80=40， ∵對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E是邊CD的中點(diǎn)， ∴EO是△DBC的中位線， ∴EO∥BC， ∴∠1=∠ACB=40． 故選：B． 　 2．（xx?宜賓）在?ABCD中，若∠BAD與∠CDA的角平分線交于點(diǎn)E，則△AED的形狀是（　?。? A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 【分析】想辦法證明∠E=90即可判斷． 【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180， ∵∠EAD=∠BAD，∠ADE=∠ADC， ∴∠EAD+∠ADE=（∠BAD+∠ADC）=90， ∴∠E=90， ∴△ADE是直角三角形， 故選：B． 　 3．（xx?黔南州）如圖在?ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周長為13cm，則?ABCD的周長為（　?。? A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm 【分析】根據(jù)三角形周長的定義得到AD+DC=9cm．然后由平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)來求平行四邊形的周長． 【解答】解：∵AC=4cm，若△ADC的周長為13cm， ∴AD+DC=13﹣4=9（cm）． 又∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD，AD=BC， ∴平行四邊形的周長為2（AB+BC）=18cm． 故選：D． 　 4．（xx?海南）如圖，?ABCD的周長為36，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BD=12，則△DOE的周長為（　　） A．15 B．18 C．21 D．24 【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理即可解決問題； 【解答】解：∵平行四邊形ABCD的周長為36， ∴BC+CD=18， ∵OD=OB，DE=EC， ∴OE+DE=（BC+CD）=9， ∵BD=12， ∴OD=BD=6， ∴△DOE的周長為9+6=15， 故選：A． 　 5．（xx?瀘州）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AB中點(diǎn)，且AE+EO=4，則?ABCD的周長為（　?。? A．20 B．16 C．12 D．8 【分析】首先證明：OE=BC，由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解決問題； 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴OA=OC， ∵AE=EB， ∴OE=BC， ∵AE+EO=4， ∴2AE+2EO=8， ∴AB+BC=8， ∴平行四邊形ABCD的周長=28=16， 故選：B． 　 6．（xx?眉山）如圖，在?ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于點(diǎn)E，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，連結(jié)EF、BF，下列結(jié)論：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四邊形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正確結(jié)論的個數(shù)共有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【分析】如圖延長EF交BC的延長線于G，取AB的中點(diǎn)H連接FH．想辦法證明EF=FG，BE⊥BG，四邊形BCFH是菱形即可解決問題； 【解答】解：如圖延長EF交BC的延長線于G，取AB的中點(diǎn)H連接FH． ∵CD=2AD，DF=FC， ∴CF=CB， ∴∠CFB=∠CBF， ∵CD∥AB， ∴∠CFB=∠FBH， ∴∠CBF=∠FBH， ∴∠ABC=2∠ABF．故①正確， ∵DE∥CG， ∴∠D=∠FCG， ∵DF=FC，∠DFE=∠CFG， ∴△DFE≌△FCG， ∴FE=FG， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB=90， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBG=90， ∴BF=EF=FG，故②正確， ∵S△DFE=S△CFG， ∴S四邊形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正確， ∵AH=HB，DF=CF，AB=CD， ∴CF=BH，∵CF∥BH， ∴四邊形BCFH是平行四邊形， ∵CF=BC， ∴四邊形BCFH是菱形， ∴∠BFC=∠BFH， ∵FE=FB，F(xiàn)H∥AD，BE⊥AD， ∴FH⊥BE， ∴∠BFH=∠EFH=∠DEF， ∴∠EFC=3∠DEF，故④正確， 故選：D． 　 7．（xx?東營）如圖，在四邊形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，連接DE并延長，交AB的延長線于點(diǎn)F，AB=BF．添加一個條件使四邊形ABCD是平行四邊形，你認(rèn)為下面四個條件中可選擇的是（　　） A．AD=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D．∠F=∠CDF 【分析】正確選項(xiàng)是D．想辦法證明CD=AB，CD∥AB即可解決問題； 【解答】解：正確選項(xiàng)是D． 理由：∵∠F=∠CDF，∠CED=∠BEF，EC=BE， ∴△CDE≌△BFE，CD∥AF， ∴CD=BF， ∵BF=AB， ∴CD=AB， ∴四邊形ABCD是平行四邊形． 故選：D． 　 8．（xx?玉林）在四邊形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，從以上選擇兩個條件使四邊形ABCD為平行四邊形的選法共有（　?。? A．3種 B．4種 C．5種 D．6種 【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法中，①②、③④、①③、③④均可判定是平行四邊形． 【解答】解：根據(jù)平行四邊形的判定，符合條件的有4種，分別是：①②、③④、①③、③④． 故選：B． 　 9．（xx?安徽）?ABCD中，E，F(xiàn)的對角線BD上不同的兩點(diǎn)．下列條件中，不能得出四邊形AECF一定為平行四邊形的是（　?。? A．BE=DF B．AE=CF C．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF 【分析】連接AC與BD相交于O，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，只要證明得到OE=OF即可，然后根據(jù)各選項(xiàng)的條件分析判斷即可得解． 【解答】解：如圖，連接AC與BD相交于O， 在?ABCD中，OA=OC，OB=OD， 要使四邊形AECF為平行四邊形，只需證明得到OE=OF即可； A、若BE=DF，則OB﹣BE=OD﹣DF，即OE=OF，故本選項(xiàng)不符合題意； B、若AE=CF，則無法判斷OE=OE，故本選項(xiàng)符合題意； C、AF∥CE能夠利用“角角邊”證明△AOF和△COE全等，從而得到OE=OF，故本選項(xiàng)不符合題意； D、∠BAE=∠DCF能夠利用“角角邊”證明△ABE和△CDF全等，從而得到DF=BE，然后同A，故本選項(xiàng)不符合題意； 故選：B． 　 二．填空題（共6小題） 10．（xx?十堰）如圖，已知?ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，且AC=8，BD=10，AB=5，則△OCD的周長為　14?。? 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解決問題； 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5， ∴△OCD的周長=5+4+5=14， 故答案為14． 　 11．（xx?株洲）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，且BD=CD，過點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，且DN=3，在DB的延長線上取一點(diǎn)P，滿足∠ABD=∠MAP+∠PAB，則AP=　6?。? 【分析】根據(jù)BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根據(jù)AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到DN=AM=3，依據(jù)∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM是等腰直角三角形，進(jìn)而得到AP=AM=6． 【解答】解：∵BD=CD，AB=CD， ∴BD=BA， 又∵AM⊥BD，DN⊥AB， ∴DN=AM=3， 又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP， ∴∠P=∠PAM， ∴△APM是等腰直角三角形， ∴AP=AM=6， 故答案為：6． 　 12．（xx?衡陽）如圖，?ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，且AD≠CD，過點(diǎn)O作OM⊥AC，交AD于點(diǎn)M．如果△CDM的周長為8，那么?ABCD的周長是　16　． 【分析】根據(jù)題意，OM垂直平分AC，所以MC=MA，因此△CDM的周長=AD+CD，可得平行四邊形ABCD的周長． 【解答】解：∵ABCD是平行四邊形， ∴OA=OC， ∵OM⊥AC， ∴AM=MC． ∴△CDM的周長=AD+CD=8， ∴平行四邊形ABCD的周長是28=16． 故答案為16． 　 13．（xx?泰州）如圖，?ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，若AD=6，AC+BD=16，則△BOC的周長為　14　． 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，三角形周長的定義即可解決問題； 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD， ∵AC+BD=16， ∴OB+OC=8， ∴△BOC的周長=BC+OB+OC=6+8=14， 故答案為14． 　 14．（xx?臨沂）如圖，在?ABCD中，AB=10，AD=6，AC⊥BC．則BD=　4?。? 【分析】由BC⊥AC，AB=10，BC=AD=6，由勾股定理求得AC的長，得出OA長，然后由勾股定理求得OB的長即可． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴BC=AD=6，OB=D，OA=OC， ∵AC⊥BC， ∴AC==8， ∴OC=4， ∴OB==2， ∴BD=2OB=4 故答案為：4． 　 15．（xx?無錫）如圖，已知∠XOY=60，點(diǎn)A在邊OX上，OA=2．過點(diǎn)A作AC⊥OY于點(diǎn)C，以AC為一邊在∠XOY內(nèi)作等邊三角形ABC，點(diǎn)P是△ABC圍成的區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD∥OY交OX于點(diǎn)D，作PE∥OX交OY于點(diǎn)E．設(shè)OD=a，OE=b，則a+2b的取值范圍是　2≤a+2b≤5?。? 【分析】作輔助線，構(gòu)建30度的直角三角形，先證明四邊形EODP是平行四邊形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30，可得EH的長，計(jì)算a+2b=2OH，確認(rèn)OH最大和最小值的位置，可得結(jié)論． 【解答】解：過P作PH⊥OY交于點(diǎn)H， ∵PD∥OY，PE∥OX， ∴四邊形EODP是平行四邊形，∠HEP=∠XOY=60， ∴EP=OD=a， Rt△HEP中，∠EPH=30， ∴EH=EP=a， ∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH， 當(dāng)P在AC邊上時，H與C重合，此時OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2； 當(dāng)P在點(diǎn)B時，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5， ∴2≤a+2b≤5． 　 三．解答題（共12小題） 16．（xx?福建）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：OE=OF． 【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得OA=OC，AD∥BC，繼而可證得△AOE≌△COF（ASA），則可證得結(jié)論． 【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴OA=OC，AD∥BC， ∴∠OAE=∠OCF， 在△OAE和△OCF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE=OF． 　 17．（xx?臨安區(qū)）已知：如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點(diǎn)，AE=CF． 求證：（1）△ADF≌△CBE； （2）EB∥DF． 【分析】（1）要證△ADF≌△CBE，因?yàn)锳E=CF，則兩邊同時加上EF，得到AF=CE，又因?yàn)锳BCD是平行四邊形，得出AD=CB，∠DAF=∠BCE，從而根據(jù)SAS推出兩三角形全等； （2）由全等可得到∠DFA=∠BEC，所以得到DF∥EB． 【解答】證明：（1）∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+FE，即AF=CE． 又ABCD是平行四邊形， ∴AD=CB，AD∥BC． ∴∠DAF=∠BCE． 在△ADF與△CBE中 ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）． （2）∵△ADF≌△CBE， ∴∠DFA=∠BEC． ∴DF∥EB． 　 18．（xx?宿遷）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊CB、AD的延長線上，且BE=DF，EF分別與AB、CD交于點(diǎn)G、H．求證：AG=CH． 【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得出AF=EC，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案． 【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD=BC，∠A=∠C，AD∥BC， ∴∠E=∠F， ∵BE=DF， ∴AF=EC， 在△AGF和△CHE中 ， ∴△AGF≌△CHE（ASA）， ∴AG=CH． 　 19．（xx?青島）已知：如圖，平行四邊形ABCD，對角線AC與BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，連接CG，CG的延長線交BA的延長線于點(diǎn)F，連接FD． （1）求證：AB=AF； （2）若AG=AB，∠BCD=120，判斷四邊形ACDF的形狀，并證明你的結(jié)論． 【分析】（1）只要證明AB=CD，AF=CD即可解決問題； （2）結(jié)論：四邊形ACDF是矩形．根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形判斷即可； 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠AFC=∠DCG， ∵GA=GD，∠AGF=∠CGD， ∴△AGF≌△DGC， ∴AF=CD， ∴AB=AF． （2）解：結(jié)論：四邊形ACDF是矩形． 理由：∵AF=CD，AF∥CD， ∴四邊形ACDF是平行四邊形， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠BAD=∠BCD=120， ∴∠FAG=60， ∵AB=AG=AF， ∴△AFG是等邊三角形， ∴AG=GF， ∵△AGF≌△DGC， ∴FG=CG，∵AG=GD， ∴AD=CF， ∴四邊形ACDF是矩形． 　 20．（xx?無錫）如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊BC、AD的中點(diǎn)，求證：∠ABF=∠CDE． 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)即可求出答案． 【解答】解：在?ABCD中， AD=BC，∠A=∠C， ∵E、F分別是邊BC、AD的中點(diǎn)， ∴AF=CE， 在△ABF與△CDE中， ∴△ABF≌△CDE（SAS） ∴∠ABF=∠CDE 　 21．（xx?淮安）已知：如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)E、F．求證：AE=CF． 【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得出AO=CO，AD∥BC，進(jìn)而得出∠EAC=∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案． 【解答】證明：∵?ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O， ∴AO=CO，AD∥BC， ∴∠EAC=∠FCO， 在△AOE和△COF中 ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE=CF． 　 22．（xx?南通模擬）如圖，?ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AE并延長交DC延長線于點(diǎn)F． （1）求證：CF=AB； （2）連接BD、BF，當(dāng)∠BCD=90時，求證：BD=BF． 【分析】（1）欲證明AB=CF，只要證明△AEB≌△FEC即可； （2）想辦法證明AC=BD，BF=AC即可解決問題； 【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥DF， ∴∠BAE=∠CFE ∵AE=EF，∠AEB=∠CEF， ∴△AEB≌△FEC， ∴AB=CF． （2）連接AC． ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD=90， ∴四邊形ABCD是矩形， ∴BD=AC， ∵AB=CF，AB∥CF， ∴四邊形ACFB是平行四邊形， ∴BF=AC， ∴BD=BF． 　 23．（xx?徐州）已知四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，給出下列四個論斷： ①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC． 請你從中選擇兩個論斷作為條件，以“四邊形ABCD為平行四邊形”作為結(jié)論，完成下列各題： ①構(gòu)造一個真命題，畫圖并給出證明； ②構(gòu)造一個假命題，舉反例加以說明． 【分析】如果①②結(jié)合，那么這些線段所在的兩個三角形是SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的對邊平行；如果②③結(jié)合，和①②結(jié)合的情況相同；如果①④結(jié)合，由對邊平行可得到兩對內(nèi)錯角相等，那么AD，BC所在的三角形全等，也得到平行的對邊也相等，那么是平行四邊形；最易舉出反例的是②④，它有可能是等腰梯形． 【解答】解：（1）①④為論斷時： ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠DBC． 又∵OA=OC， ∴△AOD≌△COB． ∴AD=BC． ∴四邊形ABCD為平行四邊形． （2）②④為論斷時，此時一組對邊平行，另一組對邊相等，可以構(gòu)成等腰梯形． 　 24．（xx?大慶）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，連接CD，過E作EF∥DC交BC的延長線于F． （1）證明：四邊形CDEF是平行四邊形； （2）若四邊形CDEF的周長是25cm，AC的長為5cm，求線段AB的長度． 【分析】（1）由三角形中位線定理推知ED∥FC，2DE=BC，然后結(jié)合已知條件“EF∥DC”，利用兩組對邊相互平行得到四邊形DCFE為平行四邊形； （2）根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AB=2DC，即可得出四邊形DCFE的周長=AB+BC，故BC=25﹣AB，然后根據(jù)勾股定理即可求得； 【解答】（1）證明：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC延長線上的一點(diǎn)， ∴ED是Rt△ABC的中位線， ∴ED∥FC．BC=2DE， 又 EF∥DC， ∴四邊形CDEF是平行四邊形； （2）解：∵四邊形CDEF是平行四邊形； ∴DC=EF， ∵DC是Rt△ABC斜邊AB上的中線， ∴AB=2DC， ∴四邊形DCFE的周長=AB+BC， ∵四邊形DCFE的周長為25cm，AC的長5cm， ∴BC=25﹣AB， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90， ∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52， 解得，AB=13cm， 　 25．（xx?孝感）如圖，B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，連接AD．求證：四邊形ABED是平行四邊形． 【分析】由AB∥DE、AC∥DF利用平行線的性質(zhì)可得出∠B=∠DEF、∠ACB=∠F，由BE=CF可得出BC=EF，進(jìn)而可證出△ABC≌△DEF（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出AB=DE，再結(jié)合AB∥DE，即可證出四邊形ABED是平行四邊形． 【解答】證明：∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F． ∵BE=CF， ∴BE+CE=CF+CE， ∴BC=EF． 在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB=DE． 又∵AB∥DE， ∴四邊形ABED是平行四邊形． 　 26．（xx?岳陽）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE=CF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形． 【分析】首先根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，判斷出AB∥CD，且AB=CD，然后根據(jù)AE=CF，判斷出BE=DF，即可推得四邊形BFDE是平行四邊形． 【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD，且AB=CD， 又∵AE=CF， ∴BE=DF， ∴BE∥DF且BE=DF， ∴四邊形BFDE是平行四邊形． 　 27．（xx?永州）如圖，在△ABC中，∠ACB=90，∠CAB=30，以線段AB為邊向外作等邊△ABD，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，連接CE并延長交線段AD于點(diǎn)F． （1）求證：四邊形BCFD為平行四邊形； （2）若AB=6，求平行四邊形BCFD的面積． 【分析】（1）在Rt△ABC中，E為AB的中點(diǎn)，則CE=AB，BE=AB，得到∠BCE=∠EBC=60．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60．又∠D=60，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因?yàn)椤螧AD=∠ABC=60，所以AD∥BC，即FD∥BC，則四邊形BCFD是平行四邊形． （2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解決問題； 【解答】（1）證明：在△ABC中，∠ACB=90，∠CAB=30， ∴∠ABC=60． 在等邊△ABD中，∠BAD=60， ∴∠BAD=∠ABC=60． ∵E為AB的中點(diǎn)， ∴AE=BE． 又∵∠AEF=∠BEC， ∴△AEF≌△BEC． 在△ABC中，∠ACB=90，E為AB的中點(diǎn)， ∴CE=AB，BE=AB． ∴CE=AE， ∴∠EAC=∠ECA=30， ∴∠BCE=∠EBC=60． 又∵△AEF≌△BEC， ∴∠AFE=∠BCE=60． 又∵∠D=60， ∴∠AFE=∠D=60． ∴FC∥BD． 又∵∠BAD=∠ABC=60， ∴AD∥BC，即FD∥BC． ∴四邊形BCFD是平行四邊形． （2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30，AB=6， ∴BC=AB=3，AC=BC=3， ∴S平行四邊形BCFD=3=9．