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知識點29 等腰三角形與等邊三角形 一、選擇題 1. （xx四川綿陽，11，3分） 如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上，若AE=，AD=，則兩個三角形重疊部分的面積為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：過A點作AF⊥CE于點F，設(shè)AB與CD的交點為M，過M點作MN⊥AC于點N，如圖所示. ∵△ECD為等腰直角三角形， ∴∠E=45. ∵AE=，AD=， ∴AF=EF=1,CE=CD==， ∴CF=, ∴AC==2，∠ACF=30 ∴∠ACD=60. 設(shè)MN=x， ∵△ABC為等腰直角三角形， ∴∠CAB=45， ∴AN=MN=x，CN==x， ∴AC=AN+CN=x+x=2， 解得x=3-， ∴S△ACM=ACMN=3-. 故選D. 【知識點】等腰直角三角形的性質(zhì)，含30角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理，三角形面積計算 2. （xx山東臨沂，11，3分）如圖，∠ACB＝90，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是點D，E.AD＝3，BE＝1.則DE的長是( ) 第11題圖 A． B．2 C. D． 【答案】B 【解析】∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90，∠DAC＋∠DCA=90，∵∠ACB＝90，∴∠ECB＋∠DCA=90，∴∠DCA=∠ECB，∵AC=CB，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE=3，CD=BE=1，∴DE=CE－CD=3－1=2，故選B. 【知識點】等腰直角三角形 全等三角形的判定和性質(zhì) 3. （xx山東省淄博市，11，4分）如圖，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于點M，過點M作MN∥BC交AC于點N，且MN平分∠AMC，若AN=1，則BC的長為 （A）4 （B） 6 （C）4 （D）8 【答案】B 【思路分析】由已知MN∥BC和CM平分∠ACB可證MN=NC，∠ANM=∠ACB，∠NMC=∠MCB，再由MN平分∠AMC可得∠ANM=∠ACB，從而得到∠ANM=2∠AMN，可得∠AMN=30，再利用直角三角形中30角所對的直角邊等于斜邊的一半求出MN，進(jìn)而得到NC，求得AC，從而求出BC. 【解題過程】∵M(jìn)N∥BC，∴∠ANM=∠ACB，∠NMC=∠MCB，∵CM平分∠ACB，∴∠MCB=∠MCN=∠ACB，∴∠NMC=∠NCM，∴MN=NC，∵M(jìn)N平分∠AMC，∴∠AMN=∠NMC=∠AMC，∴∠AMN=∠ACB=∠ANM，∵∠A=90，∴∠AMN=30，∵AN=1，∴MN=2，∴NC=2，∴AC=3，∵∠B=∠AMN=30，∴BC=2AC=6，故選B. 【知識點】平行線的性質(zhì)；等腰三角形判定；解直角三角形 4. （xx浙江湖州，5，3）如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線．若AB＝AC，∠CAD＝20，則 ∠ACE的度數(shù)是（ ） A．20 B．35 C．40 D．70 【答案】B 【解析】∵AB＝AC，AD是△ABC的中線，∴AD⊥BC．∵∠CAD＝20，∴∠ACD＝70．∵CE是∠ABC的平分線，∴∠ACE＝35．故選B. 【知識點】等腰三角形，角平分線，中線 1. （xx福建A卷，5，4）如圖，等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點E在線段AD上，∠EBC=45，則∠ACE等于( ) A．15 B.30 C. 45 D. 60 【答案】A 【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60，∵AD⊥BC，∴BD=CD，AD是BC的垂直平分線，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=45，∴∠ECA=-60-45=15. 【知識點】等邊三角形性質(zhì)，三線合一 2. （xx福建B卷，5，4）如圖，等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點E在線段AD上，∠EBC=45，則∠ACE等于( ) A．15 B.30 C. 45 D. 60 【答案】A 【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60，∵AD⊥BC，∴BD=CD，AD是BC的垂直平分線，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=45，∴∠ECA=-60-45=15. 【知識點】等邊三角形性質(zhì)，三線合一 3. （xx四川雅安，10題，3分）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=72，BC=，以點B為圓心，BC為半徑畫弧，交AC與點D，則線段AD的長為 第10題圖 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】在△ABC中，AB=AC，∠C=72，所以∠B=72，∠A=36，因為BC=BD，所以∠BDC=72，所以∠ABD=36，所以AD=BD=BC=，故選C 【知識點】等腰三角形 4. （xx四川涼山州，4，4分）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以A、B為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點；②作直線MN交BC于D，連結(jié)AD．若AD＝AC，∠B＝25，則∠C=（ ） A.70 B.60 C.50 D.40 【答案】C 【解析】由作圖可知MN為線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∠DAB=∠B＝25,∵∠CDA為△ABD的一個外角，∴∠CDA=∠DAB+∠B＝50.∵AD＝AC，∴∠C=∠CDA=50.故選擇C. 【知識點】尺規(guī)作圖——線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì). 5. （xx廣西玉林，9題，3分）如圖，∠AOB=60，OA=OB，動點C從點O出發(fā)，沿射線OB方向移動，以AC為邊在右側(cè)作等邊△ACD，連接BD，則BD所在直線與OA所在直線的位置關(guān)系是 A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行、相交或垂直 第9題圖 【答案】A 【解析】由已知得△AOB為等邊三角形．所以∠O=∠OAB=60． 易證△AOC≌△ABD，得∠ABD=60．所以∠OAB=∠ABD，所以BD∥OA． 故選A. 【知識點】等邊三角形的判定；全等三角形的判定；平行線的判定 二、填空題 1. （xx四川省成都市，11，4）等腰三角形的一個底角為50 ，則它的頂角的度數(shù)為 ． 【答案】80 【解析】解：∵等腰三角形的一個底角為50 ，且兩個底角相等，∴頂角為180－250＝80． 【知識點】等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和 1. （xx貴州遵義，14題，4分）如圖，△ABC中，點D在BC邊上，BD=AD=AC，E為CD的中點，若∠CAE=16，則∠B為_______度 第14題圖 【答案】37 【解析】因為AD=AC，E為CD的中點，所以∠DAC=2∠CAE=32，所以∠ADC=(180-∠DAC)=74，因為BD=AD，所以∠B=∠ADC=37 【知識點】等腰三角形三線合一，外角 2. （xx湖南省湘潭市，12，3分）如圖，在等邊三角形ABC中，點D是邊BC的中點，則∠BAD________. 【答案】30 【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60，AB=AC，∵D是BC中點，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=30. 【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì) 3. （xx江蘇淮安，13，3） 若一個等腰三角形的頂角等于50，則它的底角等于 . 【答案】65 【解析】分析：本題考查等腰三角形性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形性質(zhì)可得結(jié)果. 解：由題意得，等腰三角形的底角＝（180-頂角）2＝（180-50）2＝65. 故答案為65 【知識點】等腰三角形；等腰三角形性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理 4. （xx 湖南張家界，12，3分）如圖，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，這時點恰好在同一直線上，則的度數(shù)為______． 【答案】15 【解析】解：∵繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到， ∴∠BAD=150，≌. ∴AB=AD. ∴△BAD是等腰三角形. ∴∠B=∠ADB==15. 【知識點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì). 三、解答題 1. （xx浙江紹興，22，12分）數(shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題： 例1 等腰三角形中，，求的度數(shù).（答案：） 例2 等腰三角形中，，求的度數(shù).（答案：或或） 張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式，小敏編了如下一題： 變式 等腰三角形中，，求的度數(shù). （1）請你解答以上的變式題. （2）解（1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，的度數(shù)不同，得到的度數(shù)的個數(shù)也可能不同.如果在等腰三角形中，設(shè)，當(dāng)有三個不同的度數(shù)時，請你探索的取值范圍. 【思路分析】（1）可分當(dāng)為頂角、當(dāng)為底角兩種情況討論，當(dāng)為頂角時，只能為底角；當(dāng)為底角時，既可以為頂角，也可以為底角所以的度數(shù)有三種情況。 （2）分兩種情況：當(dāng)時，只能為頂角，的度數(shù)只有一個；當(dāng)時，既可以是頂角，也可以是底角，當(dāng)是底角時，既可以為底角，也可以為頂角，也就是有三個不同的度數(shù)，但是當(dāng)=60時，只能等于60，所以當(dāng)有三個不同的度數(shù)時，的取值范圍是且。 【解題過程】22.解：（1）當(dāng)為頂角，則， 當(dāng)為底角，若為頂角，則， 若為底角，則， ∴或或. （2）分兩種情況： ①當(dāng)時，只能為頂角， ∴的度數(shù)只有一個. ②當(dāng)時， 若為頂角，則， 若為底角，則或， 當(dāng)且且，即時， 有三個不同的度數(shù). 綜上①②，當(dāng)且，有三個不同的度數(shù). 【知識點】等腰三角形的性質(zhì) 2. （xx寧波市，23題，10分） 如圖,在△ABC中,∠ACB=90,AC=BC,D是AB邊上一點(點D與A，B不重合,連結(jié)CD,將線段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90得到線段CE,連結(jié)DE交BC于點F連接BE. （1）求證:△ACD≌△BCE; （2）當(dāng)AD=BF時,求∠BEF的度數(shù). 【思路分析】 【解題過程】解：（1）∵線段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90得到線段CE， ∴∠DCE=90,CD=CE， 又∵∠ACB=90， ∴∠ACB=∠DCE ∴∠ACD=∠BCE 在△ACD和△BCE中 ∵ CD=CE∠ACD=∠BCEAC=BC ∴△ACD≌△BCE(SAS) （2） ∵∠ACB=90,AC=BC, ∴∠A=45 ∵△ACD≌△BCE, ∴AD=BE,∠CBE=∠A=45 又:AD=BF ∠BEF=∠BFE=180-452=67.5 【知識點】全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)1. （xx武漢市，18，8分）如圖，點E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF與DE交于點G，求證：GE＝GF. 【思路分析】如圖，由已知條件證得△ABF≌△DCE，得∠1＝∠2，再根據(jù)等腰三角形的判定定理得GE＝GF. 【解題過程】∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE， 在△ABF和△DCE中 ， ∴△ABF≌△DCE（SASA）， ∴∠1＝∠2， ∴GE＝GF. 第18題答圖 【知識點】全等三角形的判定 全等三角形的性質(zhì) 等腰三角形的判定