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第 五 講 全等三角形 【知識要點】 1．全等三角形的定義： （1）操作方式：能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形； （2）幾何描述：大小、形狀完全相同的兩個三角形叫全等三角形； （幾何中就是借助于邊、角以及其它可度量的幾何量來描述幾何圖形的大小和形狀） 2．全等三角形的幾何表示：如圖，△ABC≌△DEF；（注意對應(yīng)點、對應(yīng)邊、對應(yīng)角） 3．全等的性質(zhì)：（求證線段相等、求證角相等的常規(guī)思維方法） 性質(zhì)1：全等三角形對應(yīng)邊相等； 性質(zhì)2：全等三角形對應(yīng)角相等； 幾何語言 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE；AC=DF，BC=EF； ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F. 性質(zhì)3：全等三角形的對應(yīng)邊上的高、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的中線相等 性質(zhì)4：全等三角形的周長、面積相等 4.三角形全等的常見基本圖形 【新知講授】 例1．如圖，△OAB≌△OCD，AB∥EF，求證：CD∥EF. 鞏固練習(xí)：已知△ABC≌△DEF，且∠B＝70，∠F－∠D＝60，求△DEF各內(nèi)角的度數(shù)。 例2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點 D，BE⊥AC于 點E，AD、BE交于點F，△ADC≌△BDF.（1）∠C=50，求∠ABE的度數(shù). （2）若去掉原題條件“AD⊥BC于點 D，BE⊥AC于 點E”，僅保持“△ADC≌△BDF”不變，試問：你能證明：“AD⊥BC于點 D，BE⊥AC”嗎？ 鞏固練習(xí)： 1．如圖，△ABC≌△ADE，延長邊BC交DA于點F，交DE于點G. （1）求證：∠DGB=∠CAE； （2）若∠ACB=105，∠CAD=10，∠ABC=25，求∠DGB的度數(shù). 2．如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，點A落在四邊形BCDE內(nèi)部的點F處. （1）寫出圖中一對全等的三角形，并寫出它們的所有對應(yīng)角； （2）設(shè)∠AED的度數(shù)為x，∠ADE的度數(shù)為y，那么∠1，∠2的度數(shù)分別是多少？（用含有x或y的代數(shù)式表示） （3）∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請找出這個規(guī)律. 3．如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45后得到△A′OB′. （1）圖中有全等三角形嗎？請寫出來； （2）圖中有等腰三角形嗎？請寫出來； （3）延長A A′、BB′交于點P，求證：∠P=∠AOB. 例3.如圖，△ABC中，D、E分別為AC、BC上的一點，若△ABD≌△EBD， AB=8，AC=6，BC=10. （1）求CE的長； （2）求△DEC的周長. 鞏固練習(xí): 1.如圖，將△ABC沿直線向右平移得到△DEF. （1）圖中有全等三角形嗎？請寫出來； （2）圖中有平行線嗎？請寫出來； （3）請補充一個條件，使得AF=3CD，并你的理由. 2．如圖，Rt△ABC中，∠C=90，將Rt△ABC沿DE折疊，使A點與B點重合，折痕為DE. （1）圖中有全等三角形嗎？請寫出來； （2）若∠A=35，求∠CBD的度數(shù)； （3）若AC=4，BC=3，AB=5，求△BCD的周長. 3．如圖，在△ABC中，△BDF≌△ADC. （1）求證：BE⊥AC； （2）若BD=5，CD=2，求△ABF的面積. 例4．如圖，△ABF≌△CDE. （1）求證：AB∥CD；AF∥CE； （2）若△AEF≌△CFE，求證：∠BAE=∠DCF； （3）在（2）的條件下，若∠B=35，∠CED=30，∠DCF=20，求∠EAF的度數(shù). 【課后練習(xí)】 一、選擇題 1．小明去照相復(fù)印社，用一張A4的底稿復(fù)印了兩張A4和兩張B4的復(fù)印件，下列說法：①A4的底稿和A4的復(fù)印件是全等形；②A4的底稿和B4的復(fù)印件是全等形；③兩張A4的復(fù)印件之間是全等形；④兩張B4的復(fù)印件之間是全等形，其中正確結(jié)論的個數(shù)是( ). （A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個 2．下面結(jié)論是錯誤的是（ ）. （A）全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊 （B）全等三角形兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角 （C）全等三角形是一個特殊的三角形 （D）如果兩個三角形都與另一個三角形全等，那么這兩個三角形全等 3．如圖，△ABC≌△AEF，則下列結(jié)論中不一定成立的是( ). （A）AC=AF （B）∠EAB=∠FAC （C）EF=BC （D）EF平分∠AFB 4．如圖，已知△ABC≌△DEF，AB=DE，AC=DF，則下列結(jié)論：①BC=EF；②∠A=∠D；③∠ACB=∠DEF；④BE=CF，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）. （A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個 5．如圖，△ABD≌△EFC，AB=EF，∠A=∠E，AD=EC，若BD=5，DF=2.2則CD=（ ）. （A）2.2 （B）2.8 （C）3.4 （D）4 （第3題圖） （第4題圖） （第5題圖） 6.如圖，已知△ABD≌△ACD，下列結(jié)論： ①△ABC為等腰三角形；②AD平分∠BAC；③AD⊥BC；④AD=BC. 其中正確結(jié)論的個數(shù)是( ). (A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個 二、填空題 7．已知：如圖，△ACD≌△AEB，其中CD=EB，AB=AD，則∠ADC的對邊是 ，AC的對應(yīng)邊是 ，∠C的對應(yīng)角是 . 8．如圖，已知△ABD≌△DCA，AB的對應(yīng)邊是DC，AD的對應(yīng)邊是 ，∠BAD的對應(yīng)角是 ，AB與CD的位置關(guān)系是 . 9．如圖，若△OAD≌△OBC，且∠O=65，∠C=20則∠OAD= ． （第7題圖） （第8題圖） （第9題圖） 10．將一個無蓋正方體紙盒展開（如圖①），沿虛線剪開， 用得到的5張紙片（其中4張是全等的直角三角形紙片） 拼成一個正方形（如圖②）。則所剪得的直角三角形較短 的與較長的直角邊的比是_________. 三、解答題 11．如圖，直線⊥BC，將△ABC沿直線翻折得到△DEF，AB分別交DF、DE于M、Q兩點，AC交DF于點Q. （1）圖中共有多少對全等三角形？（不添加其它字母） （2）寫出（1）中所有的全等的三角形. 12．如圖，△ABC≌△ADE，點E正好在線段BC上. （1）求證：∠DEB=∠EAC； （2）若∠1=50，求∠DEB的度數(shù).