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第五單元 四邊形 第二十三課時 矩形、菱形、正方形 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練 1. 下列性質(zhì)中菱形不一定具有的性質(zhì)是(　　) A. 對角線互相平分 B. 對角線互相垂直 C. 對角線相等 D. 既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 2. (xx上海)已知平行四邊形ABCD，AC、BD是它的兩條對角線，那么下列條件中，能判斷這個平行四邊形為矩形的是(　　) A. ∠BAC＝∠DCA B. ∠BAC＝∠DAC C. ∠BAC＝∠ABD D. ∠BAC＝∠ADB 3. (xx河南)如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，添加下列條件不能判定?ABCD是菱形的只有(　　) 第3題圖 A. AC⊥BD B. AB＝BC C. AC＝BD D. ∠1＝∠2 4. (xx廣安)下列說法： ①四邊相等的四邊形一定是菱形 ②順次連接矩形各邊中點(diǎn)形成的四邊形一定是正方形 ③對角線相等的四邊形一定是矩形 ④經(jīng)過平行四邊形對角線交點(diǎn)的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分 其中正確的個數(shù)為(　　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. (xx蘭州)如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ADB＝30，AB＝4，則OC＝(　　) A. 5 B. 4 C. 3.5 D. 3 第5題圖 第6題圖 6. 如圖，在△ABC中，點(diǎn)E、D、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列四個判斷中，不正確的是(　　) A. 四邊形AEDF是平行四邊形 B. 如果∠BAC＝90，那么四邊形AEDF是矩形 C. 如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形 D. 如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形 7. (xx淮安)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E在邊BC上，將△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B恰好落在對角線AC上的點(diǎn)F處，若∠EAC＝ECA，則AC的長是(　　) A. 3 B. 6 C. 4 D. 5 第7題圖 第8題圖 8. (xx瀘州)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AE⊥BD，垂足為F，則tan∠BDE的值是(　　) A. B. C. D. 9. (xx麗水)我國三國時期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖①所示，在圖②中，若正方形ABCD的邊長為14，正方形IJKL的邊長為2，且IJ∥AB，則正方形EFGH的邊長為________． 第9題圖 10. (xx徐州)如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)Q在對角線AC上，且AQ＝AD，連接DQ并延長，與邊BC交于點(diǎn)P，則線段AP＝________． 第10題圖　　 第11題圖 11. (xx十堰)如圖，菱形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，DE⊥BC于點(diǎn)E，連接OE，若∠ABC＝140，則∠OED＝________． 第12題圖 12. (xx懷化)如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120，AB＝10 cm，點(diǎn)P是這個菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn)，若以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則P，A(P，A兩點(diǎn)不重合)兩點(diǎn)間的最短距離為________cm. 第13題圖 13. (6分)(xx岳陽)求證：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形． 小紅同學(xué)根據(jù)題意畫出了圖形，并寫出了已知和求證的一部分，請你補(bǔ)全已知和求證，并寫出證明過程． 已知：如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，___________．求證：________________________________________________________________. 14. (8分)(xx邵陽)如圖所示，已知平行四邊形ABCD，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠OBC＝∠OCB. (1)求證：平行四邊形ABCD是矩形； (2)請?zhí)砑右粋€條件使矩形ABCD為正方形． 第14題圖 15. (8分)(xx鹽城)如圖，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分線BE、DF分別交邊AD、BC于點(diǎn)E、F. (1)求證：四邊形BEDF為平行四邊形； (2)當(dāng)∠ABE為多少度時，四邊形BEDF是菱形？請說明理由． 第15題圖 16. (8分)(xx南雅中學(xué)第七次階段檢測)如圖，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點(diǎn)G是BC延長線上一點(diǎn)，連接AG，BE⊥AG于點(diǎn)E，DF⊥AG于點(diǎn)F. (1)證明：△ABE≌△DAF； (2)若∠AGB＝30，求EF的長． 第16題圖 17. (8分)(xx鄂州)如圖，將矩形ABCD沿對角線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，F(xiàn)C交AD于E. (1)求證：△AFE≌△CDE； (2)若AB＝4，BC＝8，求圖中陰影部分的面積． 第17題圖 能力提升訓(xùn)練 1. (xx芙蓉區(qū)二十九中模擬)如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊(x>y)，下列四個說法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9.其中說法正確的是(　　) A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 第1題圖 2. (xx安徽)如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.動點(diǎn)P滿足S△PAB＝S矩形ABCD，則點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和PA＋PB的最小值為(　　) A. B. C. 5 D. 第2題圖　　 　第3題圖 3. (xx青竹湖湘一二模)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝10，點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處，點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，有下列結(jié)論：①∠EBG＝45；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；④AG＋DF＝FG.其中正確的個數(shù)為(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. (xx江西)已知點(diǎn)A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，連接AC，BC得到矩形AOBC，點(diǎn)D在邊AC上，將邊OA沿OD折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A′，若點(diǎn)A′到矩形較長兩對邊的距離之比為1∶3，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為________． 5. (xx紹興)如圖為某城市部分街道示意圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)G在對角線BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500 m，小敏行走的路線為B→A→G→E，小聰行走的路線為B→A→D→E→F.若小敏行走的路程為3100 m，則小聰行走的路程為________m. 第5題圖 6. (9分)(xx廣州)如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，△COD關(guān)于CD的對稱圖形為△CED. (1)求證：四邊形OCED是菱形； (2)連接AE，若AB＝6 cm，BC＝ cm. ①求sin∠EAD的值； ②若點(diǎn)P為線段AE上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，連接OP.一動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以1 cm/s的速度沿線段OP勻速運(yùn)動到點(diǎn)P，再以1.5 cm/s的速度沿線段PA勻速運(yùn)動到點(diǎn)A，到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)Q沿上述路線運(yùn)動到點(diǎn)A所需要的時間最短時，求AP的長和點(diǎn)Q走完全程所需的時間． 第6題圖 拓展培優(yōu)訓(xùn)練 1. (xx長郡教育集團(tuán)第二屆澄池杯)如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接FC，則sin∠ECF＝(　　) A. B. C. D. 第1題圖 第2題圖 2. (xx長郡教育集團(tuán)第二屆澄池杯)如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O.有直角∠MPN，使直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時針旋轉(zhuǎn)∠MPN，旋轉(zhuǎn)角為θ(0<θ<90)，PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn)，連接EF交OB于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中正確的有(　　) (1)EF＝OE；(2) S四邊形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4；(3)BE＋BF＝OA；(4)OGBD＝AE2＋CF2. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 特殊四邊形的相關(guān)證明與計算鞏固集訓(xùn) 1. (8分)(xx廣東省卷)如圖所示，已知四邊形ABCD、ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD為銳角． (1)求證：AD⊥BF； (2)若BF＝BC，求∠ADC的度數(shù)． 第1題圖 2. (8分)(xx麓山國際實驗學(xué)校二模)如圖，四邊形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足為點(diǎn)F，E為四邊形ABCD外一點(diǎn)，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC. (1)求證：四邊形ABDE是平行四邊形； (2)若DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的長． 第2題圖 3. (8分)(xx南雅中學(xué)二模)在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF. (1)求證：四邊形BFDE是矩形； (2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求證：AF平分∠DAB. 第3題圖 4. (8分)(xx襄陽)如圖，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于點(diǎn)C，BD平分∠ABF，且交AE于點(diǎn)D，連接CD. (1)求證：四邊形ABCD是菱形； (2)若∠ADB＝30，BD＝6，求AD的長． 第4題圖 5. (8分)(xx青竹湖湘一三模)已知，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是CB、CD延長線上的點(diǎn)，DF＝BE，連接AE、AF，過點(diǎn)A作AH⊥ED于點(diǎn)H. (1)求證：△ADF≌△ABE； (2)若BC＝3BE，BE＝1，求tan∠AED的值． 第5題圖 6. (8分)(xx長沙中考模擬卷三)如圖，在正方形ABCD中，以對角線BD為邊作菱形BDFE，使B、C、E三點(diǎn)在同一直線上，連接BF，交CD于點(diǎn)G. (1)求證：CG＝CE； (2)若正方形邊長為4，求菱形BDFE的面積． 第6題圖 7. (9分)(xx長沙中考模擬卷六)如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，BD與AE、AF分別相交于點(diǎn)G、H. (1)求證：△ABE∽△ADF； (2)若AG＝AH，求證：四邊形ABCD是菱形； (3)在(2)的條件下，將△ADF繞A點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，若△ADF恰好與△ACE重合，求旋轉(zhuǎn)角n(0＜n＜360)． 第7題圖 8. (9分)(xx蘭州)如圖①，將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折疊，頂點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F. (1)求證：△BDF是等腰三角形； (2)如圖②，過點(diǎn)D作DG∥BE，交BC于點(diǎn)G，連接FG交BD于點(diǎn)O. ①判斷四邊形BFDG的形狀，并說明理由； ②若AB＝6，AD＝8，求FG的長． 第8題圖 答案 1. C　2. C　3. C　4. C　 5. B　【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝4，∠ADB＝30，∠BAD＝90，∴BD＝8，∵矩形對角線相等且互相平分，∴OC＝AC＝BD＝4. 6. D　【解析】∵DE∥CA，DF∥BA，∴四邊形AEDF是平行四邊形，故A選項正確；∵∠BAC＝90，四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是矩形，故B選項正確；∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAF，又∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠DAF＝∠EAD，∴AE＝DE，又∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是菱形，故C選項正確；如果AD⊥BC且AB＝BC不能判定四邊形AEDF是正方形，故D選項錯誤． 7. B　【解析】由折疊可知，∠BAE＝∠EAC，∵∠EAC＝∠ECA，∴∠BAC＝2∠BCA，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90，∴3∠ACB＝90，∴∠ACB＝30，∵AB＝3，∴AC＝2AB＝6. 8. A　【解析】∵AD∥BC，BE＝CE，又∵四邊形ABCD是矩形，∴△BEF∽△DAF，∴BE∶AD＝BF∶FD＝EF∶AF＝1∶2，設(shè)EF＝x，則AF＝2x，∵△BEF∽△AEB，∴BE∶AE＝EF∶BE，∴BE2＝EFAE＝3x2，∴BE＝x，∴AB2＝AE2－BE2＝6x2，∴AB＝x，∵ABBE＝AEBF，∴BF＝x，在Rt△BDC中，BD＝＝3x，∴DF＝2x，在Rt△DFE中，tan∠BDE＝＝＝. 9. 10　【解析】如題圖②，由趙爽弦圖可知，△GHI≌△HEJ≌△EFK≌△FGL，∴GL＝HI＝EJ＝FK，F(xiàn)L＝GI＝HJ＝EK，設(shè)HI＝m，∵IJ∥AB，∴ HJ＋FK＝AB，即m＋2＋m＝14，解得m＝6，在Rt△GHI中，HI＝6，GI＝6＋2＝8，GH＝＝10，即正方形EFGH的邊長為10. 10. 　【解析】∵AC＝＝5，AQ＝AD＝3，∴CQ＝2，又∵AD＝AQ，∴∠ADQ＝∠AQD，∵∠CQP＝∠AQD，∴∠ADQ＝∠CQP，∵AD∥BC，∴∠ADQ＝∠CPQ，∴∠CQP＝∠CPQ，∴CP＝CQ＝2，∴BP＝3－2＝1，∴AP＝＝＝. 11. 20　【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD＝BD，∠ABD＝∠CBD，∵∠ABC＝140，∴∠CBD ＝∠ABC ＝70，∵DE⊥BC，∴∠BDE＝20，OE＝BD＝OD，∴∠OED＝∠BDE＝20. 12. 10－10　【解析】∵△PBC是等腰三角形，∴有以下三種情況：(1)當(dāng)以點(diǎn)P為頂點(diǎn)時，則點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，如解圖①所示，此時最小值是10；(2)以點(diǎn)B為頂點(diǎn)時，則點(diǎn)P的軌跡是在以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑的圓周上，由解圖②易知，P，A兩點(diǎn)間最短距離是與點(diǎn)A重合，又∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合，故舍去；(3)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)時，則點(diǎn)P的軌跡是在以點(diǎn)C為圓心，BC長為半徑的圓周上，由解圖③易知，線段AF的長即為最短距離，在Rt△ABE中，AB＝10，∠ABE＝180－120＝60，AE＝ABsin60＝5，在Rt△AEC中，AE＝5，∠ACE＝30，∴AC＝2AE＝10，∴AF＝AC－CF＝10－10，即P，A兩點(diǎn)間的最短距離為(10－10) cm. 第12題解圖 13. 已知：AC⊥BD； 求證：?ABCD是菱形． 證明：∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠AOD＝90， 又∵在?ABCD中，AO＝AO，BO＝DO， ∴△AOB≌△AOD， ∴AB＝AD， 同理BC＝CD， ∵在?ABCD中，AD＝BC， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∴四邊形ABCD是菱形． 14. (1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∴∠DAO＝∠OCB， ∠ADO＝∠OBC， 又∵∠OBC＝∠OCB， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴OB＝OC，OA＝OD， ∴OB＋OD＝OA＋OC，即AC＝BD， ∴平行四邊形ABCD是矩形； (2)解：使矩形ABCD為正方形的條件為：AB＝AD.(答案不唯一) 15. (1)證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB∥DC，AD∥BC， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠CDB， ∴∠EBD＝∠FDB， ∴DF∥EB， 又∵AD∥BC， ∴ED∥BF， ∴四邊形BEDF是平形四邊形； (2)解：當(dāng)∠ABE＝30 時，四邊形BEDF是菱形．理由如下： ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABD＝2∠ABE＝60，∠EBD＝∠ABE＝30， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠A＝90， ∴∠EDB＝∠EBD＝30， ∴EB＝ED， 又∵四邊形BEDF是平行四邊形， ∴四邊形BEDF是菱形． 16. (1)證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠DAF＋∠BAE＝90，AB＝AD， ∵∠AFD＝90， ∴∠DAF＋∠ADF＝90， ∴∠BAE＝∠ADF， 在△ABE和△DAF中 ， ∴△ABE≌△DAF(AAS)； (2)解：在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAF＝∠AGB＝30， 在Rt△ADF中，∠AFD＝90，AD＝6， ∴AF＝3，DF＝3， 由(1)得△ABE≌△DAF， ∴AE＝DF＝3， ∴EF＝AF－AE＝3－3. 17. (1)證明：∵△AFC是由△ABC折疊得到的， ∴AF＝AB，∠F＝∠B， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90， ∴AF＝CD，∠F＝∠D， ∵∠FEA＝∠DEC， ∴△AFE≌△CDE(AAS)； (2)解：由(1)知△AFE≌△CDE， ∴AE＝CE， ∴DE＝AD－AE＝8－CE， 在Rt△DCE中，由勾股定理得CE2＝DE2＋CD2， ∴CE2＝(8－CE)2＋42，解得CE＝5， ∴S△ACE＝AECD＝54＝10，即圖中陰影部分面積為10. 能力提升訓(xùn)練 1. B　【解析】由勾股定理得x2＋y2＝大正方形邊長的平方，即大正方形的面積49，故①正確；小正方形的面積為4，∴邊長為2，即x－y＝2，故②正確；四個直角三角形的面積再加上中間正方形的面積4等于大正方形的面積49，即xy4＋4＝2xy＋4＝49，故③正確；(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy，由③可知2xy＝45，∴x2＋y2＋2xy＝49＋45＝94，∴x＋y≠9，故④錯誤． 2. D　【解析】如解圖，設(shè)△PAB底邊AB上的高為h，∵S△PAB＝S矩形ABCD，得ABh＝ABAD，∴h＝2為定值，在AD上截取AE＝2，作EF∥AB，交CB于點(diǎn)F，故點(diǎn)P在直線EF上 ，作點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，交直線EF于點(diǎn)P，此時PA＋PB最小，且PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B＝＝. 第2題解圖 3. C　【解析】∵△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處，∴∠1＝∠2，CE＝FE，BF＝BC＝10，在Rt△ABF中，∵AB＝6，BF＝10，∴AF＝＝8，∴DF＝AD－AF＝10－8＝2，設(shè)EF＝x，則CE＝x，DE＝CD－CE＝6－x，在Rt△DEF中，∵DE2＋DF2＝EF2，∴(6－x)2＋22＝x2，解得x＝，∴ED＝，∵△ABG沿BG折疊，恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，∴∠3＝∠4，BH＝BA＝6，AG＝HG，∴∠EBG＝∠2＋∠3＝∠ABC＝45，∴①正確；HF＝BF－BH＝10－6＝4，設(shè)AG＝y(tǒng)，則GH＝y(tǒng)，GF＝8－y，在Rt△HGF中，∵GH2＋HF2＝GF2，∴y2＋42＝(8－y)2，解得y＝3，∴AG＝GH＝3，GF＝5，∵∠A＝∠D，＝，＝，∴≠，∴△ABG與△DEF不相似，∴②錯誤；∵S△ABG＝63＝9，S△FGH＝GHHF＝34＝6，∴S△ABG＝S△FGH，∴③正確；∵AG＋DF＝3＋2＝5，而GF＝5，∴AG＋DF＝GF，∴④正確，∴①③④正確． 第3題解圖 4. (，3)或(，1)或(2，－2)　【解析】由折疊性質(zhì)可知，OA＝OA′＝4，假設(shè)點(diǎn)A′坐標(biāo)為(x，y)則有x2＋y2＝42＝16，點(diǎn)A′到矩形較長兩對邊的距離之比為1∶3，可分為兩種情況：①A′至AC的距離為A′至OB距離的3倍，可得y1＝1，y2＝－2，代入x2＋y2＝16得，x1＝，x2＝2，又∵A′處于y軸右側(cè)，∴A′為(，1)或(2，－2)；②A′至OB的距離為A′至AC的距離的3倍，可得y3＝3，代入x2＋y2＝16得x3＝，又∵A′處于y軸右側(cè)，∴A′為(，3)，綜上所述，A′為(，3)或(，1)或(2，－2)． 第5題解圖 5. 4600　【解析】由題意得，BA＋AG＋GE＝3100 m，∵AB＝1500 m，∴AG＋GE＝3100－1500＝1600 m，∵BD為對角線，∠DBC＝45，而GE⊥DC，∴∠DGE＝45，△DEG為等腰直角三角形，∴DE＝GE，如解圖，過點(diǎn)G作GH⊥AB，易證△AGH≌△EFC，∴AG＝EF，∴AB＋AD＋DE＋EF＝AB＋AD＋(GE＋AG)＝3000＋1600＝4600 m. 6. (1)證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，且AC、BD互相平分， ∴DO＝CO， ∵已知△COD與△CED關(guān)于CD對稱， ∴△COD≌△CED， ∴CO＝CE，DO＝DE， ∴CE ＝CO＝DO＝DE， ∴四邊形OCED是菱形； (2)解：①如解圖①，連接EO交CD于點(diǎn)F，延長EO交AB于點(diǎn)H， ∵四邊形OCED是菱形， ∴EO⊥CD，且EO、CD互相平分， ∴EF＝FO，DF＝FC＝3， ∴FO∥BC，即EH∥BC，且EF＝FO＝BC＝， 又∵FO∥BC，在矩形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90， ∴四邊形FHBC是矩形， ∴FH＝BC＝，HB＝FC＝3， ∴AH＝AB－HB＝3，EH＝EF＋FH＝， ∵AB∥CD，EH⊥CD， ∴EH⊥AB， ∴AE2＝AH2＋EH2＝32＋()2＝，解得AE＝， ∴sin∠AEH＝＝＝， ∴sin∠DAE＝sin∠AEH＝； 第6題解圖① 第6題解圖② ②如解圖②，在AE上取點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥AD于點(diǎn)M， ∴t＝＋＝OP＋AP， ∵sin∠DAE＝＝， ∴MP＝AP， ∴t＝OP＋AP＝OP＋PM， 當(dāng)點(diǎn)O、P、M共線時，t＝OP＋PM＝OM取得最小值， ∴OM⊥AD， ∵在矩形ABCD中，AB⊥AD，BO＝DO， ∴OM∥AB，且點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)， ∴OM為△ABD的中位線， ∴t＝OM＝AB＝3， ∵OM∥AB， ∴Rt△EHA∽Rt△EOP， ∴＝＝， ∴PE＝AE＝3， ∴AP＝AE－EP＝， 故AP的長為 cm，點(diǎn)Q走完全程需要3 s. 拓展培優(yōu)訓(xùn)練 1. D　【解析】過E作EH⊥CF于點(diǎn)H，由折疊的性質(zhì)得：BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝BE，∴EF＝CE，∴∠FEH＝∠CEH，∴∠AEB＋∠CEH＝90，∵在矩形ABCD中，∠BAE＋∠BEA＝90，∴∠BAE＝∠CEH，∠B＝∠EHC，∴△ABE∽△EHC，∴＝，∵AE＝＝10，∴EH＝，∴sin∠ECF＝＝. 第1題解圖 2. D　【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45，∠BOC＝90，∴∠BOF＋∠COF＝90，∵∠EOF＝90，∴∠BOF＋∠BOE＝90，∴∠BOE＝∠COF，在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF，∵∠EOF＝90，∴EF＝OE，故(1)正確；∵S四邊形OEBF＝S△BOF＋S△BOE＝S△BOF＋S△COF＝S△BOC＝S正方形ABCD，∴S四邊形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4，故(2)正確；∵BE＝CF，∴BE＋BF＝BF＋CF＝BC＝OA，故(3)正確；∵∠EOG＝∠BOE，∠OEG＝∠OBE＝45，∴△OEG∽△OBE，∴OE∶OB＝OG∶OE，∴OGOB＝OE2，∵OB＝BD，OE＝EF，∴OGBD＝EF2，∵在△BEF中，EF2＝BE2＋BF2，∴EF2＝AE2＋CF2，∴OGBD＝AE2＋CF2，故(4)正確． 特殊四邊形的相關(guān)證明與計算鞏固集訓(xùn) 1. (1)證明：∵四邊形ABCD、四邊形ADEF都是菱形， ∴AB＝AD＝AF， ∴△ABF是等腰三角形， 又∵∠BAD＝∠FAD， ∴AD⊥BF； (2)解：由(1)知AB＝AD＝AF， 又∵AB＝BC，BF＝BC， ∴AB＝AF＝BF， ∴△ABF是等邊三角形， ∴∠BAF＝60， 又∵∠BAD＝∠FAD， ∴∠BAD＝30， 又∵四邊形ABCD是菱形， ∴∠ADC＋∠BAD＝180， ∴∠ADC＝180－∠BAD＝150. 2. (1)證明：∵∠ADE＝∠BAD， ∴AB∥DE， ∵AE⊥AC，BD⊥AC， ∴AE∥BD， ∴四邊形ABDE是平行四邊形； (2)解：∵DA平分∠BDE， ∴∠ADE＝∠BDA， ∵∠ADE＝∠BAD， ∴∠BAD＝∠BDA， ∴BD＝AB＝5， 設(shè)BF＝x，則DF＝5－x， ∴AD2－DF2＝AB2－BF2， ∴62－(5－x)2＝52－x2， 解得x＝， ∴AF＝＝， ∵BD平分AC， ∴AC＝2AF＝. 3. 證明：(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴DC∥AB，即DF∥BE， 又∵DF＝BE， ∴四邊形BFDE為平行四邊形， 又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90， ∴四邊形BFDE為矩形； (2)由(1)知平行四邊形BFDE為矩形， ∴∠BFC＝90， ∵在△BFC中，CF＝3，BF＝4，根據(jù)勾股定理得， BC＝＝＝5， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD＝BC＝5， ∴AD＝DF＝5， ∴∠DAF＝∠DFA， ∵DC∥AB， ∴∠DFA＝∠FAB， ∴∠DAF＝∠FAB， 即AF平分∠DAB. 4. (1)證明：∵AE∥BF， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABF， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， 同理可證AB＝BC， ∴AD＝BC， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， 又∵AB＝AD， ∴四邊形ABCD是菱形； (2)解：∵四邊形ABCD是菱形，BD＝6， ∴AC⊥BD，OD＝BD＝3， ∴在Rt△AOD中，cos∠ADB＝cos30＝＝， ∴AD＝3＝2. 5. (1)證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ADF＝∠ABE＝90，AD＝AB， 在△ADF和△ABE中， ， ∴△ADF≌△ABE(SAS)； (2)解：如解圖，過點(diǎn)E作EG⊥AD，交DA的延長線于點(diǎn)G， 第5題解圖 ∵∠AGE＝∠GAB＝∠ABE＝90， ∴四邊形ABEG是矩形，GE＝AB， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB＝GE＝BC＝CD＝AD＝3BE， 又∵BE＝1， ∴CE＝BC＋BE＝4， 在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE＝＝， 在Rt△CDE中，由勾股定理得，DE＝＝5， ∴S△ADE＝ADGE＝33＝， 又∵S△ADE＝AHDE， ∴AH＝＝， 在Rt△AEH中，由勾股定理得EH＝＝， ∴tan∠AED＝＝. 6. (1)證明：連接DE交BF于點(diǎn)O，則DE⊥BF， 第6題解圖 ∵∠ODG＋∠OGD＝90， ∠CBG＋∠CGB＝90，∠CGB＝∠OGD ∴∠CDE＝∠CBG， 又∵BC＝DC，∠BCG＝∠DCE， ∴△BCG≌△DCE(ASA)， ∴CG＝CE； (2)解：∵正方形邊長BC＝4， ∴BD＝BC＝4，DC＝BC＝4， 菱形BDFE的面積為S＝44＝16， ∴菱形BDFE的面積為16. 7. (1)證明：∵AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F， ∴∠AEB＝∠AFD＝90， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠ABE＝∠ADF， ∴△ABE∽△ADF； (2)證明：∵AG＝AH， ∴∠AGH＝∠AHG， ∴∠AGB＝∠AHD， ∵△ABE∽△ADF， ∴∠BAG＝∠DAH， ∴△BAG≌△DAH(ASA)， ∴AB＝AD， ∵四邊形ABCD是平行四邊形且AB＝AD， ∴平行四邊形ABCD是菱形； (3)解：∵△ADF恰好與△ACE重合， ∴AD＝AC，∠FAE即為所求角， 又∵由(2)可得，AD＝DC＝BC＝AB＝AC， ∴△ADC和△ACB均為等邊三角形， ∴∠ABC＝∠ADC＝60，∠BAD＝∠BCD＝120， 又∵AE⊥BC，AF⊥DC， ∴∠BAE＝∠DAF＝30， ∴∠FAE＝120－30－30＝60，即n＝60. 8. (1)證明：由折疊的性質(zhì)可得，∠DBC＝∠DBF， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠DBF＝∠ADB， ∴BF＝DF， ∴△BDF是等腰三角形； (2)解：①四邊形BFDG是菱形． 理由如下：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，即DF∥BG， ∵DG∥BF， ∴四邊形BFDG是平行四邊形， 由(1)得BF＝DF ∴平行四邊形BFDG是菱形； ②∵矩形ABCD中AB＝6，AD＝8，∠A＝90， ∴BD＝＝10， ∵四邊形BFDG是菱形， ∴BD⊥GF，GF＝2OF，BD＝2OD， ∴OD＝5， ∴tan∠ADB＝＝＝， ∴OF＝， ∴FG＝.