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.1．設(shè) 都是 n 階方陣，則下列命題正確的是(A BA,)．A． ?2．向量組的秩是（B ） ．B. 3 3． 元線性方程組 有解AXb?的充分必要條件是（A?。?．A. )(r?4. 袋中有 3 個紅球，2 個白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，則兩球都是紅球的概率是（D ） ．D. 9/255．設(shè) 是來自正態(tài)總體 的樣xn1,? N,??2本，則（C ）是 無偏估計． C. 315x?6．若 是對稱矩陣，則等式（B　 ）成立． B. ??7． （ D ?。?．D. ???????154374??????8．若（A）成立，則 元線性方程組 有唯一nAXO?解．A. r()9. 若條件（ C）成立，則隨機(jī)事件 ， 互為對立事B件． C. 且??BU?10．對來自正態(tài)總體 （ 未知）的一N~(,)??2個樣本 ，記 ，則下列各式中（C　X123,?1i）不是統(tǒng)計量． C. ??211. 設(shè) 為 矩陣， 為 矩陣，當(dāng) 為（B?。〢4?5矩陣時，乘積 有意義．B . ?12. 向量組 的極大線性?????123401,,無關(guān)組是（ A ） ．A．13. 若線性方程組的增廣矩陣為 ，則當(dāng)???????2?＝（ D）時線性方程組有無窮多解． D．1/2 ?14. 擲兩顆均勻的骰子，事件“點數(shù)之和為 4”的概率是（C ）.　C.1/12　15. 在對單正態(tài)總體 的假設(shè)檢驗問題中， 檢N(,)??2T驗法解決的問題是（B ） ．B. 未知方差，檢驗均值16. 若 都是 n 階矩陣，則等式（B）成立． B. A,?17. 向量組 的秩是（C ????3,210,142??） ．C. 318. 設(shè)線性方程組 有惟一解，則相應(yīng)的齊次方程bX組 （A ） ．A. 只有 0 解 O19. 設(shè) 為隨機(jī)事件，下列等式成立的是（D?。?．D. B,)((P??1．設(shè) 為三階可逆矩陣，且 ，則下式(B )成,?k立． B． A?2．下列命題正確的是（C ） ．C．向量組 , ,O?21?s的秩至多是 s3．設(shè) ，那么 A 的特征值是(D ) D．-4，6???????154．矩陣 A 適合條件（ D ）時，它的秩為 r． D．A 中線性無關(guān)的列有且最多達(dá) r 列 5．下列命題中不正確的是（ D ） ．D．A 的特征向量的線性組合仍為 A 的特征向量6. 擲兩顆均勻的骰子，事件“點數(shù)之和為 3”的概率是（ B ） ． B．1/18 7．若事件 與 互斥，則下列等式中正確的是．A．P()??8. 若事件 A，B 滿足 ，則 A 與 B 一定1)(?P（A ?。?． A．不互斥 9．設(shè) , 是兩個相互獨立的事件，已知則（B ）??)(PB． 2/3 10．設(shè) 是來自正態(tài)總體nx,21?的樣本，則（ B ）是統(tǒng)計量． B．)(?ni11. 若 ，則 （A　0352?x?） ．A.3 2. 已知 2 維向量組 ，則4321,α至多是（B　?。?．B 2),(431αr3. 設(shè) 為 階矩陣，則下列等式成立的n是（C?。?． C. ???4. 若 滿足（ B?。?，則 與 是相A,互獨立． B. )((P5. 若隨機(jī)變量 的期望和方差分別為X和 ，則等式（D ）成立． D. )E2][?1．設(shè) 均為 階可逆矩陣，則下列等,n式成立的是( )． A． ??1?2．方程組 相容的充分必要條件是??????312ax()，其中 ， ． B．0?i),(?23．設(shè)矩陣 的特征值為 0，2，???????A則 3A 的特征值為 ( ) ． B．0，6 4. 設(shè) A，B 是兩事件，則下列等式中（ ）是不正確的． C. ，其中P?A，B 互不相容5．若隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨立，則方差=（ ?。?．D．)3(?9?6．設(shè) A 是 矩陣， 是 矩nm?ts陣，且 有意義，則 是(B． )C?矩陣． 7．若 X1、X 2 是線性方程組 AX=B 的解，而是方程組 AX = O 的解，則（ ?、）是 AX=B 的解．　A． 213?8．設(shè)矩陣，則 A 的對應(yīng)于特征值 的一??個特征向量 =()C．1，1,0?9. 下列事 件運算關(guān)系正確的是（ ） ．A． B?10．若隨機(jī)變量 ，則隨機(jī)變量)1,0(~NX（ N2.,3） ） ．D． 23?Y11．設(shè) 是來自正態(tài)總體 的1,x2??樣本，則（）是 的無偏估計． C．325?12．對給定的正態(tài)總體 的一個樣),(2本 ， 未知，求 的置信,(1nx?區(qū)間，選用的樣本函數(shù)服從（ 　 ） ．B．t 分布 ⒈設(shè) ，則abc123?（D　123?） ．D. －6⒉若，則 （A?。?． A. 1/2 a⒊乘積矩陣 中元素 C. 10 405??????c23?⒋設(shè) 均為 階可逆矩陣，則下列運算,n關(guān)系正確的是（　B） ．B. ()B?1⒌設(shè) 均為 階方陣， 且 ，Ak??則下列等式正確的是（D） ．D. ?An⒍下列結(jié)論正確的是（　A） ．A. 若 是正交矩陣，則 也是正交矩陣?1⒎矩陣 的伴隨矩陣為（） ．C. 325??????⒏方陣 可逆的充分必要條件是（B?。?．B.A?⒐設(shè) 均為 階可逆矩陣，則C,n（ D?。?．D. ()???1()??1⒑設(shè) 均為 階可逆矩陣，則下列等式成立的是 A. AB?22⒈用消元法得 的解 為（C　x1340????1??????） ．C. [,]??⒉線性方程組 （B?。?．B. 有x1236??唯一解 ⒊向量組 的秩為（　A） ．A. 3 04??????,⒋設(shè)向量組為 ，則（B　?1234???????,）是極大無關(guān)組．B. ⒌ 與 分別代表一個線性方程組的系數(shù)矩A陣和增廣矩陣，若這個方程組無解，則（D） ．D. 秩 秩()??1⒍若某個線性方程組相應(yīng)的齊次線性方程組只有零解，則該線性方程組（A　） ．可能無解 ⒎以下結(jié)論正確的是（D） ．D. 齊次線性方程組一定有解⒏若向量組 線性相關(guān)，則向量組?12,? s內(nèi)（A　）可被該向量組內(nèi)其余向量線性表出． A. 至少有一個向量 9．設(shè) A，Ｂ為 階矩陣， 既是Ａ又是Ｂ的特征值，n?既是Ａ又是Ｂ的屬于 的特征向量，則結(jié)論（）成x立．Ｄ． 是 A+B 的屬于 的特征向量10．設(shè)Ａ，Ｂ，Ｐ為 階矩陣，若等式（Ｃ?。┏闪?，則稱Ａ和Ｂ相似．Ｃ． 　 　BP??1⒈ 為兩個事件，則（　B）成立． B. A,()??⒉如果（　C）成立，則事件 與 互為對立事件． C. 且 ?U⒊10 張獎券中含有 3 張中獎的獎券，每人購買 1 張，則前 3 個購買者中恰有 1 人中獎的概率為（D?。?． D. 072?.4. 對于事件 ，命題（C?。┦钦_的． C. 如果AB,對立，則 對立⒌某隨機(jī)試驗的成功率為 ,則在 3 次重復(fù))1(?p試驗中至少失敗 1 次的概率為（D?。?． D. )()23p??6.設(shè)隨機(jī)變量 ，且XBn~,，則參數(shù) 與 分別是（A　E.?48096） ． A. 6, 0.8 7.設(shè) 為連續(xù)型隨機(jī)變量 的密度函數(shù)，則對任fx()意的 ，ab,?EX()?（A　） ．A. xfd????8.在下列函數(shù)中可以作為分布密度函數(shù)的是（B?。?． B. 9.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為 ，分布函數(shù)Xfx()為 ，則對任意的區(qū)間 ，則Fx(),ab（D） ．D. ??aPfd?10.設(shè) 為隨機(jī)變量， ，E(),???2當(dāng)（C?。r，有 ． C. Y01X?⒈設(shè) 是來自正態(tài)總體 （xn12,? N(,)2均未知）的樣本，則（ A）是統(tǒng)計量． A. ??x1⒉設(shè) 是來自正態(tài)總體 （3??均未知）的樣本，則統(tǒng)計量（D）不是 的,2無偏估計 D. x1?二、填空題（每小題 3 分，共 15 分） 1．設(shè) 均為 3 階方陣， ，則BA,2,?-18?。??2．設(shè) 為 n 階方陣，若存在數(shù)?和非零 n 維向量 ，X使得 ，則稱?為 的特征值． X3)(???????7,0???????01a????其 它,02sin)(?f.3 設(shè)隨機(jī)變量 ，則 a =　　　　0.3． 012~.5X??????4．設(shè) 為隨機(jī)變量，已知 ，此時3)(?D27 ．()?5．設(shè) 是未知參數(shù) 的一個無偏估計量，則有　　 ??．E?6．設(shè) 均為 3 階方陣， ，則BA,6,8．1()??7．設(shè) 為 n 階方陣，若存在數(shù)? 和非零 n 維向量 ，使X得 ，則稱 為 相應(yīng)于特征值? 的特征向量． X8．若 ，則 　0.3 ．5.0)(,?P9．如果隨機(jī)變量 的期望 ， ，那2E9)(么 20．2D10．不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為　統(tǒng)計量　?。?1. 設(shè) 均為 3 階矩陣，且 ，則BA,-8?。??112.設(shè) ， ．2??????074_)(r13. 設(shè) 是三個事件，那么 發(fā)生，但 至少有ABC,B,一個不發(fā)生的事件表示為　 .)(?14. 設(shè)隨機(jī)變量 ，則 　15．15,~X?E15. 設(shè) 是來自正態(tài)總體 的一個樣nx,21? N,??2本， ，則??i)(D16. 設(shè) 是 3 階矩陣，其中 ，則BA,,?12．??1217. 當(dāng) =1 時，方程組 有無窮多解． ．?????21x18. 若 ，則5.0)(,69.)(P0.2．?)ABP19. 若連續(xù)型隨機(jī)變量 的密度函數(shù)的是X，則 2/3．????其 它,012(xf)(E20. 若參數(shù) 的估計量 滿足 ，則稱 為 的????無偏估計 　 ?。? n2?1．行列式 的元素 的代數(shù)余子式 的值為= -7056831a21A56．2．已知矩陣 滿足 ，則 與nsijcCB??)(,分別是 階矩陣．3．設(shè) 均為二階可逆矩陣，則 ．A,???????1OAB4．線性方程組 一般解的自由未知??????32641x量的個數(shù)為 2．5．設(shè) 4 元線性方程組 AX=B 有解且 r（A）=1，那么 AX=B 的相應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系含有 3 個解向量． 6． 設(shè) A，B 為兩個事件，若 P（AB ）= P（A ） P（B） ，則稱 A 與 B 相互獨立 ． 7．設(shè)隨機(jī)變量 的概率分布為X則 a = 0.3 ． 8．設(shè)隨機(jī)變量 ，則??????3.0421~0.9．EX()?9．設(shè) 為隨機(jī)變量，已知 ，那么)(D8． ?)72(10．礦砂的 5 個樣本中，經(jīng)測得其銅含量為， ， ， ， （百分?jǐn)?shù)） ，1x2345x設(shè)銅含量服從 N（ ， ） ， 未知，?2?在 下，檢驗 ，則取統(tǒng)計量 0.?0?．5sxt?1. 設(shè) 均為 n 階可逆矩陣，逆矩陣分別BA,為 ，則 　1??1)(．)(??2. 向量組 ),0(,0,32k???線性相關(guān)，則 ._?k3. 已知 ，則)(8)P．(BA64. 已知隨機(jī)變量 ，那么???????5.0132~X．?)(E4.5. 設(shè) 是來自正態(tài)總體21,x?的一個樣本，則 　　?N10??i．)4,(1．設(shè) ，則 的根是 2)(???xf0)(f,2．設(shè)向量 可由向量組?線性表示，則表示方法唯n?1?一的充分必要條件是 ． 線性n,21?無關(guān)3．若事件 A，B 滿足 ，則 P（A - ?B）= )(P?4． ．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，則常數(shù) k =???????其 它,01)(2xf?45．若樣本 來自總體n,?，且 ，則~NX??i1x),0(7．設(shè)三階矩陣 的行列式 ，則A2=21?8．若向量組： ， ，???????1?302，能構(gòu)成 R3 一個基，則數(shù) k ?3k． ?9．設(shè) 4 元線性方程組 AX=B 有解且 r（A）=1，那么 AX=B 的相應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系含有 3 個解向量．10．設(shè) 互不相容，且 ，,P()?0則 0　　　 　　．()?11．若隨機(jī)變量 X ~ ，則 ]2,[U?D1/3．12．設(shè) 是未知參數(shù) 的一個估計，且滿足??，則 稱為 的無偏估計．)(E⒈ 7 ．14?⒉ 是關(guān)于 的一個一次多項式，x則該多項式一次項的系數(shù)是 2 ．⒊若 為 矩陣， 為 矩陣，A4?B5切乘積 有意義，則 為 5×4 矩C?陣．⒋二階矩陣 ．???????10⒌設(shè) ，則AB?243,()????????8156⒍設(shè) 均為 3 階矩陣，且,，則 72 ．?2⒎設(shè) 均為 3 階矩陣，且AB，則?1,－3 ．?2()⒏若 為正交矩陣，則 a???????0?0 ．⒐矩陣 的秩為 2 ．1403???????⒑設(shè) 是兩個可逆矩陣，則A2,OA12????????．???????12O⒈當(dāng) 1 時，齊次線性方程組 有非零??x120?????解．⒉向量組 線性 相關(guān) ???120,,．⒊向量組 的??30秩３ ．⒋設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)行列式123x??，則這個方程組有 無窮多 解，?0且系數(shù)列向量 是線性 相關(guān) 的．,⒌向量組的極????1230,大線性無關(guān)組是 ．1,⒍向量組 的秩與矩陣? s的秩 相同 ．?12,?⒎設(shè)線性方程組 中有 5 個未知量，且秩AX?，則其基礎(chǔ)解系中線性無關(guān)的解向量有 2 ()3個．⒏設(shè)線性方程組 有解， 是它的一個特解，b0且 的基礎(chǔ)解系為 ，則 的12,通解為 ．0Xk?9．若 是Ａ的特征值，則 是方程 的???AI?根．10．若矩陣Ａ滿足 　 ，則稱Ａ為正交矩??1陣．⒈從數(shù)字 1,2,3,4,5 中任取 3 個，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個三位數(shù)是偶數(shù)的概率為 2/5．2.已知 ，則當(dāng)事件PAB().,.?05互不相容時， 0.8 ，,)?0.3 ．3. 為兩個事件，且 ，則?．()??4. 已知 ，則PABp(,)?P(?．?15. 若事件 相互獨立，且，則q(),()?．p?6. 已知 ，則當(dāng)事件..?035相互獨立時， 0.65 ，AB,P()0.3 ．()7.設(shè)隨機(jī)變量 ，則 的分布函數(shù)XU~,1．Fx???????0kx0 1 2pa 0.2 0.5.8.若 ，則 6 ．XB~(,.)203E(?9.若 ，則N??P)??．?10. 稱為二維隨機(jī)變量Y[()(]的 協(xié)方差 ．,1．統(tǒng)計量就是不含未知參數(shù)的樣本函數(shù) ．2．參數(shù)估計的兩種方法是 點估計 和 區(qū)間估計 ．常用的參數(shù)點估計有 矩估計法 和最大似然估 兩種方法．3．比較估計量好壞的兩個重要標(biāo)準(zhǔn)是無偏性，有效性 ．4．設(shè) 是來自正態(tài)總體 （xn12,? N(,)??2已知）的樣本值，按給定的顯著性水平 檢驗??，需選取統(tǒng)計量H010:;:???．nxU/?5．假設(shè)檢驗中的顯著性水平 為事件（u 為臨界值）發(fā)生的概率．?||0三、 （每小題 16 分，共 64 分）A1．設(shè)矩陣 ，且有AB????????12354,，求 ．X?解：利用初等行變換得12031????????5即　 　　由矩陣乘法和轉(zhuǎn)置運算得A????????1207XB?362.設(shè)矩陣 ，求 ．????????502,31BAA1?解：利用初等行變換得 ??????????242??160351即　　 由矩?????????????A陣乘法得????5201846351BA3.已知 ，其中 ，求X??????3,7B．解：利用初等行變換得??????????????1052310857364即　　　　??????6??125A由矩陣乘法運算得??????????28350461BX4.設(shè)矩陣 ，?1,372A是 3 階單位矩陣，且有I，求 ．BX??)(1. 解：由矩陣減法運算得????????????94372180AI利用初等行變換得132749????????0231即　　　　?1()IA???????30由矩陣乘法運算得???????????65192403)(1BIX5．設(shè)矩陣 ，求?,A（1） ；（ 2） ． （1）I)(?=307425120??（2）因為 =)(AI??????034所以 =BI)(??12?． ???????093546．設(shè)矩陣 ，????????65312,40BA解矩陣方程 ． X?解：因為 ???????????????1207341205，得 ?????????12341A所以 ?BX??75． ???????1329687 設(shè)矩陣 ，求（1） ，??????45A（2） ． 解1?1） 023???（2）利用初等行變換得?????????????145??10205????????????97即　 A??1258 .,3XB，求且??????BAXI求且己 知例 于 是得 出 ??????????18305274)(1、9．設(shè)矩陣 ，求：,（1） ；（2） ．1?解：（1）因為 203?A121?B所以 ． ?（2）因為 ??????????103IA所以 ?2/10．????????2/310．已知矩陣方程 ，其中 ，BAX?????????301，求 ．????????35021B解：因為 ，且XAI)(???????102??01即 ????????2)(1AI所以 ．???3450)(1BIX11．設(shè)向量組 ， ，)1,42(???，，?),68(?，，， ，求這53，， 3，，個向量組的秩以及它的一個極大線性無關(guān)組．解：因為（ ）=1234???????456823071所以，r( ) = 3． 42,?它的一個極大線性無關(guān)組是 （或41,） ．32,1⒉設(shè) ，求ABC??????????????0,．?.解： ????????????1024630)(CBA13 寫出 4 階行列式中元素 的代數(shù)余子式，并求其值．126530?a14,： )(14??53062)(4??14 求矩陣 的秩．23??????解 ????????? ?? ????????????????01012344rr?3)(?AR15．用消元法解線性方程組 x1234685???????????????????????????261093784231025rrA??? ???????? ?687934rrr方????????????????????? ?101053424rr ?程組解為 ?????432xA2．求線性方程組的全部解．解： 將方程組的增廣矩陣化為階梯形 ???????????0462318473????0方程組的一般解為（其中 為自由未知量） x14235???????令 =0，得到方程的一個特解 . )01(0?X方程組相應(yīng)的齊方程的一般解為（其中 為自由未知量）??????43215x令 =1，得到方程的一個基礎(chǔ)解系x4. )15(???X于是，方程組的全部解為 （其中10kX?為任意常數(shù)） k2.當(dāng) 取何值時，線性方程組???????4796321x有解，在有解的情況下求方程組的全部解．解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形 ????????????19025?8401由此可知當(dāng) 時，方程組無解。當(dāng)?時，方程組有解?！　? 分?此時齊次方程組化為??????432159x分別令 及 ，得0,1,齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系??????54,192X令 ，得非齊次方程組的x34?一個特解?080由此得原方程組的全部解為k?12（其中 為任意常數(shù)）　　 ……1612,分3.求線性方程組的全部解．解： 將方程組的增廣矩陣化為階梯形????????04623187??????21方程組的一般解為　　 ?。ㄆ鋢435??????中 為自由未知量） 4令 =0，得到方程的一個特解. )01(?X方程組相應(yīng)的齊次方程的一般解為（其中 為自由未知量）??????43215x令 =1，得到方程的一個基礎(chǔ)解系. )15(1?X于是，方程組的全部解為（其中 為任意常數(shù)） 　0k??4.求線性方程組???????8325941x的全部解．解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形 ??????????????2413058293???????021此時相應(yīng)齊次方程組的一般解為是自由未知??????4321x量令 ，得齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系4???11X令 ，得非齊次方程組的一個特解0x?2由此得原方程組的全部解為（其中10k?為任意常數(shù)）k5．設(shè)齊次線性方程組 的系數(shù)矩AX陣經(jīng)過初等行變換，得 求此齊次2013????????線性方程組的一個基礎(chǔ)解系和通解． 因為 ??????012/3得一般解： （其??????4321x是自由元） 43,x令 ，得 ；0???1X令 ，,43?得 ．???2所以， 是方程組的一個基??21,礎(chǔ)解系． 方程組的通解為： ?X，其中 是任意常數(shù)． 21k?1,6．設(shè)齊次線性方程組 ， 為???????083521x?何值時方程組有非零解？在有非零解時，解：因為 A = ??????8352???????6103??01時， ，5?即當(dāng) 3)(?Ar所以方程組有非零解． 方程組的一般解為： ，其中 為???321x自由元．令 =1 得 X1= ，則方程組的基礎(chǔ)解3x),(?系為{X 1}．通解為 k1X1，其中 k1 為任意常數(shù)． 求出通解． 7. 當(dāng) 取何值時，線性方程組????????253421x有解，在有解的情況下求方程組的全部解．解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形01???????????????23由此可知當(dāng) 時，方程組無解。當(dāng) 時，??3方程組有解?！　　　　　? 分此時相應(yīng)齊次方程組的一般解為（ 是自由未知量）x1342?????43,分別令 及 ，得0x1?齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系??X12??,令 ，得非齊次方程組的一個特解x34?,0?由此得原方程組的全部解為8.k 為何值時，線性方程組． 且 方 程 組 的 一 般 解 為方 程 組 有 解時當(dāng) 為 階 梯 形將 方 程 組 的 增 廣 矩 陣 化解 并 求 出 一 般 解有 解 ，kAx5,037241:3421????????????????281743x???????843721x.),(573614432為 自 由 未 知 量其 中 xx???????9．求齊次線性方程組 的通??0295314x解．解： A= ????????62103一般解為 ，其中 x2，x 4 是自由元 ?????543令 x2 = 1，x 4 = 0，得 X1 = ；),(??x2 = 0，x 4 = 3，得 X2 =,,(所以原方程組的一個基礎(chǔ)解系為 { X1，X 2 }． 原方程組的通解為： ，其中 k1，k 2 是任?意常數(shù)． 10．設(shè)有線性方程組?12???????xyz為何值時，方程組有唯一解?或有無窮多解?解： ］?????????? ?? ?????????????2322)1(0333?rrA當(dāng) 且 時，??，方程組有唯一解)(R當(dāng) 時， ，方程組有無?)(A窮多解11．判斷向量 能否由向量組 線性表出，??123,若能，寫出一種表出方式．其中 ??????????????837105623,,解：向量 能否由向量組 線性表出，?321,?當(dāng)且僅當(dāng)方程組有解????321xx這里　 ?????????? ????????????????5710470658,321?A)(R?方程組無解?不能由向量??線性表出321,?12．計算下列向量組的秩，并且（1）判斷該向量組是否線性相關(guān) 123478906????????,解：?????????? ???????????????018236314,321?該向量組線性相關(guān)?13．求齊次線性方程組x123405???????的一個基礎(chǔ)解系．解： ?????????? ???????????????307142540531223rrA????????????????????? ????23134321rrr方程組的一般解為 　　令??????014532x，得基礎(chǔ)解系　13x???????045?14．求下列線性方程組的全部解． x123459756???????解： ?????????? ???????????????02871456031574922rrA方程組一般解為????????? 0221r???????9432x令 ， ，這里 ， 為1k21k2任意常數(shù)，得方程組通解A3．設(shè) ，試求: (1))4,3(~NX；(2) ． （已知95?P7?）,81.0??8.0,2.解：1 )(()??1574.39.?(2 )(7?XP)??28.?2.設(shè) ，試求：(1) ；N~(,4()?1(2) （已知)75?）9.03,.解：(1) PX(??12()84).(2 (()537???)..109153..設(shè) ，求 和2,~NXP.（其中(,6)(?, ）84)7.3解：設(shè) )10(2Y84.5???XP)2(?= .().= 170693.14.設(shè) ，試求⑴ ；⑵N~(,2?． （已知PX)58,4.?）,7.0?解： 　(?13().0987⑵ P)852???(..4155．某射手射擊一次命中靶心的概率是 0.8，該射手連續(xù)射擊 5 次，求：（1）命中靶心的概率； （2）至少 4 次命中靶心的概率．解：射手連續(xù)射擊 5 次，命中靶心的次數(shù)（1）設(shè) ：“命中靶心” ，則XB~(,.)AP()???0．　 239685C..（2）設(shè) ：“至少 4 次命中靶心” ，則BXP()()????5．　545087328..6．設(shè) 是兩個隨機(jī)事件，已知 ，BA,4.0)(?AP， ，求：5.0)(?P4.（1） ； （2） ． )(?解（1） = = = )(.0?18（2 BA??)]([P.]850.[7．設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為，求：(1) k； (2) E(X )，D(X)．解：（1）因為 1== = = 3 k， 所以 ????xfd)(22?k = 3(2) E(X) = = = ???21dx214?5E( ) = =?23D(X) = E( ) - = 8058．設(shè)隨機(jī)變量 X ~ N（8，4） ．求 )1(??P和 ．( ，?69.)??， )．13.072解：因為 X ~ N（ 8，4） ，則 ~ YN（0，1） ． 所以 = =)(??P5.02)5.2(= = = =0.38?1(69.?3 ． = = .)2(?X8?P730)2(?9. 設(shè) ，試求⑴4,~N；⑵ ． （已知9??）,413.0)(??9.)(.解：⑴ 325???XP⑵174.08.)(?237?X)(?‘9110.假設(shè) A,B 為兩件事件，己知 P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B| )=0.4, 求 P(A+B)A????其 它(2kf.解：P( )=P( )P(B| )=0.5 0.4=0.2．P(AB)BA?=P(B)－P( B)=0.6－0.2=0.4P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=0.7。11．設(shè)隨機(jī)變量 ． （1）求 ；),4(~NX)2(??P（2）若 ，求 k 的值． （已知93.0??） ．58,7.)(?解：（1） ＝1－)?)(?= 1－ ＝1 －（ ）4P= 2（1－ ）＝0.045． 　　　(（2） ))??kX＝1－＝1－ 5.1(93.0(?))4?k即　k－4 = -1.5， k＝2.5．　12．罐中有 12 顆圍棋子，其中 8 顆白子，4 顆黑子．若從中任取 3 顆，求：（1）取到 3 顆棋子中至少有一顆黑子的概率；（2）取到 3 顆棋子顏色相同的概率．解：設(shè) =“取到 3 顆棋子中至少有一顆黑子” ，1A=“取到的都是白子 ”， =“取到的都是黑子 ”，2B =“取到 3 顆棋子顏色相同” ，則（1） )(1)(2P??．　　 （2）745.0328??C)()(32AP?．　.1..312413．設(shè)隨機(jī)變量 X ~ N（3， 4） ．求：（1）P（1 1.96 ，所以拒絕237|0H11．某零件長度服從正態(tài)分布，過去的均值為20.0，現(xiàn)換了新材料，從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 8 個樣品，測得的長度為（單位：cm）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5問用新材料做的零件平均長度是否起了變化（） ．?5.解：由已知條件可求得：12.067.?s135.9|8/|/|0?T?2).,(5.,tnt?∵ | T | < 2.62 ∴ 接受 H0即用新材料做的零件平均長度沒有變化。四、證明題（本題 6 分）1．設(shè) 是 階對稱矩陣，試證：BA,也是對稱矩陣．?證明： 是同階矩陣，由矩陣的運算性質(zhì)可知??)(已知 是對稱矩陣，故有,，即BA??)(由此可知 也是對稱矩陣，證畢．　　2 設(shè)隨機(jī)事件 , 相互獨立，試證：也相互獨立．,證明： )(1)()(APBPBA????所以 也相互獨立．證畢． ,3、設(shè) , 為隨機(jī)事件，試證：．)(證明：由事件的關(guān)系可知 )(U???而 ，故由概率的性質(zhì)可知??ABP()即 )(證畢4 設(shè) 是線性無關(guān)的，證明, 321α也線性無關(guān)．1?.證明：設(shè)有一組數(shù) ，使得2,k0)()(321???k成立，即 )()(3213??k，由已知 線性無關(guān)，故有2,????031k該方程組只有零解，得 ，0321?k故 是線性無關(guān)21,??的．證畢．5．設(shè) n 階矩陣 A 滿足 ，)(?I則 A 為可逆矩陣．證明： 因為 ，即 　　 　 0)(2???IAII2所以，A 為可逆矩陣． 6.．設(shè) , 為隨機(jī)事件，試證：BP證明：由事件的關(guān)系可知UAB??????()()而 ，故由概率的性質(zhì)可知AB???P()()7．設(shè) n 階矩陣 A 滿足 ，則 A 為0I可逆矩陣．證明： 因為 ，即)(2???I； 所以 ，A 為可逆矩陣 ．I?28．設(shè)向量組 ，若,1?m2? ,1線性相關(guān)，證明 線)(,2s?? ?,2?性相關(guān)．證明：因為向量組 線性相關(guān)，1s,2?故存在一組不全為 0 的數(shù) ，使k?21??sk??成立．于是存在不全為 0 的數(shù)，使,,21s? ???? sm?1??sk??9．若 也 是 正 交 矩 陣是 正 交 矩 陣 ， 試 證 'A證明：因為所以','1I?可 逆 且因 而是 正 交 陣 ， 故有 ??')()'(1即， 是 正 交 陣10.設(shè) , 是兩個隨機(jī)事件，試證：ABP()()?證明：由事件的關(guān)系可知 U?而 ，故由加法公式和乘法公式?)(可知證畢．　　 BAPBA()?11.設(shè) 是同階對稱矩陣，試證： 也是,對稱矩陣證明：因12．證 畢 。故 可 知 是 對 稱 矩 陣 ，???)(設(shè) 是 n 階矩陣，若 = 0，則A3．21I??證明：因為 )(.= 32AI??= = 3所以 1)(I?13．設(shè)向量組 線性無關(guān)，令2,?， ，1?314?，證明向量組 線性無關(guān)。證明：設(shè) ，即021?k)()(1321??k因為4213??線性無關(guān)，所以 2,??????0321k解得 k1=0, k2=0, k3=0，從而 線性無關(guān)． ,?14 對任意方陣 ，試證 是對稱矩陣．A?證明： '')('??是對稱矩陣??15 若 是 階方陣，且 ，試證 或nI1．?1證明： 是 階方陣，且?A??2??I或 1?16 若 是正交矩陣，試證 也是正交矩陣．A?證明： 是正交矩陣????1)()(?A即 是正交矩陣?1７．試證：任一４維向量 都可由向??4321,a?量組， ， ，???????01?23??????4線性表示，且表示方式唯一，寫出這種表示方式．證明：??????01?2??????0123??34?任一４維向量可唯一表示為)(34214321??????????aa)(??1⒏試證：線性方程組有解時，它有唯一解的充分必要條件是：相應(yīng)的齊次線性方程組只有零解．證明：設(shè) 為含 個未知量的線性方程組BAX?n該方程組有解，即 R)(從而 有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)而相應(yīng)齊次線性方程組 只有零解的充分必0要條件是 n)(有唯一解的充分必要條件是：相應(yīng)的齊次?BAX?線性方程組 只有零解19．設(shè) 是可逆矩陣Ａ的特征值，且?，試證： 是矩陣 的特征0?11?A值．證明： 是可逆矩陣Ａ的特征值 存???在向量 ，使?????11)()(IA即 是矩陣 的特征值?1?20．用配方法將二次型 43212431xxf????化為標(biāo)準(zhǔn)型．解： 423214321)()(fxx令 ，?y??， ，423?234y即 ????41yx則將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型　 231f???.