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xx中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：考點(diǎn)27 菱形 一．選擇題（共4小題） 1．（xx?十堰）菱形不具備的性質(zhì)是（　?。? A．四條邊都相等 B．對(duì)角線一定相等 C．是軸對(duì)稱圖形 D．是中心對(duì)稱圖形 【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)即可判斷； 【解答】解：菱形的四條邊相等，是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線垂直不一定相等， 故選：B． 　 2．（xx?哈爾濱）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD=8，tan∠ABD=，則線段AB的長(zhǎng)為（　?。? A． B．2 C．5 D．10 【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根據(jù)勾股定理求出AB即可． 【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD， ∴∠AOB=90， ∵BD=8， ∴OB=4， ∵tan∠ABD==， ∴AO=3， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5， 故選：C． 　 3．（xx?淮安）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)分別為6和8，則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)是（　?。? A．20 B．24 C．40 D．48 【分析】由菱形對(duì)角線的性質(zhì)，相互垂直平分即可得出菱形的邊長(zhǎng)，菱形四邊相等即可得出周長(zhǎng)． 【解答】解：由菱形對(duì)角線性質(zhì)知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO， 則AB==5， 故這個(gè)菱形的周長(zhǎng)L=4AB=20． 故選：A． 　 4．（xx?貴陽）如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點(diǎn)，EF∥CB，交AB于點(diǎn)F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周長(zhǎng)為（　?。? A．24 B．18 C．12 D．9 【分析】易得BC長(zhǎng)為EF長(zhǎng)的2倍，那么菱形ABCD的周長(zhǎng)=4BC問題得解． 【解答】解：∵E是AC中點(diǎn)， ∵EF∥BC，交AB于點(diǎn)F， ∴EF是△ABC的中位線， ∴EF=BC， ∴BC=6， ∴菱形ABCD的周長(zhǎng)是46=24． 故選：A． 　 二．填空題（共6小題） 5．（xx?香坊區(qū)）已知邊長(zhǎng)為5的菱形ABCD中，對(duì)角線AC長(zhǎng)為6，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上且tan∠EAC=，則BE的長(zhǎng)為　3或5?。? 【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和分兩種情況進(jìn)行解答即可． 【解答】解：當(dāng)點(diǎn)E在對(duì)角線交點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖1所示： ∵菱形ABCD中，邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線AC長(zhǎng)為6， ∴AC⊥BD，BO=， ∵tan∠EAC==， 解得：OE=1， ∴BE=BO﹣OE=4﹣1=3， 當(dāng)點(diǎn)E在對(duì)角線交點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖2所示： ∵菱形ABCD中，邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線AC長(zhǎng)為6， ∴AC⊥BD，BO=， ∵tan∠EAC==， 解得：OE=1， ∴BE=BO﹣OE=4+1=5， 故答案為：3或5； 　 6．（xx?湖州）如圖，已知菱形ABCD，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．若tan∠BAC=，AC=6，則BD的長(zhǎng)是　2?。? 【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．再解Rt△OAB，根據(jù)tan∠BAC==，求出OB=1，那么BD=2． 【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC=6， ∴AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB． 在Rt△OAB中，∵∠AOD=90， ∴tan∠BAC==， ∴OB=1， ∴BD=2． 故答案為2． 　 7．（xx?寧波）如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是銳角，AE⊥BC于點(diǎn)E，M是AB的中點(diǎn)，連結(jié) MD，ME．若∠EMD=90，則cosB的值為　?。? 【分析】延長(zhǎng)DM交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．首先證明DE=EH，設(shè)BE=x，利用勾股定理構(gòu)建方程求出x即可解決問題． 【解答】解：延長(zhǎng)DM交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H． ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=BC=AD=2，AD∥CH， ∴∠ADM=∠H， ∵AM=BM，∠AMD=∠HMB， ∴△ADM≌△BHM， ∴AD=HB=2， ∵EM⊥DH， ∴EH=ED，設(shè)BE=x， ∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD， ∴∠AEB=∠EAD=90 ∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2， ∴22﹣x2=（2+x）2﹣22， ∴x=﹣1或﹣﹣1（舍棄）， ∴cosB==， 故答案為． 　 8．（xx?廣州）如圖，若菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（3，0），（﹣2，0），點(diǎn)D在y軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是　（﹣5，4）?。? 【分析】利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理得出DO的長(zhǎng)，進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo)． 【解答】解：∵菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（3，0），（﹣2，0），點(diǎn)D在y軸上， ∴AB=5， ∴AD=5， ∴由勾股定理知：OD===4， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是：（﹣5，4）． 故答案為：（﹣5，4）． 　 9．（xx?隨州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形OABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C在x軸正半軸上，∠AOC=60，若將菱形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75，得到四邊形OA′B′C′，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為?。ǎ仯。? 【分析】作B′H⊥x軸于H點(diǎn)，連結(jié)OB，OB′，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠AOB=30，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BOB′=75，OB′=OB=2，則∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45，所以△OBH為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)可計(jì)算得OH=B′H=，然后根據(jù)第四象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出B′點(diǎn)的坐標(biāo)． 【解答】解：作B′H⊥x軸于H點(diǎn)，連結(jié)OB，OB′，如圖， ∵四邊形OABC為菱形， ∴∠AOC=180﹣∠C=60，OB平分∠AOC， ∴∠AOB=30， ∵菱形OABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75至第四象限OA′B′C′的位置， ∴∠BOB′=75，OB′=OB=2， ∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45， ∴△OBH為等腰直角三角形， ∴OH=B′H=OB′=， ∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（，﹣）． 故答案為：（，﹣）． 　 10．（xx?黑龍江）如圖，在平行四邊形ABCD中，添加一個(gè)條件　AB=BC或AC⊥BD　使平行四邊形ABCD是菱形． 【分析】根據(jù)菱形的判定方法即可判斷． 【解答】解：當(dāng)AB=BC或AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD是菱形． 故答案為AB=BC或AC⊥BD． 　 三．解答題（共10小題） 11．（xx?柳州）如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AB=2． （1）求菱形ABCD的周長(zhǎng)； （2）若AC=2，求BD的長(zhǎng)． 【分析】（1）由菱形的四邊相等即可求出其周長(zhǎng)； （2）利用勾股定理可求出BO的長(zhǎng)，進(jìn)而解答即可． 【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，AB=2， ∴菱形ABCD的周長(zhǎng)=24=8； （2）∵四邊形ABCD是菱形，AC=2，AB=2 ∴AC⊥BD，AO=1， ∴BO=， ∴BD=2 　 12．（xx?遂寧）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC上的點(diǎn)，且DE=BF，AC⊥EF．求證：四邊形AECF是菱形． 【分析】根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可證明； 【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵DE=BF， ∴AE=CF，∵AE∥CF， ∴四邊形AECF是平行四邊形， ∵AC⊥EF， ∴四邊形AECF是菱形． 　 13．（xx?郴州）如圖，在?ABCD中，作對(duì)角線BD的垂直平分線EF，垂足為O，分別交AD，BC于E，F(xiàn)，連接BE，DF．求證：四邊形BFDE是菱形． 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法證明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進(jìn)而利用對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形得出四邊形BFDE為菱形． 【解答】證明：∵在?ABCD中，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)， ∴BO=DO，∠EDB=∠FBO， 在△EOD和△FOB中， ， ∴△DOE≌△BOF（ASA）； ∴OE=OF， 又∵OB=OD， ∴四邊形EBFD是平行四邊形， ∵EF⊥BD， ∴四邊形BFDE為菱形． 　 14．（xx?南京）如圖，在四邊形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且OA=OB=OD．求證： （1）∠BOD=∠C； （2）四邊形OBCD是菱形． 【分析】（1）延長(zhǎng)AO到E，利用等邊對(duì)等角和角之間關(guān)系解答即可； （2）連接OC，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定解答即可． 【解答】證明：（1） 延長(zhǎng)OA到E， ∵OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO， 又∠BOE=∠ABO+∠BAO， ∴∠BOE=2∠BAO， 同理∠DOE=2∠DAO， ∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2（∠BAO+∠DAO） 即∠BOD=2∠BAD， 又∠C=2∠BAD， ∴∠BOD=∠C； （2）連接OC， ∵OB=OD，CB=CD，OC=OC， ∴△OBC≌△ODC， ∴∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO， ∵∠BOD=∠BOC+∠DOC，∠BCD=∠BCO+∠DCO， ∴∠BOC=∠BOD，∠BCO=∠BCD， 又∠BOD=∠BCD， ∴∠BOC=∠BCO， ∴BO=BC， 又OB=OD，BC=CD， ∴OB=BC=CD=DO， ∴四邊形OBCD是菱形． 　 15．（xx?呼和浩特）如圖，已知A、F、C、D四點(diǎn)在同一條直線上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE． （1）求證：△ABC≌△DEF； （2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90，請(qǐng)直接寫出使四邊形EFBC為菱形時(shí)AF的長(zhǎng)度． 【分析】（1）根據(jù)SAS即可證明． （2）解直角三角形求出DF、OE、OF即可解決問題； 【解答】（1）證明：∵AB∥DE， ∴∠A=∠D， ∵AF=CD， ∴AF+FC=CD+FC， 即AC=DF， ∵AB=DE， ∴△ABC≌△DEF． （2）如圖，連接AB交AD于O． 在Rt△EFD中，∵∠DEF=90，EF=3，DE=4， ∴DF==5， ∵四邊形EFBC是菱形， ∴BE⊥CF，∴EO==， ∴OF=OC==， ∴CF=， ∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=． 　 16．（xx?內(nèi)江）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC上的點(diǎn)，AE=CF，并且∠AED=∠CFD． 求證：（1）△AED≌△CFD； （2）四邊形ABCD是菱形． 【分析】（1）由全等三角形的判定定理ASA證得結(jié)論； （2）由“鄰邊相等的平行四邊形為菱形”證得結(jié)論． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠A=∠C． 在△AED與△CFD中， ∴△AED≌△CFD（ASA）； （2）由（1）知，△AED≌△CFD，則AD=CD． 又∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴四邊形ABCD是菱形． 　 17．（xx?泰安）如圖，△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G⊥BC于點(diǎn)G，與DE交于點(diǎn)H，若FG=AF，AG平分∠CAB，連接GE，CD． （1）求證：△ECG≌△GHD； （2）小亮同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：AD=AC+EC．請(qǐng)你幫助小亮同學(xué)證明這一結(jié)論． （3）若∠B=30，判定四邊形AEGF是否為菱形，并說明理由． 【分析】（1）依據(jù)條件得出∠C=∠DHG=90，∠CGE=∠GED，依據(jù)F是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G∥AE，即可得到FG是線段ED的垂直平分線，進(jìn)而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD； （2）過點(diǎn)G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC=AP，由（1）可得EG=DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△GPD，依據(jù)EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC； （3）依據(jù)∠B=30，可得∠ADE=30，進(jìn)而得到AE=AD，故AE=AF=FG，再根據(jù)四邊形AECF是平行四邊形，即可得到四邊形AEGF是菱形． 【解答】解：（1）∵AF=FG， ∴∠FAG=∠FGA， ∵AG平分∠CAB， ∴∠CAG=∠FGA， ∴∠CAG=∠FGA， ∴AC∥FG， ∵DE⊥AC， ∴FG⊥DE， ∵FG⊥BC， ∴DE∥BC， ∴AC⊥BC， ∴∠C=∠DHG=90，∠CGE=∠GED， ∵F是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G∥AE， ∴H是ED的中點(diǎn)， ∴FG是線段ED的垂直平分線， ∴GE=GD，∠GDE=∠GED， ∴∠CGE=∠GDE， ∴△ECG≌△GHD； （2）證明：過點(diǎn)G作GP⊥AB于P， ∴GC=GP，而AG=AG， ∴△CAG≌△PAG， ∴AC=AP， 由（1）可得EG=DG， ∴Rt△ECG≌Rt△GPD， ∴EC=PD， ∴AD=AP+PD=AC+EC； （3）四邊形AEGF是菱形， 證明：∵∠B=30， ∴∠ADE=30， ∴AE=AD， ∴AE=AF=FG， 由（1）得AE∥FG， ∴四邊形AECF是平行四邊形， ∴四邊形AEGF是菱形． 　 18．（xx?廣西）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE=DF． （1）求證：?ABCD是菱形； （2）若AB=5，AC=6，求?ABCD的面積． 【分析】（1）利用全等三角形的性質(zhì)證明AB=AD即可解決問題； （2）連接BD交AC于O，利用勾股定理求出對(duì)角線的長(zhǎng)即可解決問題； 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠B=∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90， ∵BE=DF， ∴△AEB≌△AFD ∴AB=AD， ∴四邊形ABCD是平行四邊形． （2）連接BD交AC于O． ∵四邊形ABCD是菱形，AC=6， ∴AC⊥BD， AO=OC=AC=6=3， ∵AB=5，AO=3， ∴BO===4， ∴BD=2BO=8， ∴S平行四邊形ABCD=ACBD=24． 　 19．（xx?揚(yáng)州）如圖，在平行四邊形ABCD中，DB=DA，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，連接DF并延長(zhǎng)，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE． （1）求證：四邊形AEBD是菱形； （2）若DC=，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面積． 【分析】（1）由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四邊形AEBD是平行四邊形，再根據(jù)BD=AD可得結(jié)論； （2）解直角三角形求出EF的長(zhǎng)即可解決問題； 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥CE， ∴∠DAF=∠EBF， ∵∠AFD=∠EFB，AF=FB， ∴△AFD≌△BFE， ∴AD=EB，∵AD∥EB， ∴四邊形AEBD是平行四邊形， ∵BD=AD， ∴四邊形AEBD是菱形． （2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴CD=AB=，AB∥CD， ∴∠ABE=∠DCB， ∴tan∠ABE=tan∠DCB=3， ∵四邊形AEBD是菱形， ∴AB⊥DE，AF=FB，EF=DF， ∴tan∠ABE==3， ∵BF=， ∴EF=， ∴DE=3， ∴S菱形AEBD=?AB?DE=?3=15． 　 20．（xx?烏魯木齊）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC=90，E是BC的中點(diǎn)，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于點(diǎn)F． （1）求證：四邊形AECD是菱形； （2）若AB=6，BC=10，求EF的長(zhǎng)． 【分析】（1）根據(jù)平行四邊形和菱形的判定證明即可； （2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答即可． 【解答】證明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC， ∴四邊形AECD是平行四邊形， ∵∠BAC=90，E是BC的中點(diǎn)， ∴AE=CE=BC， ∴四邊形AECD是菱形； （2）過A作AH⊥BC于點(diǎn)H， ∵∠BAC=90，AB=6，BC=10， ∴AC=， ∵， ∴AH=， ∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC=10，四邊形AECD是菱形， ∴CD=CE=5， ∵S?AECD=CE?AH=CD?EF， ∴EF=AH=．