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提分專練(五)　與全等三角形有關(guān)的中檔計算題與證明題 |類型1|　全等三角形與等腰三角形的結(jié)合問題1.如圖T5-1,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE. 求證:(1)△AEF≌△CEB; (2)AF=2CD. 圖T5-1 2.[xx蘇州] 如圖T5-2,∠A=∠B,AE=BE,點D在AC邊上,∠1=∠2,AE和BD相交于點O. (1)求證:△AEC≌△BED; (2)若∠1=42,求∠BDE的度數(shù). 圖T5-2 3.[xx呼和浩特] 如圖T5-3,等腰三角形ABC中,BD,CE分別是兩腰上的中線. (1)求證:BD=CE; (2)設(shè)BD與CE相交于點O,點M,N分別為線段BO和CO的中點.當△ABC的重心到頂點A的距離與底邊長相等時,判斷四邊形DEMN的形狀,無需說明理由. 圖T5-3 4.如圖T5-4,△ACB和△DCE均為等腰三角形,點A,D,E在同一直線上,連接BE.若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50. (1)求證:AD=BE; (2)求∠AEB的度數(shù). 圖T5-4 |類型2|　全等三角形與直角三角形的結(jié)合問題 5.如圖T5-5,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分別為D,E,AD,CE交于點H,請你添加一個適當條件　　　　,使△AEH≌△CEB. 圖T5-5 6.如圖T5-6,在△ABC中,∠C=90,AD平分∠CAB,交CB于點D,過點D作DE⊥AB于點E. (1)求證:△ACD≌△AED; (2)若∠B=30,CD=1,求BD的長. 圖T5-6 |類型3|　全等三角形與等腰直角三角形的結(jié)合問題 7.已知:如圖T5-7,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90,D為AB邊上一點. (1)求證:△ACE≌△BCD; (2)求證:2CD2=AD2+DB2. 圖T5-7 8.如圖T5-8,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90,AB=AC,CB=CD.延長CA至點E,使AE=AC;延長CB至點F,使BF=BC.連接AD,AF,DF,EF,延長DB交EF于點N. (1)求證:AD=AF; (2)求證:BD=EF. 圖T5-8  參考答案 1.證明:(1)∵AD⊥BC,CE⊥AB, ∴∠BCE+∠B=90,∠FAE+∠B=90, ∴∠FAE=∠BCE. 在△AEF和△CEB中, ∠FAE=∠BCE,AE=CE,∠AEF=∠CEB, ∴△AEF≌△CEB(ASA). (2)∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BC=2CD. ∵△AEF≌△CEB, ∴AF=BC,∴AF=2CD. 2.[解析] (1)用ASA證明兩三角形全等;(2)利用全等三角形的性質(zhì)得出EC=ED,∠C=∠BDE,再利用等腰三角形的性質(zhì):等邊對等角,即可求出∠C的度數(shù),進而得到∠BDE的度數(shù). 解:(1)證明:∵AE和BD相交于點O, ∴∠AOD=∠BOE. 在△AOD和△BOE中,∠A=∠B, ∴∠BEO=∠2. 又∵∠1=∠2, ∴∠1=∠BEO, ∴∠AEC=∠BED. 在△AEC和△BED中,∠A=∠B,AE=BE,∠AEC=∠BED, ∴△AEC≌△BED(ASA). (2)∵△AEC≌△BED, ∴EC=ED,∠C=∠BDE. 在△EDC中, ∵EC=ED,∠1=42, ∴∠C=∠EDC=69, ∴∠BDE=∠C=69. 3.解:(1)證明:∵AB,AC為等腰三角形的兩腰, ∴AB=AC. ∵BD,CE分別是兩腰上的中線, ∴AE=AD. 在△AEC與△ADB中, AE=AD,∠A=∠A,AC=AB, ∴△AEC≌△ADB, ∴BD=CE. (2)四邊形DEMN為正方形. 4.解:(1)證明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50, ∴AC=BC,DC=EC, ∠ACB=∠DCE=180-250=80. ∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE, ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中, AC=BC,∠ACD=∠BCE,DC=EC, ∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴AD=BE. (2)∵△ACD≌△BCE, ∴∠ADC=∠BEC. ∵點A,D,E在同一直線上,且∠CDE=50, ∴∠ADC=180-∠CDE=130, ∴∠BEC=130. ∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50, ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=130-50=80. 5.AE=EC(答案不唯一)　[解析] 根據(jù)垂直關(guān)系,可以判斷△AEH與△CEB有兩對對應(yīng)角相等,所以只需要找它們的一對對應(yīng)邊相等就可以了. ∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分別為D,E, ∴∠BEC=∠AEC=∠HDC=90, 在Rt△AEH中,∠EAH=90-∠AHE, 在Rt△CDH中,∠DCH=90-∠DHC, 又∠AHE=∠DHC, ∴∠EAH=∠BCE. 所以根據(jù)AAS可添加AH=CB或EH=EB; 根據(jù)ASA可添加AE=CE. 故答案為AH=CB或EH=EB或AE=CE等. 6.解:(1)證明:∵AD平分∠CAB, ∴∠CAD=∠EAD. ∵DE⊥AB,∠C=90, ∴∠ACD=∠AED=90. 又∵AD=AD, ∴△ACD≌△AED. (2)∵△ACD≌△AED, ∴DE=CD=1. ∵∠B=30,∠DEB=90, ∴BD=2DE=2. 7.證明:(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形, ∴AC=BC,CD=CE, ∵∠ACB=∠DCE=90, ∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD, ∴∠ACE=∠BCD, 在△ACE和△BCD中, AC=BC,∠ACE=∠BCD,CE=CD, ∴△ACE≌△BCD(SAS). (2)∵△ACB是等腰直角三角形, ∴∠B=∠BAC=45. ∵△ACE≌△BCD, ∴∠B=∠CAE=45. ∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45+45=90, ∴AD2+AE2=DE2. 由(1)知AE=DB, ∴AD2+DB2=DE2, 又DE2=2CD2,∴2CD2=AD2+DB2. 8.證明:(1)∵AB=AC,∠BAC=90, ∴∠ABC=∠ACB=45,∴∠ABF=135. ∵∠BCD=90, ∴∠ACD=135. ∴∠ABF=∠ACD, ∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD. 在△ABF和△ACD中, AB=AC,∠ABF=∠ACD,BF=CD, ∴△ABF≌△ACD(SAS),∴AD=AF. (2)由(1)知,AF=AD,△ABF≌△ACD, ∴∠FAB=∠DAC. ∵∠BAC=90,∴∠EAB=∠BAC=90, ∴∠EAF=∠BAD. 在△AEF和△ABD中, AE=AB,∠EAF=∠BAD,AF=AD, ∴△AEF≌△ABD(SAS),∴BD=EF.