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1、 目 錄 摘 要 1 關(guān)鍵詞 1 Abstract 2 Key words 2 1 引言 2 2 準(zhǔn)備知識 2 3 在應(yīng)用積分中值定理時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn) 3 4 積分中值定理的簡單應(yīng)用 4 4.1 在力學(xué)中的應(yīng)用 4 4.2 確定定積分的符號 5 4.3 求含有定積分的極限 6 4.4 估計(jì)定積分 7 4.5 證明積分不等式 8 4.6 判斷某些點(diǎn)的存在問題 9 4.7 求與有關(guān)收斂有關(guān)的問題 10 11 積分中值定理的簡單應(yīng)用 摘 要:本文綜合歸納了積分中值定理在力學(xué)、確定定積分符號、求含有定積分的極限、估計(jì)定積分、證明

2、積分不等式、判斷某些點(diǎn)的存在問題及求與收斂有關(guān)問題的應(yīng)用. 關(guān)鍵詞:積分第一中值定理；推廣的積分中值定理；估計(jì)定積分 The application about intermediate value theorem of integral Abstract: This paper reviews and summarizes the application of stationary functional theory in integration, mainly regarding to the field of machanics, determining the

3、signs for definite integrals, evaluating the limit of the dedinite integral, estimating the definite integral, evidencing the definite integral inequality, judging the exist problems related to it and finding solution to convergence problem. Key words: Intermediate value theorem of integral ；Extens

4、ion intermediate value theorem of integral ;Estimate definite integral 1 引言 積分中值定理是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)基本定理之一，同時(shí)也是定積分的一個(gè)主要性質(zhì),它建立了積分和被積函數(shù)之間的關(guān)系,它在數(shù)學(xué)很多方面都有十分重要的作用.為簡單起見,文中就積分第一中值定理以及推廣的積分第一中值定理的應(yīng)用進(jìn)行討論. 2 準(zhǔn)備知識 定理 2.1[1] (積分第一中值定理) 若在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得 定理2.2[1] （推廣的積分第一中值定理）若在上連續(xù),且在上不變號,則在至少存在一點(diǎn),

5、使得 , 3 在應(yīng)用積分中值定理時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn) (1)在應(yīng)用定理2.1中要注意被積函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)這一條件，否則結(jié)論不成立. 例如 ： 顯然在處間斷， 由于 =0 但在上，，所以，對任何都不能使 (2)在應(yīng)用定理2.2中在上不變號這個(gè)條件也不能去掉 例如： 令 由于 但 所以不存在使 4 積分中值定理的簡單應(yīng)用 4.1 在力學(xué)中的應(yīng)用 (1)求平均速度 設(shè)速度函數(shù)在時(shí)間區(qū)間內(nèi)連續(xù)，根據(jù)定理2.1，有 由力學(xué)知識知，物體的位移,則

6、 即就是物體的平均速度. 例1 當(dāng)物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，即時(shí)內(nèi)的平均速度 ： 所以 這個(gè)結(jié)果說明，只有當(dāng)速度函數(shù)對時(shí)間均勻變化時(shí)，平均速度等于內(nèi)始、末速度的算術(shù)平均值. (2)求對空間累積的平均作用力 設(shè)力在位置區(qū)間內(nèi)連續(xù)，根據(jù)定積分中值定理，有 相對位移的平均作用力為 當(dāng)與位置坐標(biāo)無確定函數(shù)關(guān)系時(shí)，利用動(dòng)能定理 可得 當(dāng)與變量有確定函數(shù)關(guān)系時(shí)，可直接求出平均作用力. 例2 彈簧振子的作用力為，那么振子所受的平均作用力是： 計(jì)算得 ，即有線性關(guān)系時(shí)，平均作用力等于質(zhì)點(diǎn)始、末位置所受力的算術(shù)平均值. 4.

7、2 確定定積分的符號 定積分的幾何意義是求去邊多邊形的面積，如能知道它的符號對我們解很多題有很大的幫助.下面來看幾個(gè)實(shí)例. 例3 確定的符號 解 原式= = = = （） 其中 = 例4 確定的符號 解 原式= = = 由定理2.1得 =>0 其中 例5 確定符號 解 原式= = = =>0 其中0

8、解 由定理2.1得 , 因?yàn)?，所? 可得 = =0 例7 求,其中可微,且已知 解 由定理2.1得 =，其中 所以 ＝ 4.4 估計(jì)定積分 若定積分的值很難求出，可以通過推廣的積分中值定理化難為易，很方便估計(jì)其值.下面來看幾個(gè)實(shí)例. 例8 試估計(jì)的值 解 由定理2.1得 == 其中，.從而得 所以 例9 試估計(jì)的值 解 因?yàn)樵谏线B續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且 在內(nèi)無解,即 , 等號僅在時(shí)成立.故在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增,即 所以由積分第一中值定理有 4.5 證明

9、積分不等式 含定積分式的極限的不等式的證明，關(guān)鍵是去掉定積分號，積分中值定理和推廣的積分中值定理都有這個(gè)功能.下面來看幾個(gè)實(shí)例. 例10 設(shè)在[a,b]上連續(xù)，單調(diào)增加，證明： 證明 因?yàn)? 單調(diào)增加所以 例11 證明 證明 本題等價(jià)于在區(qū)間上求函數(shù)的最大值和最小值 , 令,得駐點(diǎn). 比較,,知為在上的最小值,而為在上的最大值.由積分中值定理得 , 即 . 4.6 判斷某些點(diǎn)的存在問題 某些帶積分式的函數(shù)，常常會有要求判定具有某些性質(zhì)的點(diǎn)的存在的問題，如能巧妙的運(yùn)用積分中值定理將使問題迎刃而解.下面來看幾

10、個(gè)實(shí)例. 例12 設(shè)函數(shù)在[0,1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且 證明存在。 證明 由定理2.1知，存在使得 即 所以 由羅爾中值定理可知,在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使得易知命題得證. 例13 設(shè)在上不恒為零，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并有.試證明：存在一點(diǎn)，使得： 證明 如果，則結(jié)論顯然成立，下面考慮的情形. 由定理2.1以及拉格朗日中值定理可知，存在一點(diǎn)使得 其中，，于是可得 4.7

11、求與有關(guān)收斂有關(guān)的問題 例14 設(shè)函數(shù)在為連續(xù)的，，有收斂.證明： 收斂并求其值， 證明 因，收斂，所以有 由定理2.1知，存在使 又因在上連續(xù)的，從而有 = 例15 設(shè)函數(shù)在，單調(diào)下降，且非負(fù)，，證明 證明 由定理2.1得 又因非負(fù)遞減，所以故 即與有相同的斂散性，而與有相同的斂散性,于是結(jié)論得證. 總 結(jié) 定積分在生活中是隨處可見的，遍布于各個(gè)領(lǐng)域.而積分中值定理在解決有關(guān)定積分的問題時(shí)，常常能簡化問題或是直

12、接求出結(jié)果.例如定積分的極限問題，在不借助積分中值定理的情況下是很難求出結(jié)果的，但是運(yùn)用了積分中值定理就能去掉定積分的積分號，起到了化難為易的效果.總而言之，積分中值定理是非常實(shí)用的. 參考文獻(xiàn) [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社,2001. [2] 周學(xué)圣 費(fèi)定暉.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集解[M].濟(jì)南：山東科技出版社,2001. [3] 王勇烈 李鐵臣.微積分與應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：航空工業(yè)出版社,1996. [4] 黃光谷 黃川 李楊.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集選講[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社,2006. [5] 錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹[M].武漢：崇文書局,2009. [6] 魯小能.定積分中值定理在力學(xué)中的幾個(gè)應(yīng)用[J]. 陜西師范大學(xué)成人教育學(xué)院學(xué)報(bào),1999. [7] 鄧曉紅.積分中值定理的應(yīng)用[J]. 貴陽金筑大學(xué)學(xué)報(bào),2004. [8] 劉俊先.積分中值定理的應(yīng)用[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)，2010. [9] 劉三陽.各類考研數(shù)學(xué)全真試題與解答[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2001. [10] 李世金.數(shù)學(xué)分析解題方法[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2001.