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1、 班級(jí)：08050541 學(xué)號(hào)：0805054132 姓名：張龍龍 基于小波分析的光譜數(shù)據(jù)去噪 1.1 課題背景及意義 光譜分析法是以輻射能與物質(zhì)組成和結(jié)構(gòu)之間的內(nèi)在聯(lián)系及表現(xiàn)形式—光譜的測(cè)量為基礎(chǔ)，利用光譜來(lái)分析樣品的物質(zhì)組成，屬性或者物態(tài)信息的技術(shù)。由于光譜分析技術(shù)具有分析速度快，精度高，結(jié)果穩(wěn)定，無(wú)破壞等優(yōu)點(diǎn)，在化工、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用[1],[2]。 由于在光譜測(cè)量過(guò)程會(huì)中受到儀器，樣品背景，各種干擾等隨機(jī)因素的影響，得到的光譜數(shù)據(jù)中不可避免的含有噪聲，如果不加以處理，會(huì)影響校

2、正模型建立的質(zhì)量和未知樣品預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性。通過(guò)對(duì)光譜數(shù)據(jù)的去噪預(yù)處理，可以減少噪聲的影響，提高模型的穩(wěn)定性。通常采用的去噪方法包括平滑，傅立葉分析等。其中光譜平滑的目的是消除高頻隨機(jī)誤差，其基本思路是在平滑點(diǎn)的前后各取若干點(diǎn)來(lái)進(jìn)行“平均”或“擬合”，以求得平滑點(diǎn)的最佳估計(jì)值，消除隨機(jī)噪聲，這一方法的基本前提是隨機(jī)噪聲在處理“窗口”內(nèi)的均值為零。這種平滑的方法可有效地平滑高頻噪聲，提高信噪比，但是它對(duì)有效信號(hào)也進(jìn)行平滑，容易造成信號(hào)失真，降低了光譜分辨率，而且光譜的兩端不能進(jìn)行平滑，因此存在一定的局限性。傅立葉分析對(duì)數(shù)據(jù)處理應(yīng)用的主要目的是加快信息的提取過(guò)程，通過(guò)壓縮數(shù)據(jù)使得信息提取更加有效，

3、同時(shí)去除干擾和噪聲。在傳統(tǒng)的信號(hào)處理中，傅立葉分析是數(shù)據(jù)預(yù)處理的主要手段，但是傅立葉分析只能獲得信號(hào)的整個(gè)頻譜，不能得到信號(hào)的局部特性，不能充分刻畫(huà)動(dòng)態(tài)的非平穩(wěn)信號(hào)的特征[3]。而小波分析可以把各種頻率組成的混合信號(hào)按照不同的分辨尺度分解成一系列不同頻率的塊信號(hào)。由此可對(duì)特殊頻率范圍內(nèi)的噪聲進(jìn)行濾波處理，小波分析靈活濾波的特性是其它方法無(wú)法比擬的。小波分析是從傅立葉分析的基礎(chǔ)上發(fā)展以來(lái)的，通過(guò)引入可變的尺度因子和平移因子，在信號(hào)分析時(shí)具有可調(diào)的時(shí)頻窗口，巧妙地解決了時(shí)頻局部化矛盾，彌補(bǔ)了傅立葉分析的不足，為信號(hào)處理提供了一種多分辨率下的動(dòng)態(tài)分析手段。由于小波分析對(duì)信號(hào)的分時(shí)分頻的精細(xì)表達(dá)和多分

4、辨率分析的特點(diǎn)，即有用信號(hào)和噪聲信號(hào)在不同尺度上呈現(xiàn)不同的視頻特征或者傳播行為，根據(jù)這些特征的不同，可以將有用信號(hào)提取出來(lái)。小波算法能夠滿足各種去噪要求，如低通，高通，隨機(jī)噪音的去除等[4],[5]。 小波分析有效地完成了信號(hào)的時(shí)間與空間的局部化，對(duì)于信號(hào)分析而言意義重大。小波分析具有多分辨率分析和多尺度的特點(diǎn)，可以由粗到精地逐步觀察信號(hào)，同時(shí)還具有品質(zhì)因數(shù)恒定，即相對(duì)帶寬（帶寬與中心頻率之比）恒定的特點(diǎn)；適當(dāng)?shù)剡x擇基小波，可以使其在時(shí)、頻兩域都有表征信號(hào)局部特征的能力，因此非常有利于信號(hào)分析。由于小波分析具有以上特性，人們把小波分析譽(yù)為分析信號(hào)的數(shù)學(xué)顯微鏡[6]。 1.2 本文的研究目的

5、和所做的研究工作 本文的目的是運(yùn)用小波分析對(duì)氣體的光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪。所作的研究工作是對(duì)小波分析多光譜數(shù)據(jù)的去噪的過(guò)程進(jìn)行細(xì)致的分析。同時(shí)對(duì)MATLAB軟件的應(yīng)用進(jìn)行了解，進(jìn)行仿真前的準(zhǔn)備。 1.3 研究工具 本文研究所用的工具是MATLAB的小波工具箱。MATLAB是MathWorks公司于1982年推出的一套高性能的數(shù)值計(jì)算和可視化軟件，它集數(shù)值分析，矩陣運(yùn)算，信號(hào)處理和圖形顯示于一體，構(gòu)成了一個(gè)方便的，界面友好的用戶環(huán)境。小波工具箱是許多基于MATLAB技術(shù)計(jì)算環(huán)境的函數(shù)包的集合。應(yīng)用MATLAB體系下的小波與小波包，提供了分解和綜合信號(hào)的工具。小波工具箱提供兩種工具，一是控制線的函

6、數(shù)，二是圖像操作工具。第一類(lèi)工具是由可以直接調(diào)出線或應(yīng)用命令的函數(shù)組成，這些函數(shù)大多是M文件或者各種實(shí)現(xiàn)特定的小波分解與綜合算法的陳述[7]。 本文的第二部分主要介紹了小波分析的一些基礎(chǔ)的理論知識(shí)，并對(duì)小波的一些去噪方法進(jìn)行了解析，第三部分則是根據(jù)小波分析進(jìn)行光譜數(shù)據(jù)去噪的仿真。第四部分對(duì)本文進(jìn)行總體的總結(jié)以及對(duì)未來(lái)的展望。 2 小波分析的理論基礎(chǔ)及去噪方法的解析 本節(jié)主要介紹了小波分析的基本理論以及小波分析對(duì)一維信號(hào)進(jìn)行消噪處理，其中理論部分包括連續(xù)小波分析，小波分析和傅立葉分析的比較，常用小波的介紹以及多分辨率分析在小波分析理論中的作用。運(yùn)用小波分析

7、進(jìn)行一維信號(hào)的消噪處理是小波分析的一個(gè)重要應(yīng)用，尤其是在光譜數(shù)據(jù)預(yù)處理去噪中有著廣泛的應(yīng)用。主要有基于小波分析的局部極大值點(diǎn)去噪和基于閾值去噪的兩種技術(shù)。Mallat提出了通過(guò)尋找小波分析系數(shù)中的局部極大值點(diǎn)，并根據(jù)此重構(gòu)信號(hào)可以很好的逼近原始信號(hào)。Donoho提出了基于閾值的小波去噪方法，先對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波分析，再對(duì)小波分析值進(jìn)行去噪處理，最后反分析得到去噪后的信號(hào)[8],[9]。 2.1 連續(xù)小波分析的基本概念 小波分析方法是一種窗口大小（即窗口面積）固定但其形狀可變，時(shí)間窗和頻率窗都可改變的時(shí)頻局部化分析方法，即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間

8、分辨率和較低的頻率分辨率。正是這種特性，使小波分析具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性[10]。 小波分析被看成調(diào)和分析這一數(shù)學(xué)領(lǐng)域半個(gè)世紀(jì)以來(lái)的工作結(jié)晶，已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于信號(hào)處理，圖像處理，量子場(chǎng)論，地震勘探，語(yǔ)音合成與識(shí)別，音樂(lè)，雷達(dá)，CT 成像，彩色復(fù)印，流體湍流，天體識(shí)別，機(jī)器視覺(jué)，機(jī)械故障診斷與監(jiān)控，分形及數(shù)字電視等領(lǐng)域。原則上講，傳統(tǒng)上使用傅立葉分析的地方都可以用小波分析來(lái)取代。小波分析優(yōu)于傅立葉分析的地方是，它在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)[11]。 設(shè),表示平方可積的實(shí)數(shù)空間，即能量有限的信號(hào)空間，其傅立葉分析為.當(dāng)滿足允許性條件(Admissiable Condition):

9、 式2.1 時(shí)，我們稱(chēng)為基本小波或者小波母函數(shù)(Mother Wavelet)。將母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后，就可以得到一個(gè)小波序列。對(duì)于連續(xù)的情況，小波序列為： 式2.2 其中，為伸縮因子，為平移因子。一般歸一化，令。由于，所以也單位化了。對(duì)于任意的函數(shù)的連續(xù)小波分析為： 式2.3 其中，當(dāng)相當(dāng)于頻率，相當(dāng)于位移。 其逆分析為：當(dāng)，

10、 式2.4 2.1.1 連續(xù)小波分析的時(shí)頻窗口特性 小波分析的時(shí)頻窗口特性和短時(shí)傅立葉分析的時(shí)頻窗口不一樣。其窗口形狀為兩個(gè)矩形，窗口中心為，時(shí)窗寬和頻窗寬分別為和。 圖2.1 連續(xù)小波分析的時(shí)頻窗口特性 在實(shí)際應(yīng)用中信號(hào)分析的要求是：信號(hào)高頻部分對(duì)應(yīng)時(shí)域中的快變成分，如陡峭的前沿、后沿、尖脈沖等，分析時(shí)對(duì)時(shí)域分辨率要求高，對(duì)頻域分辨率要求低。信號(hào)低頻成分對(duì)應(yīng)時(shí)域中的慢變成分，分析對(duì)時(shí)域分辨率要求低，對(duì)頻域分辨

11、率要求高。連續(xù)小波函數(shù)窗口有“變焦”特性:當(dāng)變小時(shí)，時(shí)域觀察范圍變窄，但頻率觀察的范圍變寬，且觀察的中心頻率向高頻處移動(dòng)；當(dāng)變大時(shí)，時(shí)域觀察范圍變寬，頻域的觀察范圍變窄，且分析的中心頻率向低頻處移動(dòng)[12-15]。 其中僅僅影響窗口在相平面上時(shí)間軸上的位置，而不僅影響窗口在頻率軸上的位置，也影響窗口的形狀。這樣小波分析對(duì)不同的頻率在時(shí)域上的取樣步長(zhǎng)是調(diào)節(jié)性的：在低頻時(shí)小波分析的時(shí)間分辨率較差，而頻率分辨率較高。在高頻時(shí)小波分析的時(shí)間分辨率較高，而頻率分辨率較低，這正符合低頻信號(hào)變化緩慢而高頻信號(hào)變化迅速的特點(diǎn)。這就是小波分析優(yōu)于經(jīng)典的傅立葉分析與短時(shí)傅立葉分析的地方?？偟膩?lái)說(shuō)，小波分析比短時(shí)

12、傅立葉分析有更好的時(shí)頻窗口特性。 2.1.2 連續(xù)小波分析的重要性質(zhì) （1）線性性：一個(gè)多分量信號(hào)的小波分析等于各個(gè)分量的小波分析之和。 （2）平移不變性：若的小波分析為，則的小波分析為 。 （3）伸縮共變性：若的小波分析為，則的小波分析為 。 （4）自相似性：對(duì)應(yīng)于不同尺度參數(shù)和不同平移參數(shù)的連續(xù)小波分析之間是自相似的。 （5）冗余性：連續(xù)小波分析中存在信息表述的冗余度。 2.2 小波分析和傅立葉分析的比較 小波分析是傅立葉分析思想方法的發(fā)展和拓延，它自產(chǎn)生以來(lái)，就一直與傅立葉分析密切相關(guān)，可以說(shuō)小波分析是一種廣義上的傅立葉分析。小波分析的存在性證明，小波基的構(gòu)造以及結(jié)果

13、分析都依賴(lài)于傅立葉分析，兩者是相輔相成的，比較后有以下特點(diǎn)： (1)傅立葉分析的實(shí)質(zhì)是把能量有限的信號(hào)分解到以為正交基的空間上去；小波分析的實(shí)質(zhì)是把能量有限的信號(hào)分解到和所構(gòu)成的空間上去。 (2)傅立葉分析用到的基本函數(shù)只有，，，具有唯一性；小波分析用到的函數(shù)則不具有唯一性，同一個(gè)工程問(wèn)題用不同的小波函數(shù)進(jìn)行分析有時(shí)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。小波函數(shù)的選用是小波分析應(yīng)用中的一個(gè)難題，目前往往是通過(guò)經(jīng)驗(yàn)和不斷地實(shí)驗(yàn)來(lái)選擇小波函數(shù)。 (3)在頻域中，傅立葉分析具有良好的局部化能力，特別是對(duì)于那些頻率成分比較簡(jiǎn)單的確定性信號(hào)，傅立葉分析很容易把信號(hào)表示成各頻率成分的疊加和的形式。但是在時(shí)域中，傅立葉分析沒(méi)

14、有局部化能力，即無(wú)法從信號(hào)的傅立葉分析中看出在任一時(shí)間點(diǎn)附近的形態(tài)。事實(shí)上，是關(guān)于頻率為的諧波分量的振幅，在傅立葉展開(kāi)式中，它是由的整體性態(tài)所決定的。 (4)在小波分析尺度中，尺度的值越大相當(dāng)于傅立葉分析中的值越小。 (5)在短時(shí)傅立葉分析中，分析系數(shù)主要依賴(lài)于信號(hào)在片段中的情況，時(shí)間寬度是(因?yàn)槭怯纱昂瘮?shù)唯一確定的，所以是一個(gè)定值)。在小波分析中，分析系數(shù)主要依賴(lài)于信號(hào)在片段中的情況，時(shí)間寬度是，該時(shí)間寬度是隨著尺度變化而變化的，所以小波分析具有時(shí)間局部分析能力。 (6)如果用信號(hào)通過(guò)濾波器來(lái)解釋?zhuān)〔ǚ治龊透盗⑷~分析的不同之處在于：對(duì)短時(shí)傅立葉分析來(lái)說(shuō)，帶通濾波器的帶寬與中心頻率無(wú)關(guān)

15、；相反，小波分析帶通濾波器的帶寬則正比于中心頻率，即為常數(shù)亦即濾波器有一個(gè)恒定的相對(duì)帶寬，稱(chēng)之為等結(jié)構(gòu)(為濾波器的品質(zhì)因數(shù))[16-18]。 2.3 常用小波函數(shù) 與標(biāo)準(zhǔn)傅立葉分析相比較，小波分析中應(yīng)用到的小波函數(shù)不具有唯一性，即小波函數(shù)具有多樣性。但是小波分析在工程應(yīng)用中一個(gè)十分重要的問(wèn)題是最優(yōu)小波基的選擇問(wèn)題，這是因?yàn)橛貌煌男〔ɑ治鐾粋€(gè)問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果，在面對(duì)某一具體應(yīng)用時(shí)，除了要選擇比較各小波的基本身的的正交性，對(duì)稱(chēng)性，正則性，緊支集，消失矩等問(wèn)題，同時(shí)還要注意具體的應(yīng)用環(huán)境的制約。目前主要是通過(guò)小波分析方法處理信號(hào)的結(jié)果的好壞來(lái)判定小波基的好壞，并由此選定小波基。

16、 一般而言，小波基的對(duì)稱(chēng)性和正交性不兼容，例如具有正交性的Daubechies小波就不具備對(duì)稱(chēng)性。正則性是函數(shù)光滑程度的一種描述，是函數(shù)領(lǐng)域能量的一種度量。我們說(shuō)小波是具有緊支集的函數(shù),是指使得函數(shù)不等于零的的取值范圍是有限的，范圍越小，表明小波支集的長(zhǎng)度越短，即支集越緊。函數(shù)的階矩是指積分。階消失矩就是指使得上式為零的那個(gè)。消失矩的實(shí)際影響是將信號(hào)能量相對(duì)集中在少數(shù)幾個(gè)小波系數(shù)里，小波消失矩與小波支集的長(zhǎng)度有著密切關(guān)系。 根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)，小波函數(shù)具有不同的類(lèi)型，這些標(biāo)準(zhǔn)通常有： （1） ，，，的支撐長(zhǎng)度。即當(dāng)時(shí)間或頻率趨向于無(wú)窮大時(shí)，，，，從一個(gè)有限值收斂到0的速度。 （2） 對(duì)稱(chēng)性

17、。在圖像信號(hào)處理中對(duì)避免移相是有用的。 （3） 和的消失矩階數(shù)。對(duì)于數(shù)據(jù)壓縮是非常有用的。 （4） 正則性。對(duì)信號(hào)的重構(gòu)以獲得較好的平滑效果是非常有用的。 在眾多的小波基函數(shù)中，有一些小波函數(shù)被實(shí)踐證明是非常有用的。下面介紹幾種常用的小波函數(shù)： 1.Haar小波 Haar小波是小波分析中最早用到的一個(gè)具有緊支撐的正交小波函數(shù)，同時(shí)也是最簡(jiǎn)單的一個(gè)函數(shù)，它是非連續(xù)的，類(lèi)似一個(gè)階梯函數(shù)。Haar函數(shù)的定義為下： 1 = -1

18、 式2.5 0 others 尺度函數(shù)為： 式2.6 2.墨西哥草帽（Mexican Hat）小波 Mexican Hat函數(shù)為： 式2.7 它是Gauss函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，它在時(shí)域和頻域都有很好的局部化，并且滿足：

19、， 式2.8 由于它的尺度函數(shù)不存在，所以不具有正交性。 3.Daubechies(dbn)小波系 Daubechies函數(shù)是由世界著名的小波分析學(xué)者Inrid Daubechies構(gòu)造的小波函數(shù)，除了db1(即Haar小波)外，其他小波沒(méi)有明確的表達(dá)式，但是轉(zhuǎn)換函數(shù)的平方模是很明確的。db函數(shù)是緊支撐校準(zhǔn)正交小波，它的出現(xiàn)使得離散小波分析成為可能。 假設(shè)，其中為二項(xiàng)式的系數(shù)，則有： 式2.9 其中。小波函數(shù)和尺度函數(shù)的有效支撐長(zhǎng)度為，小波函數(shù)的消失矩階數(shù)為。db大多不具有對(duì)稱(chēng)性

20、，但具有正交性。函數(shù)的正則性隨著序號(hào)的增加而增加。 4.Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系 Biorthogonal函數(shù)系的主要特性體現(xiàn)在具有線性相位性，它主要應(yīng)用于信號(hào)的重構(gòu)中，通常采用的一個(gè)辦法是采用一個(gè)函數(shù)進(jìn)行分解，用另外一個(gè)函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)。眾所周知，如果采用同一個(gè)濾波器進(jìn)行分解和重構(gòu)，對(duì)稱(chēng)性和重構(gòu)的精確性將成為一對(duì)矛盾，而采用兩個(gè)函數(shù)，則可以解決這個(gè)問(wèn)題。Biorthogonal函數(shù)系通常表示成biorNr.Nd的形式： Nr=1 Nd=1,3,5 Nr=2 Nd=2,4,6,8 Nr=3 Nd=1,3,5,7,9 Nr=4 Nd=4 Nr

21、=5 Nd=5 Nr=6 Nd=8 其中，r表示重構(gòu)(Reconstruction)，d表示分解(Decomposition)。 2.4 離散小波分析 在實(shí)際應(yīng)用中，尤其是在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，連續(xù)小波必須加以離散化。所以針對(duì)連 續(xù)小波和連續(xù)小波分析的離散化。這一離散化都是針對(duì)連續(xù)的尺度函數(shù)和連續(xù)平移參數(shù)的，而不是針對(duì)時(shí)間變量的，這與以前習(xí)慣的時(shí)間離散化不同，需要加以注意區(qū)別[19]。 在連續(xù)小波中，考慮函數(shù) 式2.10 為方便起見(jiàn)，在離散化中，總是限制只取正值，這樣相容性條件就變?yōu)椋?

22、 式2.11 通常，把連續(xù)小波分析中的尺度參數(shù)和平移參數(shù)的離散化公式分別取做，，這里，擴(kuò)展步長(zhǎng)是固定值，為方便起見(jiàn)，總是假定，所以對(duì)應(yīng)的離散小波函數(shù)就寫(xiě)作： 式2.12 而離散化小波分析系數(shù)則可以表示為： = 式2.13 其重構(gòu)公式為： 式2.14 其中，是一個(gè)與信號(hào)無(wú)關(guān)的常數(shù)。 然而，怎樣選擇和才能保證重構(gòu)信號(hào)的精度呢？顯然，網(wǎng)格點(diǎn)應(yīng)

23、該盡可能地密（即和盡可能地?。?yàn)槿绻W(wǎng)格點(diǎn)越稀疏，使用的小波函數(shù)，和離散小波系數(shù)就越少，信號(hào)重構(gòu)的精確度也就會(huì)越低。 為了使小波分析具有可變化的時(shí)間和頻率分辨率，適應(yīng)待分析信號(hào)的的非平穩(wěn)性，需要改變和的大小，以使小波分析具有“變焦距”的功能。在實(shí)際應(yīng)用中采用的是動(dòng)態(tài)的采樣網(wǎng)格，最常用的是二進(jìn)制的動(dòng)態(tài)采樣網(wǎng)格：，每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的尺度為，而平移為。由此得到的小波 式2.15 稱(chēng)為二進(jìn)小波（Dyadic Wavelet）。 二進(jìn)小波對(duì)信號(hào)的分析具有變焦功能。假定一開(kāi)始選擇一個(gè)放大倍數(shù)，它對(duì)應(yīng)為觀測(cè)信號(hào)的某部分內(nèi)容。如果想進(jìn)一步觀看信號(hào)更小

24、的細(xì)節(jié)，就需要增加放大倍數(shù)，即減小的值；反之，如果想了解信號(hào)更宏觀的內(nèi)容，則可以減小放大的倍數(shù)，即增大的值，在這個(gè)意義上，小波分析被稱(chēng)作數(shù)學(xué)顯微鏡。 2.5 多分辨率分析 Meyer于1986年創(chuàng)造性地構(gòu)造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，其二進(jìn)制伸縮與平移構(gòu)成的規(guī)范正交基，才使小波得到真正的發(fā)展。1988年S.Mallat在構(gòu)造正交小波基時(shí)提出了多分辨分析MRA（Multi-Resolution Analysis）的概念，從空間的概念上形象地說(shuō)明了小波的多分辨率特性，將此之前的所有正交小波基的構(gòu)造法統(tǒng)一起來(lái)，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波分析的快速算法，即Mallat算法。Mal

25、lat算法在小波分析中的地位相似于快速傅立葉分析算法在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。 關(guān)于多分辨分析的原理，我們以一個(gè)三層的分解進(jìn)行說(shuō)明，其小波分解樹(shù)如圖2.2 所示。 S D1 A1 D2 A2

26、 D3 A3 圖2.2 三層多分辨率分析樹(shù)結(jié)構(gòu)圖 從圖中可以看出，多分辨率分析只是對(duì)低頻部分進(jìn)行一步分解，而高頻部分則不 予考慮。分解的關(guān)系為。另外強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，這里只是以一個(gè)層分解進(jìn)行說(shuō)明，如果要進(jìn)一步的分解，則可以把低頻部分分解成低頻部分和高頻部分，以下分解則類(lèi)推可得[20]

27、。 在多分辨分析中，分解的最終目的是力求構(gòu)造一個(gè)在頻率上高度逼近空間的正交小波基，這些頻率分辨率不同的正交小波基相當(dāng)于帶寬各異的帶通濾波器。從上面的多分辨分析樹(shù)結(jié)構(gòu)圖可以看出，多分辨率分析只對(duì)低頻空間進(jìn)行進(jìn)一步的分解，使得頻率的分辨率變得越來(lái)越高[14],[15]。 我們稱(chēng)滿足下列條件的中的一列子空間及一個(gè)函數(shù)為一個(gè)正 交Multi-resolution Analysis(MRA)(多尺度/多分辨分析)： （1） （2） （3） （4） （5），且是的標(biāo)準(zhǔn)正交基，稱(chēng)為此MRA的尺度函數(shù)/父函

28、數(shù)。 2.6 基于閾值的小波分析去噪方法 小波閾值去噪方法認(rèn)為對(duì)于小波系數(shù)包含有信號(hào)的重要信息，其幅值較大，但數(shù)目較少，而噪聲對(duì)于的小波系數(shù)是一致分布的，個(gè)數(shù)較多，但幅值小?；谶@一思想，Donoho等人提出軟閾值和硬閾值去噪方法[22]，即在眾多小波系數(shù)中，把絕對(duì)值較小的系數(shù)置為零，而讓絕對(duì)值較大的系數(shù)保留或收縮，分別對(duì)應(yīng)于硬閾值和軟閾值方法，得到估計(jì)小波系數(shù)（Estimated Wavelet Coefficients，簡(jiǎn)記為EWC），然后利用估計(jì)小波系數(shù)直接進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，即可達(dá)到去噪的目的。 1995年，Donoho提出一種新的基于閥值處理思想的小波域去噪技術(shù)。它也是對(duì)信號(hào)

29、先求小波分析值。再對(duì)小波分析值進(jìn)行去噪處理。最后反分析得到去噪后的信號(hào)。去噪處理中閾值的選取是基于近似極大極小化思想，以處理后的信號(hào)與原信號(hào)以最大概率逼近為約束條件。然后考慮采用軟閾值，并以此對(duì)小波分析系數(shù)做處理，能獲得較好的去噪效果，有效提高信噪比。 2.6.1 含噪聲信號(hào)的小波分析特性 運(yùn)用小波分析進(jìn)行信號(hào)消噪處理是小波分析的一個(gè)重要應(yīng)用。一個(gè)含噪聲的一維信號(hào)的模型可以表示成如下形式： 式2.16 其中，為真實(shí)信號(hào)，為噪聲信號(hào)，是噪聲的系數(shù)，為含噪聲的信號(hào)。 本文以一個(gè)最簡(jiǎn)單的噪聲模型加以說(shuō)明，即認(rèn)為為高斯白噪聲，

30、噪聲級(jí)（noise level）為1。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，有用信號(hào)通常是表現(xiàn)為低頻部分或是一些比較平穩(wěn)的信號(hào)，而噪聲通常表現(xiàn)為高頻的信號(hào)，所以消噪的過(guò)程可以按以下方法進(jìn)行：首先對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波分解，則噪聲部分通常包含在里，因而，可以以閾值形式對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行處理，然后對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)即可以達(dá)到消噪的目的。對(duì)信號(hào)消噪的目的就是要抑制信號(hào)中的噪聲部分，從而在中恢復(fù)出真實(shí)信號(hào)。 一般來(lái)說(shuō)，一維信號(hào)的消噪處理過(guò)程分為以下三個(gè)步驟進(jìn)行： （1） 一維信號(hào)的小波分解。選擇一個(gè)小波并確定一個(gè)小波分解的層次，然 后對(duì)信號(hào)進(jìn)行層小波分解。 （2） 小波分解高頻系數(shù)的閾值量化。從第一層到第層的每一層高頻

31、系數(shù)選 擇一個(gè)閾值進(jìn)行軟閾值量化處理。 （3） 一維小波的重建。根據(jù)小波分解的第層的低頻系數(shù)和經(jīng)過(guò)量化處理后 的第一層到第層的高頻系數(shù)，進(jìn)行一維信號(hào)的小波重構(gòu)。 2.6.2 小波消噪閾值的選取規(guī)則 1. 通用閾值(Sqtwolog規(guī)則)[21] 設(shè)含噪信號(hào)在尺度1到（1<<）上通過(guò)小波分解得到小波系數(shù)的個(gè)數(shù)總和為，為二進(jìn)尺度，附加噪聲信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差是，則通用閾值為： 式2.17 該方法的依據(jù)為個(gè)具有獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)高斯變量中的最大值小于的概率隨著的增大而趨于1。若被測(cè)信號(hào)含有獨(dú)

32、立同分布的噪聲時(shí)，經(jīng)小波分析后，其噪聲部分的小波系數(shù)也是獨(dú)立同分布的。如果具有獨(dú)立同分布的噪聲經(jīng)小波分解后，它的系數(shù)序列長(zhǎng)度很大，則可知：該小波系數(shù)中最大值小于的概率接近于1，即存在一個(gè)閾值，使得該序列所有的小波系數(shù)都小于它。小波系數(shù)隨著分解層次的加深，其長(zhǎng)度也越來(lái)越短，根據(jù)的計(jì)算公式，可知該閾值也越來(lái)越小，因此在假定噪聲具有獨(dú)立同分布特性的情況下，可通過(guò)設(shè)置簡(jiǎn)單的閾值來(lái)去除噪聲。 2. Stein無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)閾值（rigrsure規(guī)則）[22] 這是一種基于stein的無(wú)偏似然估計(jì)原理的自適應(yīng)閾值選擇。對(duì)于一個(gè)給定的閾值，得到它的似然估計(jì)，再將非似然最小化，就得到所選的閾值。具體的選擇規(guī)則為

33、：設(shè)W為一向量，其元素為小波系數(shù)的平方并按照有大到小的順序排列，即，的含義同上。再設(shè)一風(fēng)險(xiǎn)向量，其元素為 以元素中的最小值作為風(fēng)險(xiǎn)值，有的下標(biāo)變量求出對(duì)應(yīng)的，則閾值為： 式2.18 3. 試探法的Stein無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)閾值（heursure規(guī)則）[23] 是前兩種閾值的綜合，是最優(yōu)預(yù)測(cè)變量閾值選擇。如果信噪比很小，SURE估計(jì)有很大的噪聲，適合采用這種固定的閾值。具體的閾值選擇規(guī)則為： 設(shè) W 為n個(gè)小波系數(shù)的平方和，令： , 以及，則有

34、 ; 式2.19 4. 最大最小準(zhǔn)則閾值(minmax規(guī)則)[24] 這種方法采用的也是固定閾值，產(chǎn)生一個(gè)最小均方誤差的極值，而不是誤差。這種極值原理在統(tǒng)計(jì)學(xué)上常備用來(lái)設(shè)計(jì)估計(jì)器。被去噪的信號(hào)可以被看作與未知回歸函數(shù)的估計(jì)式相似，這種極值估計(jì)器可以在一個(gè)給定的函數(shù)集中實(shí)現(xiàn)最大均方誤差最小化。具體的閾值選取規(guī)則為： ； 式2.20 在式中，作為小波系數(shù)的個(gè)數(shù)，為噪聲信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差，表示尺度為1的小波系數(shù)，式中的的分子部分表示對(duì)分解出的第一級(jí)小波系數(shù)取絕對(duì)值后再取中值[15],[16]。 2.7 小波基的

35、選擇 對(duì)應(yīng)于特定的含噪圖像，不同的小波基會(huì)產(chǎn)生不同的消噪效果，這是小波方法進(jìn)行圖像消噪中的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。 小波基的選擇涉及小波基的類(lèi)型方面的問(wèn)題。在同一幅圖像中，既有平滑的區(qū)域，又有突變的區(qū)域。在平滑區(qū)域中，一般采用高正則階、高消失矩的光滑小波基函數(shù)。因?yàn)檫x擇具有較高階消失矩的小波函數(shù)，能檢測(cè)圖像信號(hào)中更精細(xì)的奇異性，在重構(gòu)時(shí)，圖像中的細(xì)節(jié)才能得以更多的恢復(fù)。在突變區(qū)域中，要采用緊支撐的小波基。Daubechies基是具有緊支集的光滑正交小波基，和沒(méi)有顯示的解析式。Daubechies小波的光滑性由其支集的長(zhǎng)度來(lái)確定，通過(guò)合理選擇值的大小，既可以保證計(jì)算的復(fù)雜程度相對(duì)較小，又保證了圖像信號(hào)

36、分析中的空間局部化要求。Daubechies小波基函數(shù)兼顧了內(nèi)積計(jì)算快速，基函數(shù)的疊加快速，良好的空間局部化和良好的頻率局部化，保證了圖像信號(hào)展開(kāi)和重構(gòu)的低復(fù)雜度，保證了圖像信號(hào)中主要成分和模式的識(shí)別。借用Daubechies基和Mallat算法來(lái)進(jìn)行圖像小波變換處理，是一種有效的方法。本論文采用db4作為小波基函數(shù)。 在進(jìn)行仿真試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證算法的有效性之前，先來(lái)討論一下圖像質(zhì)量的評(píng)價(jià)方法。目前常用的圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)方法[23]主要有兩種，即主觀質(zhì)量評(píng)價(jià)和客觀質(zhì)量評(píng)價(jià)。 主觀評(píng)價(jià)方法就是讓觀察者對(duì)同一幅圖像按視覺(jué)效果的好壞進(jìn)行打分，并對(duì)其進(jìn)行加權(quán)平均。該方法勞動(dòng)強(qiáng)度太大，且不能應(yīng)用于圖像實(shí)時(shí)傳

37、輸?shù)膱?chǎng)合。 客觀評(píng)價(jià)方法是用恢復(fù)圖像偏離原始圖像的誤差，來(lái)衡量圖像恢復(fù)的質(zhì)量，最常用的有均方誤差(MSE)、信噪比(SNR)、峰值均方誤差(PMSE)和峰值信噪比(PNSR)?？陀^評(píng)價(jià)方法只能從總體上反映原始圖像和恢復(fù)圖像的灰度差別。 均方誤差（MSE）定義為： 式2.21 由于此課題是連續(xù)信號(hào)，是二維曲線，所以采用均方誤差能對(duì)圖形去噪質(zhì)量進(jìn)行定量的描述，但它卻不能反映人眼的真實(shí)感覺(jué)。 2.8 本章小結(jié) 本章先介紹了小波分析的基本理論，主要包括連續(xù)小波分析，小波分析和傅立葉分析的比較，常用小波的介紹，多分辨率分析的性質(zhì)。從以上的理論分析可以知道，基

38、于小波分析的去噪方法，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，要比傳統(tǒng)的濾波去噪方法的效果好，主要是由于傳統(tǒng)的濾波器都具有低通性，對(duì)需要分析在每個(gè)時(shí)刻含有不同頻率成分的非平穩(wěn)信號(hào)來(lái)說(shuō)，很難進(jìn)行匹配分析。而小波分析具有多分辨率，并且在時(shí)頻域都具有局部性，所以很適合分析非平穩(wěn)信號(hào)。在用小波分析去噪的關(guān)鍵是閾值的選取，如果閾值選取的太高，會(huì)使得信號(hào)失去太多細(xì)節(jié)，使信號(hào)失真，如果閾值選取的太低，又不能達(dá)到去噪的目的，在實(shí)際應(yīng)用中通常要經(jīng)過(guò)試驗(yàn)來(lái)選取適當(dāng)閾值。 3 小波去噪的仿真 3.1小波消噪與MATLAB仿真方法 對(duì)含噪信號(hào)的消噪處理過(guò)程可以分為三個(gè)步驟[27]。第一步，選擇一個(gè)小波，確定小波分解的層次M，然后利用

39、離散小波變換對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行M層小波分解。由于噪聲信號(hào)主要位于每層信號(hào)分解后的細(xì)節(jié)部分，因此對(duì)這些細(xì)節(jié)部分進(jìn)行處理即可實(shí)現(xiàn)消噪。同一個(gè)信號(hào)用不同的小波基進(jìn)行分解所得到的消噪效果是不同的，因此找到合適的小波基對(duì)于信號(hào)的消噪是很重要的。第二步，對(duì)第一層到第M層的每一層高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化處理。閾值量化方法一般有強(qiáng)制去噪、默認(rèn)閾值去噪和給定軟(或硬)閾值去噪三種方法。強(qiáng)制去噪方法是把小波分解結(jié)構(gòu)中的高頻系數(shù)全部變?yōu)?，即把高頻部分全部濾除掉，然后再對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)處理。這種方法比較簡(jiǎn)單，重構(gòu)后的去噪信號(hào)也比較平滑，但容易丟失信號(hào)的有用成分。默認(rèn)閾值去噪方法是首先產(chǎn)生信號(hào)的默認(rèn)閾值，然后進(jìn)行去噪處理。給定

40、軟(或硬)閾值去噪方法是在實(shí)際的去噪處理過(guò)程中，閾值往往可以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式獲得。第三步，根據(jù)小波分解的第M層的低頻系數(shù)和經(jīng)過(guò)量化處理后的第一層到第M層的高頻系數(shù)，進(jìn)行信號(hào)的小波重構(gòu)。 利用MATLAB軟件進(jìn)行了小波消噪的仿真程序設(shè)計(jì)[24]。程序中采用db4小波對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行二層小波分解，采用rigrsure、heursure、sqtwolog閾值量化對(duì)分解后的小波系數(shù)進(jìn)行處理，重構(gòu)信號(hào)之后即可得到消噪后的信號(hào)[29]，仿真程序見(jiàn)附錄Ⅰ： 3.2 仿真圖形及分析 本部分采用如圖3.1和圖3.2原始曲線和含有噪聲的曲線進(jìn)行分析。從圖中可以看出，譜圖受到噪聲影響較大。 本實(shí)驗(yàn)采用尺度為2的d

41、b小波，將信號(hào)進(jìn)行分解，分別采用常用的rigrsure、heursure、sqtwolog閾值選擇方法進(jìn)行濾噪處理，濾噪結(jié)果如圖3.3、3.4、3.5所示。 圖3.1原始光譜數(shù)據(jù) 圖3.1是的原始的吸收光譜的數(shù)據(jù)，是沒(méi)有受到干擾而產(chǎn)生噪聲的數(shù)據(jù)。在程序中是第二個(gè)圖。 圖3.2噪聲光譜數(shù)據(jù) 圖3.2是原始的光譜數(shù)據(jù)增加了噪聲之后的數(shù)據(jù)，由圖可以看出，噪聲對(duì)光譜數(shù)據(jù)的影響還是很大了，去除噪聲才能更好的對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步的分析和處理。在程序中式第一個(gè)圖。 圖3.3‘rigrsure’規(guī)則閾值去噪后數(shù)據(jù) 圖3.4‘heursure’ 規(guī)則閾值去噪后數(shù)據(jù)

42、 圖3.5‘sqtwolog’規(guī)則閾值去噪結(jié)果后數(shù)據(jù) 圖3.3，3.4,3.5分別是rigrsure規(guī)則heursure規(guī)則sqtwolog規(guī)則閾值去噪的數(shù)據(jù)結(jié)果因?yàn)椴煌拈撝祵?duì)去噪的結(jié)果又一定的影響，因此需要對(duì)他們進(jìn)行比較。 表I為采用各閾值值選擇規(guī)則濾噪后的相對(duì)偏差SEM。SEM定義為： 式3.1 式中——濾噪后個(gè)點(diǎn)值，——標(biāo)準(zhǔn)譜圖各點(diǎn)值，——數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。 表I用尺度為2的db4小波去噪結(jié)果 方法 rigrsure heursure sqtwolog 相對(duì)偏差（SEM） 0.18501

43、 0.18501 0.18501 從表I和圖3.3、圖3.4、圖3.5可以看出rigrsure、heursure、sqtwolog三種規(guī)則的相對(duì)偏差（SEM）均相同，而且比較小，而heursure適用于信號(hào)比較小，SORE估計(jì)有很大的噪聲，通過(guò)仿真圖形主觀視覺(jué)上，heursure的峰值比其他兩個(gè)更接近于原始光譜圖，比較適用于本課題，所以確定為heursure作為本次課題的閾值去噪方法。 3.3 小波去噪的軟件實(shí)現(xiàn) 打開(kāi)小波工具點(diǎn)擊加載文本數(shù)據(jù)進(jìn)行加載并找出需要加載的含噪聲的光譜數(shù)據(jù) 讀出含噪吸光度光譜圖如圖3.6 圖3.6含噪吸光度光譜圖

44、 如上圖選好一個(gè)分解數(shù)據(jù)，采用Mallat算法對(duì)小波進(jìn)行多層分解，分解層數(shù)選擇3層分解，并選用db小波對(duì)需要分解的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，而db小波基N=1,2,3…10。選好小波去噪的各個(gè)參數(shù)后，然后在濾波中選取啟發(fā)式閾值，而此閾值就是軟閾值處理，點(diǎn)擊“濾波”按鈕，對(duì)需要的分解的數(shù)據(jù)進(jìn)行小波去噪濾波。濾波結(jié)果如圖3.7。從圖形來(lái)看，去噪效果符合選定參數(shù)的去噪結(jié)果，基本實(shí)現(xiàn)了預(yù)期編織軟件的目的。 圖3.7給定光譜吸收度信號(hào)分解濾波重構(gòu)圖 3.3.1 數(shù)據(jù)分析 通過(guò)光譜預(yù)處理軟件，得到光譜數(shù)據(jù)處理后和處理前的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，將這些數(shù)據(jù)通過(guò)MATLAB進(jìn)行仿真，與原數(shù)據(jù)進(jìn)行比較

45、如圖3.8所示，并進(jìn)行相對(duì)偏差（SEM）進(jìn)行計(jì)算得出最終數(shù)據(jù)，其結(jié)果如表II所示，得到的數(shù)據(jù)的相對(duì)偏差和在MATLAB中用heursure閾值去噪方法得到的相對(duì)偏差很接近，說(shuō)明本課題實(shí)現(xiàn)的光譜預(yù)處理軟件比較準(zhǔn)確的實(shí)現(xiàn)了光譜數(shù)據(jù)去噪的功能。 圖3.8 軟件去噪后得到的數(shù)據(jù) 從圖可以看出，圖形形狀基本和圖3.4相同，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行相對(duì)偏差處理得到表I，雖然精度達(dá)不到MATLAB的精度，但是偏差不是很大，能實(shí)現(xiàn)去噪效果，保留了基本信息。 表II 相對(duì)偏差比較 方法 MATLAB仿真 軟件去噪 相對(duì)偏差（SEM） 0.18501 0.19322 3.4

46、 本章小結(jié) 本章簡(jiǎn)單介紹了小波去噪的各個(gè)步驟以及分別用MATLAB和VC++軟件對(duì)給定數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真，通過(guò)MATLAB仿真，對(duì)不同的閾值處理方法進(jìn)行了比較和分析，得出更適合本課題閾值去噪的方法（heursure閾值去噪），雖然從相對(duì)偏差計(jì)算結(jié)果看，并沒(méi)有什么大的區(qū)別，但是從heursure閾值去噪的仿真圖形來(lái)看，heursure的峰值比其他兩個(gè)更接近于原始光譜圖，而從各個(gè)閾值消噪方法的特點(diǎn)來(lái)看,heursure適用于信號(hào)比較小，SORE估計(jì)有很大的噪聲，比較適合本課題。heursure閾值消噪選取為下面VC軟件實(shí)現(xiàn)得出了一個(gè)比較合適的閾值去噪方法。再通過(guò)VC++軟件對(duì)光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪。

47、驗(yàn)證其閾值的選擇是否正確。 4 總結(jié)與展望 隨著人們對(duì)環(huán)境狀況的日益關(guān)注，大氣環(huán)境監(jiān)測(cè)技術(shù)越來(lái)越向自動(dòng)化、實(shí)時(shí)在線監(jiān)測(cè)方向發(fā)展。圖像去噪在圖像處理中是一個(gè)很重要的預(yù)處理過(guò)程，它的主要目標(biāo)是在減少圖像中的噪聲的同時(shí)，盡可能地保留圖像邊緣和紋理信息。只有選擇好的處理方法才能更好的進(jìn)行圖像去噪，使去噪后的圖像邊緣和紋理信息保存的跟多，使信號(hào)的信息接近于理想化的原始純凈信號(hào)，這樣對(duì)分析信號(hào)、處理信號(hào)更加接近于真實(shí)值，這樣對(duì)環(huán)境的監(jiān)控測(cè)試更加準(zhǔn)確，跟能準(zhǔn)確及時(shí)的處理各種環(huán)境問(wèn)題，更好的保護(hù)了我們生存的環(huán)境。而軟件則更實(shí)現(xiàn)了大氣環(huán)境監(jiān)測(cè)向自動(dòng)化、實(shí)時(shí)在線監(jiān)測(cè)方向發(fā)展。通過(guò)軟件方便快捷

48、準(zhǔn)確的對(duì)環(huán)境進(jìn)行檢測(cè)，使人們的健康質(zhì)量更加有保證。 本課題就是基于這種大環(huán)境下而生成的，而小波分析也是一種比較成熟的圖像處理方法，通過(guò)對(duì)小波閾值去噪算法的不斷改進(jìn)，會(huì)設(shè)計(jì)出更加完善，功能更加強(qiáng)大的軟件。相信在不久將來(lái)，隨著算法不斷改進(jìn)，設(shè)計(jì)出的軟件功能也會(huì)更加完善，功能也越來(lái)越強(qiáng)大，而軟件的種類(lèi)也會(huì)越來(lái)越多。對(duì)人們的生活質(zhì)量的提高會(huì)有很大幫助。 附錄I MATLAB仿真程序 figure; char xuzhiqiang.m,a,b,c; plot(a,b); axis([1000 1500 -0.2 1.4]); figure plot(a,

49、c) axis([1000 1500 -0.2 1.4]); [C,L]=wavedec(b,2,db4); q=0.05; p = C(126:492); V = length(p); I = (1:V); cVID = 1; cVN = sum(1./(1:V)); pID = p(max(find(p<=I/V*q/cVID))); pN = p(max(find(p<=I/V*q/cVN))); figure plot(C(126:493)) E1=wden(b,rigrsure,h,one,2,db4); E2=wden(b,heursure,h,one,

50、2,db4); E3=wden(b,sqtwolog,h,one,2,db4); E4=wdencmp(gbl,b,db4,2,0.05462,s,1) figure plot(E1); figure plot(E2); figure plot(E3); figure plot(E4); y1=0; y2=0; y10=0; y20=0; y11=0; y21=0; y12=0; y22=0; y13=0; y23=0; for i=1:479 y10=y10+(E1(i)-c(i))^2; end for i=1:479 y2

51、0=y20+c(i)^2; end SEM1=(y10/y20)^0.5; for i=1:479 y11=y11+(E2(i)-c(i))^2; end for i=1:479 y21=y21+c(i)^2; end SEM2=(y11/y21)^0.5; for i=1:479 y12=y12+(E3(i)-c(i))^2; end for i=1:479 y22=y22+c(i)^2; end SEM3=(y12/y22)^0.5; for i=1:479 y13=y13+(E4(i)-c(i))^2;

52、end for i=1:479 y23=y23+c(i)^2; end SEM4=(y13/y23)^0.5; disp(SEM1); 注：其中a、b、c是在通過(guò)測(cè)試二氧化硫在給定波長(zhǎng)的光譜吸光度，a為給定的波長(zhǎng)數(shù)組，b是含噪的光譜吸光度數(shù)組，c是純凈的光譜吸光度數(shù)組。是給定的數(shù)據(jù)。 參 考 文 獻(xiàn) [1] 楊福生,小波分析的工程分析與應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,1999:1-145 [2] 何風(fēng)華.小波分析在信號(hào)消噪中的應(yīng)用[J].兵工自動(dòng)化, 2002,(06) [3] 李建平.小波分析信息傳輸基礎(chǔ)[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社.

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