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1、一致連續(xù)函數(shù)的判定 摘要：函數(shù)在區(qū)間I上的一致連續(xù)性與連續(xù)是兩個(gè)不同的概念,后者是一個(gè)局部性概念,前者具有整體性質(zhì),它刻畫了函數(shù)f(x)在區(qū)間I上變化的相對(duì)均勻性.給出了幾個(gè)判別函數(shù)一致連續(xù)性的方法,本文是通過(guò)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)尋求一致連續(xù)函數(shù)的判定十五種判別方法. 關(guān)鍵詞：函數(shù)；連續(xù) ；一致連續(xù) ；收斂 引言: 函數(shù)的一致連續(xù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要概念.連續(xù)是考察函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的性質(zhì)而一致連續(xù)是考察函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的性質(zhì).以一致連續(xù)比連續(xù)的條件要嚴(yán)格，在區(qū)間上一致連續(xù)的函數(shù)則一定連續(xù)，但連續(xù)的函數(shù)不一定一致連續(xù)。因此我去總結(jié)了通過(guò)函數(shù)的連續(xù)性尋找一些函數(shù)一致連續(xù)的判別法. 一、基本概

2、念與定理 定義（一致連續(xù)）：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若，當(dāng)時(shí)，有，則稱函數(shù)在上一致連續(xù)。 注：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若，當(dāng)時(shí)，有，則稱函數(shù)在區(qū)間上不一致連續(xù)。 （定理）：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，則在區(qū)間上一致連續(xù)。 二、有限區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)的判定 定理1： 函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是函數(shù)在上連續(xù)。 定理2： 函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是函數(shù)在上連續(xù)且，都存在。 證明： 必要性，因?yàn)楹瘮?shù)在上一致連續(xù)，即： 對(duì)對(duì)，且，有，顯然函數(shù)在上連續(xù)，且對(duì)對(duì)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)然，有。 根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，存在。同理可證，存在。 充分性， 因?yàn)?，都存在，分別設(shè)為和， 構(gòu)造函數(shù)： 顯然在上連續(xù)，

3、由定理1可知：在上一致連續(xù)，從而在上一致連續(xù)。 推論1：函數(shù)在（）上一致連續(xù)的充要條件是函數(shù)在（）上連續(xù)，且（）存在。 推論2： 若函數(shù)在有限區(qū)間上連續(xù)，單調(diào)，有界，則函數(shù)在上一致連續(xù)。 定理3： 設(shè)在區(qū)間（是有限區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間）連續(xù)，則在內(nèi)閉一致連續(xù)。即，在上一致連續(xù)。 結(jié)論的正確性有定理直接可得。用此條件能解決很多關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的證明題。其解題思路是把開區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到閉區(qū)間上，從而利用定理。 定理4： 若函數(shù)在及都一致連續(xù)，則在上一致連續(xù)。 注：改為時(shí)，結(jié)論也成立。 證明：已知函數(shù)在與一致連續(xù)，即： ， 且 ，有； ， 且，有。 于是，有：，，，且， 當(dāng)：1）且，有

4、； 2）且，有； 3）， 且，（，） 有 即函數(shù)在上一致連續(xù)。 定理5： 函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是任給中收斂數(shù)列，函數(shù)列也收斂。 證明： 必要性，由于函數(shù)在上一致連續(xù)，故對(duì)于 當(dāng)，且時(shí)，有 設(shè)是中任一收斂數(shù)列，由柯西條件對(duì)上述的時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有，故。 所以，函數(shù)列也收斂。 充分性，假設(shè)在上不一致連續(xù)，即 ，對(duì)（?。?，且， 而 （1） 且有界，故存在收斂子列。 由 （），故中相應(yīng)的子列也收斂，且與極限相同，因此數(shù)列也收斂于相同極限，于是數(shù)列也收斂。 故當(dāng)足夠大時(shí)，與（1）矛盾，假設(shè)不成立。 即函

5、數(shù)在上一致連續(xù)。 定理6： 函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是任給，時(shí)， （1） 證明：“必要性”，設(shè)函數(shù)在上一致連續(xù)，則 ，，當(dāng)且時(shí)，。 所以 （2） 當(dāng)，時(shí)，（2）式成立，故（1）式成立。 “充分性”，設(shè)，當(dāng)時(shí)， 則， ，使得當(dāng)時(shí) 有。 所以函數(shù)在上一致連續(xù)。 注：此命題提供了一個(gè)直觀觀察一致連續(xù)的辦法：在圖象上最陡的地方，若，則，一致連續(xù)；若在某處無(wú)限變陡，則非一致連續(xù)。 三、無(wú)限區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)的判定 定理1： 若函數(shù)在（）上連續(xù)且， （，）都存在，則函數(shù)在（）上一致連續(xù)。 證明：已知存在，根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，有

6、 ，，，有； 又已知函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，則函數(shù)在上一致連續(xù)，即 對(duì)上述的，，（使），且，有 于是，且（使），有 即函數(shù)在上一致連續(xù)。 推論1： 若函數(shù)在（）上連續(xù)，且（）存在，則函數(shù)在（）上一致連續(xù)。 推論2： 若函數(shù)在上連續(xù)且，都存在，則函數(shù)在上一致連續(xù)。 定理2： 定義在上的連續(xù)函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，有水平漸近線，則在上一致連續(xù). 證明：由于有水平漸近線知：存在，根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則： ，，當(dāng)時(shí)，有 （1） 因在上連續(xù)，所以在上連續(xù)，從而在上一致連續(xù)，對(duì)如上的，，當(dāng)且時(shí)，有 （2） 現(xiàn),只要,若.則由(1)知 若,則由(2)知 若分別屬于與,則,,故

7、 綜上所述，在上一致連續(xù)。 注： 此定理的結(jié)論可推廣到無(wú)窮區(qū)間或上. 定理3： 定義在上的線性函數(shù) 必在內(nèi)一致連續(xù). 證明：，，要使， 只要，取，當(dāng)時(shí)，有 故 在內(nèi)一致連續(xù)。 定理4： 設(shè)在上連續(xù)，若當(dāng)時(shí)，以直線為斜漸近線，則在上一致連續(xù)。 證明： 設(shè)，則由已知可得：在上連續(xù)。因以直線為斜漸近線，所以 即 由定理2可知： 在上一致連續(xù). 又由定理3知：在上一致連續(xù). 故在上一致連續(xù). 注：此定理的結(jié)論也可推廣到無(wú)窮區(qū)間或上。 推論：若函數(shù)在上連續(xù)且曲線：存在不垂直于軸的漸近線，則函數(shù)在上一致連續(xù). 定理5： 若函數(shù)在區(qū)間（可開，可半開，

8、可有限或無(wú)限）可導(dǎo)，且在有界，則函數(shù)在上一致連續(xù). 證明：設(shè)， （） ，，，當(dāng)時(shí)，根據(jù)微分中值定理，存在點(diǎn)介于與之間，使得： 即在上一致連續(xù)。 定理6：若函數(shù)與在區(qū)間可導(dǎo)，且，則： 當(dāng)在上一致連續(xù)時(shí)，在上一致連續(xù). 證明：已知在一致連續(xù)，即，，，當(dāng)時(shí)，有： 根據(jù)柯西中值定理，存在介于與之間，使得： 所以 即 在上也一致連續(xù)。 定理7：設(shè)函數(shù)為區(qū)間上連續(xù)的周期函數(shù)，則在上一致連續(xù). 證明： 設(shè)為的周期，則在區(qū)間上一致連續(xù)，即： 對(duì)，，，只要，就有： 現(xiàn)取，滿足，則 必存在

9、整數(shù)，使得： ，，且 故，于是 故 即在上一致連續(xù). 定理8： 設(shè)，均在上連續(xù)，存在，且，則在上一致連續(xù)。 證明： 對(duì)于，因?yàn)?，所以由函?shù)極限定義可知： ，當(dāng)時(shí)，有 又因?yàn)榇嬖?，設(shè)，所以由函數(shù)極限定義可知： ，當(dāng)時(shí)，有。 所以取，當(dāng)時(shí)，有 且 取，因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以在上一致連續(xù)。 在上，，（使），對(duì)于，只要，就有： 所以在上一致連續(xù)。 故在上一致連續(xù)。 定理9：設(shè)在上連續(xù)，在上一致連續(xù)，且，則在上一致連續(xù)。 證明：對(duì)于任意的，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，就有。 又因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以在

10、上連續(xù)，故在上一致連續(xù). 又因?yàn)樵谏弦恢逻B續(xù)，所以在上一致連續(xù)。 故（使），對(duì)于，只要，就有 所以對(duì)于，只要，就有 所以在上一致連續(xù) 所以在上一致連續(xù)。 參考文獻(xiàn) [1]呂通慶 編著. 一致連續(xù)與一致收斂. 北京:人民教育出版社，1981． [2]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系 編著. 數(shù)學(xué)分析. 上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2002. [3]裴禮文 編著. 數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法 . 北京: 高等教育出版社,2006. [4]毛羽輝 編著. 數(shù)學(xué)分析選論. 北京:科學(xué)出版社，2003. [5]冉凱.關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)性證明的幾個(gè)方法.西安

11、聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)，2002. [6]劉玉璉 編著. 數(shù)學(xué)分析講義練習(xí)題選解. 北京: 高等教育出版社,1996. [7]李惜雯 編著. 數(shù)學(xué)分析（一元函數(shù)部分）要點(diǎn)與解題.西安：西安交通大學(xué)出版社，2006. Determination of the same continuous function Inner Mongolia Normal University mathematics scientific institute 07 level of Mongolian classes Instructs teacher siqin Abstract: This a

12、rticle has given several criterion function uniform continuity method. The function uniform continuity is in a mathematical analysis important concept, is the recognition difficulty. The function in the sector uniform continuity with is two entirely different concepts continuously, the latter is a t

13、opicality concept, the former has the bulk properties, it has portrayed the function the relative homogeneity which changes in the sector. This article seeks the uniformly continuous function through continuous functions nature the decision method Key words: Continuously, identically continuously, restraining 10