3、＝7＋23.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 不超過30的所有素數(shù)為2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有C＝45種情況，而和為30的有7＋23,11＋19,13＋17這3種情況，
∴ 所求概率為＝．
故選C．
4．(2018天水高二檢測)設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,4)，則P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)成立的一個必要不充分條件是( B )
A．a(chǎn)＝1或2 B．a(chǎn)＝1或2
C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)＝
[解析] ∵X～N(3,4)，P(X
4、<1－3a)＝P(X>a2＋7)，
∴(1－3a)＋(a2＋7)＝23，∴a＝1或2.故選B．
5．如果隨機變量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，則p等于( A )
A． B．
C． D．
[解析] 如果隨機變量ξ～B(n，p)，則Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)，
又E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，∴np＝7，np(1－p)＝6，∴p＝．
6．盒中有10只螺絲釘，其中有3只是壞的，現(xiàn)從盒中隨機地抽取4個，那么概率是的事件為( C )
A．恰有1只是壞的 B．4只全是好的
C．恰有2只是好的 D．至多有2只是壞的
[解析] X＝k表示取出的螺絲釘恰有k只
5、為好的，則P(X＝k)＝(k＝1、2、3、4)．
∴P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，∴選C．
7．將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是，則小球落入A袋中的概率為( D )
A． B．
C． D．
[解析] 小球落入B袋中的概率為P1＝()2＝，∴小球落入A袋中的概率為P＝1－P1＝．
8．(2018二模擬)袋中裝有4個紅球、3個白球，甲、乙按先后次序無放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的條件
6、下，乙摸到白球的概率是( B )
A． B．
C． D．
[解析] 甲摸到白球后，袋中還有4個紅球，2個白球，
故而在甲摸到了白球的條件下，乙摸到白球的概率為＝，
故選B．
9．有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5，從中任意抽出3張卡片，設(shè)3張卡片上的數(shù)字之和為X，則X的數(shù)學(xué)期望是( A )
A．7.8 B．8
C．16 D．15.6
[解析] X的取值為6、9、12，P(X＝6)＝＝，
P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝．
E(X)＝6＋9＋12＝7.8．
10．(2018淄博一模)設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)為隨機變量X，且X～N(800,5
7、02)．記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0，則p0的值為(參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974)( A )
A．0.9772 B．0.6826
C．0.9974 D．0.9544
[解析] ∵X～N(800,502)．
∴P(700≤X≤900)＝0.9544，
∴P(X＞900)＝＝0.0228，
∴P(X≤900)＝1－0.0228＝0.9772．
故選A．
11．某次國際象棋比賽規(guī)定，勝一局得3分，平一局得1分，負一局得0分，
8、某參賽隊員比賽一局勝的概率為a，平局的概率為b，負的概率為c(a、b、c∈[0,1))，已知他比賽一局得分的數(shù)學(xué)期望為1，則ab的最大值為( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由條件知，3a＋b＝1，∴ab＝(3a)b≤2＝，等號在3a＝b＝，即a＝，b＝時成立．
12．一個盒子里裝有6張卡片，上面分別寫著如下6個定義域為R的函數(shù)：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片，則停止抽取，否則繼續(xù)進行，則抽取次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望為( A )
9、
A． B．
C． D．
[解析] 由于f2(x)，f5(x)，f6(x)為偶函數(shù)，f1(x)，f3(x)，f4(x)為奇函數(shù)，所以隨機變量ξ可取1,2,3,4．
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝．
所以ξ的分布列為：
ξ
1
2
3
4
P
E(ξ)＝1＋2＋3＋4＝．
二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
13．(2018泉州高二檢測)袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所
10、取球的標(biāo)號．若η＝aξ－2，E(η)＝1，則D(η)的值為__11__．
[解析] 根據(jù)題意得出隨機變量ξ的分布列為：
ξ
0
1
2
3
4
P
E(ξ)＝0＋1＋2＋3＋4＝，
∵η＝aξ－2，E(η)＝1，
∴1＝a－2，即a＝2，
∴η＝2ξ－2，E(η)＝1，
D(ξ)＝(0－)2＋(1－)2＋(2－)2＋(3－)2＋(4－)2＝，
∵D(η)＝4D(ξ)＝4＝11．
故答案為11．
14．一盒子中裝有4只產(chǎn)品，其中3只一等品，1只二等品，從中取產(chǎn)品兩次，每次任取1只，做不放回抽樣．設(shè)事件A為“第一次取到的是一等品”，事件B為“第二
11、次取到的是一等品”，則P(B|A)＝____．
[解析] 由條件知，P(A)＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝．
15．在一次商業(yè)活動中，某人獲利300元的概率為0.6，虧損100元的概率為0.4，此人在這樣的一次商業(yè)活動中獲利的均值是__140__元．
[解析] 設(shè)此人獲利為隨機變量X，則X的取值是300，－100，其概率分布列為：
X
300
－100
P
0.6
0.4
所以E(X)＝3000.6＋(－100)0.4＝140．
16．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1、A2和
12、A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是__②④__(寫出所有正確結(jié)論的序號)．
①P(B)＝；
②P(B|A1)＝；
③事件B與事件A1相互獨立；
④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；
⑤P(B)的值不能確定，因為它與A1，A2，A3中究竟哪一個發(fā)生有關(guān)．
[解析] 從甲罐中取出一球放入乙罐，則A1、A2、A3中任意兩個事件不可能同時發(fā)生，即A1、A2、A3兩兩互斥，故④正確，易知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，又P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，故②對③錯；∴P
13、(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝＋＋＝，故①⑤錯誤．綜上知，正確結(jié)論的序號為②④．
三、解答題(本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本題滿分10分)甲、乙、丙、丁4名同學(xué)被隨機地分到A、B、C三個社區(qū)參加社會實踐，要求每個社區(qū)至少有一名同學(xué)．
(1)求甲、乙兩人都被分到A社區(qū)的概率；
(2)求甲、乙兩人不在同一個社區(qū)的概率；
(3)設(shè)隨機變量ξ為四名同學(xué)中到A社區(qū)的人數(shù)，求ξ的分布列和E(ξ)的值．
[解析] (1)記甲、乙兩人同時到A社區(qū)為事件
14、M，那么P(M)＝＝，
即甲、乙兩人同時分到A社區(qū)的概率是．
(2)記甲、乙兩人在同一社區(qū)為事件E，那么
P(E)＝＝，
所以，甲、乙兩人不在同一社區(qū)的概率是
P()＝1－P(E)＝．
(3)隨機變量ξ可能取的值為1,2.事件“ξ＝i(i＝1,2)”是指有i個同學(xué)到A社區(qū)，
則p(ξ＝2)＝＝．
所以p(ξ＝1)＝1－p(ξ＝2)＝，
ξ的分布列是：
ξ
1
2
p
∴E(ξ)＝1＋2＝．
18．(本題滿分12分)(2017讓胡路區(qū)校級模擬)某次乒乓球比賽的決賽在甲乙兩名選手之間舉行，比賽采用五局三勝制，按以往比賽經(jīng)驗，甲勝乙的概率為．
(1)求比賽三局
15、甲獲勝的概率；
(2)求甲獲勝的概率；
(3)設(shè)甲比賽的次數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望．
[解析] 記甲n局獲勝的概率為 Pn，n＝3,4,5，
(1)比賽三局甲獲勝的概率是：P3＝C()3＝；
(2)比賽四局甲獲勝的概率是：P4＝C()3()＝；
比賽五局甲獲勝的概率是：P5＝C()2()2＝；
甲獲勝的概率是：P3＋P4＋P5＝．
(3)記乙n局獲勝的概率為 Pn′，n＝3,4,5．
P3′＝C()3＝，P4′＝C()3()＝； P5′＝C()3()2＝；
故甲比賽次數(shù)的分布列為：
X
3
4
5
P(X)
P3＋P3′
P4＋P4′
P5＋P5′
所以甲比
16、賽次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是：EX＝3(＋)＋4(＋)＋5(＋)＝．
19．(本題滿分12分)(2017山東理，18)在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．
(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的
17、分布列與數(shù)學(xué)期望EX．
[解析] (1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M，
則P(M)＝＝．
(2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4，
則P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝．
因此X的分布列為
X
0
1
2
3
4
P
X的數(shù)學(xué)期望
EX＝0P(X＝0)＋1P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＋4P(X＝4)＝0＋1＋2＋3＋4＝2．
20．(本題滿分12分)(2016天津理，16)某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義
18、工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4，現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會．
(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；
(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
[解析] (1)由已知有P(A)＝＝．
所以，事件A發(fā)生的概率為．
(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2．
P(X＝0)＝＝.P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝．
所以，隨機變量X分布列為：
X
0
1
2
P
隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0＋1＋2＝1．
21．(本題滿分12分)從某
19、企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：
(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；
(2)由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2．
①利用該正態(tài)分布，求p(187.8
20、μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ
21、區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.6826，
依題意知X～B(100,0.6826)，所以E(X)＝1000.6826＝68.26．
22．(本題滿分12分)甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束，除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立．
(1)分別求甲隊以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率；
(2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結(jié)果為3∶2，則勝利方得2分、對方得1分，求乙隊得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
[解析] (1)依次將事件“甲隊以3∶0勝利”、“甲隊以3∶1勝利”
22、、“甲隊以3∶2勝利”記作A1、A2、A3，由題意各局比賽結(jié)果相互獨立，
故P(A1)＝()3＝，
P(A2)＝C()2(1－)＝，
P(A3)＝C()2(1－)2＝．
所以甲隊以3∶0勝利、以3∶1勝利的概率都為，以3∶2勝利的概率為．
(2)設(shè)“乙隊以3∶2勝利”為事件A4，則由題意知
P(A4)＝C(1－)2()2(1－)＝．
由題意，隨機變量X的所有可能取值為0、1、2、3，
由事件的互斥性得，
P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，
P(X＝1)＝P(A3)＝，
P(X＝2)＝P(A4)＝，
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，
或P(X＝3)＝(1－)3＋C(1－)2＝．
∴X的分布列為：
X
0
1
2
3
P
∴E(X)＝0＋1＋2＋3＝．
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測 新人教A版選修23
