《高考數(shù)學大一輪復習 第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示教師用書 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學大一輪復習 第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示教師用書 理（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二節(jié)　平面向量基本定理及坐標表示 ☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆ 考綱要求 真題舉例 命題角度 1.了解平面向量的基本定理及其意義； 2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示； 3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算； 4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件。 2015，北京卷，13,5分(平面向量基本定理) 2015，江蘇卷，6,5分(平面向量坐標運算) 2013，北京卷，13,5分(平面向量基本定理) 1.以考查平面向量的坐標運算為主，平面向量基本定理的應用也是考查的熱點； 2.題型以選擇題、填空題為主，要求相對較低，主要與平面向量的數(shù)量積結合考查。

2、 微知識　小題練 自|主|排|查 1．平面向量基本定理 (1)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底。 (2)定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。 2．平面向量的坐標表示 在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，該平面內的任一向量a可表示成a＝x i＋yj，由于a與數(shù)對(x，y)是一一對應的，把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a＝(x，y)，其中a在x軸上的坐標是x，a在y軸上的坐標是y。 3．平面向量

3、的坐標運算 向量的加法、減法 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2) 向量的 數(shù)乘 設a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy) 向量坐標的求法 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1) 4．向量共線的坐標表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0。 微點提醒 1．能作為基底的兩個向量必須是不共線的。 2．向量的坐標與點的坐標不同，向量平移后，其起點和終點的坐標都變了，但由于向量的坐標均為終點坐標減去起點坐標，故平移后坐標

4、不變。 3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0，應表示為x1y2－x2y1＝0。 小|題|快|練 一 、走進教材 1．(必修4P99例8改編)設P是線段P1P2上的一點，若P1(1,3)，P2(4,0)且P是P1P2的一個三等分點，則點P的坐標為(　　) A．(2,2) B．(3，－1) C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1) 【解析】　由題意得＝或＝，＝(3，－3)。 設P(x，y)，則＝(x－1，y－3)， 當＝時，(x－1，y－3)＝(3，－3)， 所以x＝2，y＝2時，即P(

5、2,2)。 當＝時，(x－1，y－3)＝(3，－3)， 所以x＝3，y＝1，即P(3,1)。故選D。 【答案】　D 2．(必修4P108A組T7改編)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb與a－2b共線，則＝(　　) A．－ B. C．－2 D．2 【解析】　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)。由ma＋nb與a－2b共線，得＝，所以＝－。故選A。 【答案】　A 二、雙基查驗 1．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，則＝(　　) A．(4,6) B．(－4，－6) C．(－2，－

6、2) D．(2,2) 【解析】　∵＝＋， ∴＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)。故選A。 【答案】　A 2．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，則a＋b等于(　　) A．(－2，－1) B．(2,1) C．(3，－1) D．(－3,1) 【解析】　由a∥b可得2(－2)－1x＝0， 故x＝－4，所以a＋b＝(－2，－1)。故選A。 【答案】　A 3．已知兩點A(4,1)，B(7，－3)，則與同向的單位向量是(　　) A. B. C. D. 【解析】　∵A(4,1)，B(7，－3)，∴＝(3，－4)。 ∴與同向的單位向量為＝。故選

7、A。 【答案】　A 4．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別是CD，AB的中點，設＝a，＝b。若＝ma＋nb，則＝________。 【解析】　∵＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b， ∴m＝，n＝－1?！啵剑?。 【答案】?。? 5．在?ABCD中，AC為一條對角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則向量的坐標為________。 【解析】　設＝(x，y)，因為＝＋， 所以(1,3)＝(2,4)＋(x，y)， 所以即所以＝(－1，－1)， 所以＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)。 【答案】　(－3，－5) 微考點　大課堂 考點一 平

8、面向量基本定理及其應用…………母題發(fā)散 【典例1】　(1)如果e1，e2是平面內一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內所有向量的一組基底的是(　　) A．e1與e1＋e2 B．e1－2e2與e1＋2e2 C．e1＋e2與e1－e2 D．e1－2e2與－e1＋2e2 (2)(2017福州模擬)在△ABC中，點P是AB上一點，且＝＋，Q是BC的中點，AQ與CP的交點為M，又＝t，則實數(shù)t的值為________。 【解析】　(1)選項A中，設e1＋e2＝λe1，則無解； 選項B中，設e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，則無解； 選項C中，設e1＋e2＝λ(e1－e2)，

9、則無解； 選項D中，e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，所以兩向量是共線向量。故選D。 (2)因為＝＋， 所以3＝2＋， 即2－2＝－， 所以2＝。 即P為AB的一個三等分點(靠近A點)， 又因為A，M，Q三點共線，設＝λ。 所以＝－＝λ－＝ λ－＝＋， 又＝t＝t(－)＝ t＝－t。 故解得故t的值是。 【答案】　(1)D　(2) 【母題變式】　在本典例(2)中，試問點M在AQ的什么位置？ 【解析】　由(2)的解析＝＋及λ＝，＝2知，＝λ(－)＋ ＝＋(1－λ) ＝λ＋(1－λ)＝。 因此點M是AQ的中點。 【答案】　點M是AQ的中點 反思歸納　應用平

10、面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加法、減法或數(shù)乘運算，基本方法有兩種： (1)運用向量的線性運算法則對所求向量不斷進行化簡，直至用基底表示為止； (2)將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解。 考點二 平面向量的坐標運算 【典例2】　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)。設＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b。 (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n； (3)求M，N的坐標及向量的坐標。 【解析】　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝

11、(1,8)。 (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)。 (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 (3)∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)。 ∴M(0,20)。 又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)。 ∴N(9,2)?！啵?9，－18)。 【答案】　(1)(6，－42)　(2)m＝－1，n＝－1 (3)M(0,20)　N(9,2)　＝(9，－18) 反思歸納　向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運

12、算法則進行。若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則。 【變式訓練】　(1)在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則＝________。 (2)設向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標為________。 【解析】　(1)＝＝－＝(－1，－1)，＝＋＝(－2，－4)＋(－1，－1)＝(－3，－5)。 (2)設a＝(x，y)，x<0，y<0，則x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)。 【答案】　(

13、1)(－3，－5)　(2)(－4，－2) 考點三 向量共線的坐標表示…………多維探究 角度一：利用向量共線的坐標運算求參數(shù)值 【典例3】　設0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，則tanθ＝________。 【解析】　由a∥b得sin2θ－cos2θ＝0，即2sinθcosθ＝cos2θ，又0<θ<，cosθ≠0，所以2sinθ＝cosθ可得tanθ＝。 【答案】　 角度二：利用向量共線的坐標運算求點的坐標 【典例4】　(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標

14、為________。 (2)已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點P的坐標為________。 【解析】　(1)∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB， ∴＝2。 設點D的坐標為(x，y)， 則＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)， ＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)， ∴解得故點D的坐標為(2,4)。 (2)解法一：由O，P，B三點共線，可設＝λ＝(4λ，4λ)，則＝－＝(4λ－4,4λ)。 又＝－＝(－2,6)，由與共線，得(4λ－4)6－4λ(－2

15、)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以點P的坐標為(3,3)。 解法二：設點P(x，y)，則＝(x，y)，因為＝(4,4)，且與共線，所以＝，即x＝y(tǒng)。 又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且與共線， 所以(x－4)6－y(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3， 所以點P的坐標為(3,3)。 【答案】　(1)(2,4)　(2)(3,3) 反思歸納　平面向量共線的坐標表示問題的常見類型及解題策略 (1)利用兩向量共線求參數(shù)。如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便。 (2)利用兩向量共線

16、的條件求向量坐標。一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)，然后結合其他條件列出關于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量。 (3)三點共線問題。A，B，C三點共線等價于與共線。 【變式訓練】　(1)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b與a－2b共線，則m的值為________。 (2)設＝(－2,4)，＝(－a,2)，＝(b,0)，a>0，b>0，O為坐標原點，若A，B，C三點共線，則＋的最小值為________。 【解析】　(1)ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1)， 由于ma＋4b與a－2b共線，

17、 ∴－(2m－4)＝4(3m＋8)，解得m＝－2。 (2)由題意得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，又∥，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)， 即整理得2a＋b＝2， 所以＋＝(2a＋b)＝≥＝(當且僅當b＝a時，等號成立)。 【答案】　(1)－2　(2) 微考場　新提升 1．在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，且＝a，＝b，則＝(　　) A．b－a B．b＋a C．a＋b D．a－b 解析　＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a。故選A。 答案　A 2．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c等于(　　) A．－a＋

18、b B.a－b C．－a－b D．－a＋b 解析　設c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)， ∴∴ ∴c＝a－b。故選B。 答案　B 3．設向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相連能構成四邊形，則向量d＝(　　) A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6) 解析　設d＝(x，y)，由題意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6，20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－

19、6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)。故選D。 答案　D 4．P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是兩個向量集合，則P∩Q等于________。 解析　P中，a＝(－1＋m,1＋2m)， Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)。 則得 此時a＝b＝(－13，－23)。 答案　{(－13，－23)} 5．若三點A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，則實數(shù)a的值為________。 解析?。?a－1,3)，＝(－3,4)， 據(jù)題意知∥，∴4(

20、a－1)＝3(－3)，即4a＝－5， ∴a＝－。 答案　－ 微專題　巧突破 向量問題坐標化 向量具有代數(shù)和幾何的雙重特征，比如向量運算的平行四邊形法則、三角形法則、平面向量基本定理等都可以認為是從幾何的角度來研究向量的特征；而引入坐標后，就可以通過代數(shù)運算來研究向量，凸顯出了向量的代數(shù)特征，為用代數(shù)的方法研究向量問題奠定了基礎。在處理很多與向量有關的問題時，坐標化是一種常見的思路，利用坐標可以使許多問題的解決變得更加簡捷。 【典例】　(2016四川高考)已知正三角形ABC的邊長為2，平面ABC內的動點P，M滿足||＝1，＝，則||2的最大值是(　　) A.　　　　

21、　　　 B. C. D. 【解析】　建立平面直角坐標系如圖所示，則B(－，0)，C(，0)，A(0,3)，則點P的軌跡方程為x2＋(y－3)2＝1。設P(x，y)，M(x0，y0)，則x＝2x0－，y＝2y0， 代入圓的方程得2＋2＝，所以點M的軌跡方程為2＋2＝，它表示以為圓心，以為半徑的圓，所以||max＝＋＝，所以||2max＝。故選B。 【答案】　B 【變式訓練】　給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為。如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧上運動。若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值。 【解析】　以O為坐標原點、所在的直線

22、為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則A(1,0)，B。 設∠AOC＝α，則C(cosα，sinα)。 由＝x＋y， 得 所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin，又α∈，所以當α＝時，x＋y取得最大值2。 【答案】　2 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375