《高中數(shù)學 第3章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 3.2 復數(shù)代數(shù)形式的四則運算 3.2.1 復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算及其幾何意義學案 新人教A版選修12》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學 第3章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 3.2 復數(shù)代數(shù)形式的四則運算 3.2.1 復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算及其幾何意義學案 新人教A版選修12（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3.2.1　復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算及其幾何意義 學習目標：1.掌握復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算法則．(重點)2.了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義．(易錯點) [自 主 預(yù) 習探 新 知] 1．復數(shù)加法與減法的運算法則 (1)設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個復數(shù)，則 ①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. (2)對任意z1，z2，z3∈C，有 ①z1＋z2＝z2＋z1； ②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 2．復數(shù)加減法的幾何意義 圖321 如圖321所示，設(shè)復數(shù)z1，z2對應(yīng)向量分別為1，2，

2、四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，向量與復數(shù)z1＋z2對應(yīng)，向量與復數(shù)z1－z2對應(yīng)． 思考：類比絕對值|x－x0|的幾何意義，|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是什么？ [提示]|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是復平面內(nèi)點Z到點Z0的距離． [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1) 復數(shù)加法的運算法則類同于實數(shù)的加法法則． (　　) (2)復數(shù)與復數(shù)相加減后結(jié)果為復數(shù)． (　　) (3) 復數(shù)加減法的幾何意義類同于向量加減法運算的幾何意義． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 2．已知復數(shù)zi＝3＋4i，z2＝3－4i，則z1＋z2＝(　　) 【導學號：

3、48662137】 A．8i　　　　　　　 B．6 C．6＋8i D．6－8i B　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.] 3．復數(shù)(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　) A．－1＋i B．1－i C．i D．－i A　[(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故選A.] 4．已知復數(shù)z＋3i－3＝3－3i，則z＝(　　) A．0 B．6i C．6 D．6－6i D　[∵z＋3i－3＝3－3i， ∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.] 5．已知向量1對應(yīng)的復數(shù)為2－3i，向量2對應(yīng)的復數(shù)為

4、3－4i，則向量對應(yīng)的復數(shù)為________. 【導學號：48662138】 1－i　[＝－＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.] [合 作 探 究攻 重 難] 復數(shù)加減法的運算 　(1)計算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________. (2)已知zi＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y為實數(shù)，若z1－z2＝5－3i，則|z1＋z2|＝________. [解析]　(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i. (2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)

5、i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i， 所以解得x＝1，y＝0， 所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，則z1＋z2＝1－i， 所以|z1＋z2|＝. [答案]　(1)－2－i　(2) [規(guī)律方法]　復數(shù)與復數(shù)相加減，相當于多項式加減法的合并同類項，將兩個復數(shù)的實部與實部相加(減)，虛部與虛部相加(減) [跟蹤訓練] 1．計算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝________. (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝_____

6、___. 【導學號：48662139】 (1)6＋i　(2)－7＋7i (3)－11i　[(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i. (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i＝－7＋7i. (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i.] 復數(shù)加減運算的幾何意義 　(1)復數(shù)z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝.則|z1－z2|＝________. 圖322 (2)如圖322所示，平行四邊形OABC的頂點O、A、C對應(yīng)復數(shù)分別為0、3＋2i、－2＋4i，

7、試求 ①所表示的復數(shù)，所表示的復數(shù)； ②對角線所表示的復數(shù)； ③對角線所表示的復數(shù)及的長度． [解]　(1)由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知z1，z2，z1＋z2對應(yīng)的點是一個邊長為1的正方形的三個頂點，所求|z1－z2|是這個正方形的一條對角線長，所以|z1－z2|＝. (2)①＝－，∴所表示的復數(shù)為－3－2i. ∵＝，∴所表示的復數(shù)為－3－2i. ②∵＝－. ∴所表示的復數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③對角線＝＋，它所對應(yīng)的復數(shù)z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i, ||＝＝. [規(guī)律方法]　 1．用復數(shù)加、減運算的幾何意義解題的技

8、巧 (1)形轉(zhuǎn)化為數(shù)：利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復數(shù)運算去處理． (2)數(shù)轉(zhuǎn)化為形：對于一些復數(shù)運算也可以給予幾何解釋，使復數(shù)作為工具運用于幾何之中． 2．常見結(jié)論 在復平面內(nèi)，z1，z2對應(yīng)的點分別為A，B，z1＋z2對應(yīng)的點為C，O為坐標原點，則四邊形OACB為平行四邊形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為矩形；若|z1|＝|z2|，則四邊形OACB為菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為正方形． [跟蹤訓練] 2．復數(shù)z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它們在復平面上的對應(yīng)點是一個正方形的三個

9、頂點，求這個正方形的第四個頂點對應(yīng)的復數(shù). 【導學號：48662140】 [解]　設(shè)復數(shù)z1，z2，z3在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點分別為A，B，C，正方形的第四個頂點D對應(yīng)的復數(shù)為x＋yi(x，y∈R)，如圖． 則＝－＝(x，y)－(1,2) ＝(x－1，y－2)． ＝－＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)． ∵＝，∴，解得，故點D對應(yīng)的復數(shù)為2－i. 復數(shù)模的最值問題 [探究問題] 1．滿足|z|＝1的所有復數(shù)z對應(yīng)的點組成什么圖形？ 提示：滿足|z|＝1的所有復數(shù)z對應(yīng)的點在以原點為圓心，半徑為1的圓上． 2．若|z－1|＝|z＋1|，則復數(shù)z對應(yīng)的點組成什么

10、圖形？ 提示：∵|z－1|＝|z＋1|，∴點Z到(1,0)和(－1,0)的距離相等，即點Z在以(1,0)和(－1,0)為端點的線段的中垂線上． 3．復數(shù)|z1－z2|的幾何意義是什么？ 提示：復數(shù)|z1－z2|表示復數(shù)z1，z2對應(yīng)兩點Z1與Z2間的距離． 　(1)如果復數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　) A．1　　　　 B. C．2 D. (2)若復數(shù)z滿足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值． (1)A　[(1)設(shè)復數(shù)－i，i，－1－i在復平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Z1，Z2，Z3，因為|z＋i|＋|z－i|＝2, |Z1Z2|＝2，

11、所以點Z的集合為線段Z1Z2. 問題轉(zhuǎn)化為：動點Z在線段Z1Z2上移動，求|ZZ3|的最小值，因為|Z1Z3|＝1.所以|z＋i＋1|min＝1.] (2)如圖所示， ||＝＝2. 所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1. ] 母題探究：1.若本例題(2)條件改為“設(shè)復數(shù)z滿足|z－3－4i|＝1”，求|z|的最大值． [解]　因為|z－3－4i|＝1， 所以復數(shù)z所對應(yīng)點在以C(3,4)為圓心，半徑為1的圓上， 由幾何性質(zhì)得|z|的最大值是 ＋1＝6. 2．若本例題(2)條件改為已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i為虛數(shù)單位)的最小值．

12、[解]　因為|z|＝1且z∈C，作圖如圖： 所以|z－2－2i|的幾何意義為單位圓上的點M到復平面上的點P(2,2)的距離，所以|z－2－2i|的最小值為|OP|－1＝2－1. [規(guī)律方法]　|z1－z2|表示復平面內(nèi)z1，z2對應(yīng)的兩點間的距離.利用此性質(zhì)，可把復數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為復平面內(nèi)兩點間的距離問題，從而進行數(shù)形結(jié)合，把復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題求解. [當 堂 達 標固 雙 基] 1. a，b為實數(shù)，設(shè)z1＝2＋bi，z2＝a＋i，當z1＋z2＝0時，復數(shù)a＋bi為(　　) 【導學號：48662141】 A．1＋i　　　　　　　 B．2＋i C．3 D．－2－i

13、 D　[∵z1＝2＋bi，z2＝a＋i，∴z1＋z2＝2＋bi＋(a＋i)＝0，所以a＝－2，b＝－1，即a＋bi＝－2－i] 2．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，則復數(shù)z＝z2－z1對應(yīng)的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，實部小于零，虛部大于零，故位于第二象限．] 3．計算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________. 5　[|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5.] 4．已知復數(shù)z1＝(a2－2)

14、＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2為純虛數(shù)，則a＝________. 【導學號：48662142】 －1　[z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)為純虛數(shù)，∴解得a＝－1.] 5．在復平面內(nèi)，復數(shù)－3－i與5＋i對應(yīng)的向量分別是與，其中O是原點，求向量＋，對應(yīng)的復數(shù)及A，B兩點間的距離． [解]　向量＋對應(yīng)的復數(shù)為(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵＝－，∴向量對應(yīng)的復數(shù)為 (－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A，B兩點間的距離為|－8－2i|＝＝2. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375