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圖形的相似,第三十一講,第六章圖形的變化,知識盤點(diǎn),1、比和比例的有關(guān)概念2．比例的基本性質(zhì)及定理3．平行線分線段成比例定理4．相似三角形的定義、判定及性質(zhì)5、相似多邊形的性質(zhì)6、位似圖形,難點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn),(3)由于運(yùn)用三點(diǎn)定形法時(shí)常會(huì)碰到三點(diǎn)共線或四點(diǎn)中沒有相同點(diǎn)的情況，此時(shí)可考慮運(yùn)用等線、等比或等積進(jìn)行變換后，再考慮運(yùn)用三點(diǎn)定形法尋找相似三角形，這種方法就是等量代換法．在證明比例式時(shí)，常常要用到中間比．3．判定兩個(gè)三角形相似的技巧：(1)先找兩對對應(yīng)角相等，一般這個(gè)條件比較簡單；(2)若只能找到一對對應(yīng)角相等，則判斷相等角的兩夾邊是否對應(yīng)成比例；(3)若找不到角相等，就判斷三邊是否對應(yīng)成比例；(4)若題目出現(xiàn)平行線，則直接運(yùn)用基本定理得出相似的三角形．,4．五種基本思路(1)條件中若有平行線，可采用相似三角形的基本定理；(2)條件中若有一對等角，可再找一對等角或再找夾邊成比例；(3)條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等；(4)條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應(yīng)成比例；(5)條件中若有等腰三角形，可找頂角相等，或找一對底角相等，或找底和腰對應(yīng)成比例．,C,1．(2015眉山)如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn).已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，則EF的長為()A．4B．5C．6D．8,D,夯實(shí)基礎(chǔ),B,3．(2015銅仁)如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE∶EC＝3∶1，連接AE交BD于點(diǎn)F，則△DEF的面積與△BAF的面積之比為()A．3∶4B．9∶16C．9∶1D．3∶14．(2015營口)如圖，△ABE和△CDE是以點(diǎn)E為位似中心的位似圖形，已知點(diǎn)A(3，4)，點(diǎn)C(2，2)，點(diǎn)D(3，1)，則點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是()A．(4，2)B．(4，1)C．(5，2)D．(5，1),C,B,5．(2015南通)如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，弦AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E，AB＝6，AD＝5，則AE的長為()A．2.5B．2.8C．3D．3.2,類型一：比例的基本性質(zhì)、黃金分割,D,【點(diǎn)評】此題考查了比例的性質(zhì)．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意掌握比例的性質(zhì)與比例變形．,典例探究,A,類型二：三角形相似的性質(zhì)及判定,【例2】(2015湘潭)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，△ACD沿AD折疊，使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處．(1)求證：△BDE∽△BAC；(2)已知AC＝6，BC＝8，求線段AD的長度．,解：證明：(1)∵∠C＝90，△ACD沿AD折疊，∴∠C＝∠AED＝90，∴∠DEB＝∠C＝90，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC,【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)(1)、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；(2)、勾股定理求解．,類型三：相似三角形綜合問題,【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及垂徑定理，根據(jù)題意判斷出△PAD∽△PCB是解答此題的關(guān)鍵．,類型四：相似多邊形與位似圖形,【例4】(2015漳州)如圖，在1010的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D均在格點(diǎn)上，以點(diǎn)A為位似中心畫四邊形AB′C′D′，使它與四邊形ABCD位似，且位似比為2.(1)在圖中畫出四邊形AB′C′D′；(2)填空：△AC′D′是___________三角形．,解：(1)如圖所示(2)∵AC′2＝42＋82＝16＋64＝80，AD′2＝62＋22＝36＋4＝40，C′D′2＝62＋22＝36＋4＝40，∴AD′＝C′D′，AD′2＋C′D′2＝AC′2，∴△AC′D′是等腰直角三角形．故答案為等腰直角,等腰直角,【點(diǎn)評】畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心，②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．同時(shí)考查了勾股定理及其逆定理等知識．熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)以及位似變換的定義是解題的關(guān)鍵．,解：(1)證明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD，∴∠EAG＋∠GAB＝∠BAD＋∠GAB，∴∠EAB＝∠GAD，∵AE＝AG，AB＝AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB＝GD,審題視角三角形內(nèi)從兩個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別與其對邊相交的線段，它們又相交于一點(diǎn)．這時(shí)，三角形的兩邊、上述兩條相交線段均被有關(guān)分點(diǎn)分成不同的線段比，這些線段的比之間存在相互依存和制約的關(guān)系，知道其中任意兩條線段被分點(diǎn)分成的比，就可以求出其他任一線段被分點(diǎn)所分成的比．這一問題的解決辦法，主要是利用平行線(作輔助線)．輔助線的作法：主要是過三角形邊上的點(diǎn)作欲求分比線段的平行線，構(gòu)成兩對相似三角形．本題可以過點(diǎn)E作EG∥CD交AB于點(diǎn)G，則有△BEG∽△BCD，△ADO∽△AGE.本題也可過點(diǎn)D作AE的平行線，同樣也可以求得相關(guān)的比值．,答題思路第一步：審題，理解問題，清楚問題中的已知條件與未知結(jié)論；第二步：過三角形邊上的點(diǎn)作欲求分比線段的平行線，構(gòu)成兩對相似三角形；第三步：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出與欲求分比線段相關(guān)聯(lián)的兩線段的比值；第四步：根據(jù)比例的性質(zhì)逐步求得欲求分比線段的比值；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，完善解題步驟．,易錯(cuò)：,剖析(1)此題中，Rt△ABC與Rt△ADC中，∠ACB＝∠ADC＝90，∠B可能與∠ACD相等，也可能與∠CAD相等，三角形△ABC與△ADC相似可能是△ABC∽△ACD或△ABC∽△CAD.根據(jù)對應(yīng)邊成比例，有兩種情況需要分類討論．(2)分類討論在幾何中的應(yīng)用也很廣泛，可以說整個(gè)平面幾何的知識結(jié)構(gòu)貫穿了分類討論的思想方法．(3)在解題過程中，不僅要掌握問題中的條件與結(jié)論，還要在推理的過程中不斷地發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件，以便全面、正確、迅速地解決問題．忽視已知條件，實(shí)質(zhì)上是對概念理解不詳、把握不準(zhǔn)的表現(xiàn)．,