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圖形的旋轉(zhuǎn),第三十講,第六章圖形的變化,知識盤點(diǎn),1．旋轉(zhuǎn)的概念2．旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)3．中心對稱和中心對稱圖形4、旋轉(zhuǎn)的三條件,1．中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：中心對稱是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，必須涉及兩個(gè)圖形，中心對稱圖形是指一個(gè)圖形；中心對稱是指其中一個(gè)圖形沿對稱中心旋轉(zhuǎn)180后，兩個(gè)圖形重合；中心對稱圖形是指該圖形繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180，與原圖形重合．聯(lián)系：如果把兩個(gè)成中心對稱的圖形拼在一起，看成一個(gè)整體，那么它就是中心對稱圖形；如果把中心對稱圖形看成以對稱中心為分點(diǎn)的兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形成中心對稱．,難點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn),2．中心對稱與軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：中心對稱有一個(gè)對稱中心——點(diǎn)；圖形繞中心旋轉(zhuǎn)180，旋轉(zhuǎn)后與另一個(gè)圖形重合．軸對稱有一條對稱軸——直線．圖形沿直線翻折180，翻折后與另一個(gè)圖形重合．聯(lián)系：如果一個(gè)軸對稱圖形有兩條互相垂直的對稱軸，那么它必是中心對稱圖形，這兩條對稱軸的交點(diǎn)就是它的對稱中心，但中心對稱圖形不一定是軸對稱圖形．,3．旋轉(zhuǎn)作圖(1)旋轉(zhuǎn)作圖的依據(jù)是旋轉(zhuǎn)的特征．(2)旋轉(zhuǎn)作圖的步驟如下：①確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度；②確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)(如三角形的三個(gè)頂點(diǎn))，并標(biāo)上相應(yīng)字母；③將這些關(guān)鍵點(diǎn)沿旋轉(zhuǎn)方向轉(zhuǎn)動一定的角度；④按照原圖形的連接方式，順次連接這些對應(yīng)點(diǎn)，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形，寫出結(jié)論．,D,1．(2015廣州)將圖中所示的圖案以圓心為中心，旋轉(zhuǎn)180后得到的圖案是(),夯實(shí)基礎(chǔ),B,2．(2015重慶)下列圖形是我國國產(chǎn)品牌汽車的標(biāo)識，在這些汽車標(biāo)識中，是中心對稱圖形的是(),C,3．(2015哈爾濱)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后得到的△AB′C′(點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)C′)，連接CC′.若∠CC′B′＝32，則∠B的大小是()A．32B．64C．77D．87,A,4．(2015貴港)在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P(m，m－n)與點(diǎn)Q(－2，3)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則點(diǎn)M(m，n)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限,D,類型一：識別中心對稱圖形,【例1】(2015杭州)下列圖形是中心對稱圖形的是(),A,【點(diǎn)評】把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，這樣的圖形才是中心對稱圖形．,典例探究,[對應(yīng)訓(xùn)練]1．(2015綏化)下列圖案中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的個(gè)數(shù)有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè),B,類型二：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決問題,【例2】(1)(2015欽州)如圖，在44的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到△COD，則旋轉(zhuǎn)過程中形成的陰影部分的面積為__________．,(2)如圖，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45，△AEF是由△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE，CF相交于點(diǎn)D.①求證：BE＝CF；②當(dāng)四邊形ACDE為菱形時(shí)，求BD的長．,解：①證明：∵△AEF是由△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的，∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF＋∠BAF＝∠BAC＋∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，∵AB＝AC，∴AE＝AF，∴△AEB可由△AFC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴BE＝CF,【點(diǎn)評】(1)抓住旋轉(zhuǎn)中的“變”與“不變”；(2)找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)點(diǎn)和對應(yīng)線段、旋轉(zhuǎn)角等；(3)充分利用旋轉(zhuǎn)過程中線段、角之間的關(guān)系．,[對應(yīng)訓(xùn)練]2．(1)(2015吉林)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝5cm，BC＝12cm，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到△BDE，連接DC交AB于點(diǎn)F，則△ACF與△BDF的周長之和為______cm.,42,(2)(2015日照)如圖，已知，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90，E，F(xiàn)分別是CA，CB邊的三等分點(diǎn)，將△ECF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角(0＜α＜90)，得到△MCN，連接AM，BN.①求證：AM＝BN；②當(dāng)MA∥CN時(shí)，試求旋轉(zhuǎn)角α的余弦值．,類型三：與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的作圖,【例3】(2015昆明)如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)．(1)請畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo)；(2)請畫出△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后的△A2BC2；(3)求出(2)中C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C2點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長．(結(jié)果保留根號和π)．,解：(1)根據(jù)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可知：A1(2，－4)，B1(1，－1)，C1(4，－3)，如圖：連接A1，B1，C1即可得到△A1B1C1,(2)如圖：,【點(diǎn)評】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用軸對稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．,[對應(yīng)訓(xùn)練]3．(2015廈門)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(－3，1)，B(－2，0)，C(0，1)，請?jiān)趫D中畫出△ABC，并畫出與△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對稱的圖形．,解：作圖如右,類型四：軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用,【例4】(2015東營)如圖，兩個(gè)全等的△ABC和△DFE重疊在一起，固定△ABC，將△DEF進(jìn)行如下變換：,(1)如圖①，△DEF沿直線CB向右平移(即點(diǎn)F在線段CB上移動)，連接AF，AD，BD.請直接寫出S△ABC與S四邊形AFBD的關(guān)系；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)F平移到線段BC的中點(diǎn)時(shí)，若四邊形AFBD為正方形，那么△ABC應(yīng)滿足什么條件？請給出證明．,解：(1)S△ABC＝S四邊形AFBD，理由：由題意可得：AD∥EC，則S△ADF＝S△ABD，故S△ACF＝S△ADF＝S△ABD，則S△ABC＝S四邊形AFBD,【點(diǎn)評】本題主要考查了正方形的判定以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練應(yīng)用正方形的判定方法是解題關(guān)鍵．,[對應(yīng)訓(xùn)練]4．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)A，B和D的距離分別為1，2，，△ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP′，連接PP′，并延長AP與BC相交于點(diǎn)Q.(1)求證：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ的大小；(3)求CQ的長．,解：(1)∵△ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP′，∴根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△APD≌△AP′B，∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AB，∵∠PAD＋∠PAB＝90，∴∠P′AB＋∠PAB＝90，即∠PAP′＝90，∴△APP′是等腰直角三角形,試題如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A與正三角形AEF的頂點(diǎn)A重合，將△AEF繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)BE＝DF時(shí)，∠BAE的大小是____．錯(cuò)解15解析：∵正方形ABCD與正三角形AEF的頂點(diǎn)A重合，BE＝DF，∴AB＝AD，AE＝AF，∴△ABE≌△ADF(SSS)，∴∠BAE＝∠FAD.∵∠EAF＝60，∴∠BAE＋∠FAD＝30，∴∠BAE＝∠FAD＝15.剖析正三角形AEF可以在正方形的內(nèi)部也可以在正方形的外部，所以要分兩種情況分別求解．,易錯(cuò)：,正解15或165解析：(1)當(dāng)正三角形AEF在正方形ABCD的內(nèi)部時(shí)，如圖①，∵正方形ABCD與正三角形AEF的頂點(diǎn)A重合，BE＝DF，∴AB＝AD，AE＝AF，∴△ABE≌△ADF(SSS)，∴∠BAE＝∠FAD.∵∠EAF＝60，∴∠BAE＋∠FAD＝30，∴∠BAE＝∠FAD＝15.,(2)當(dāng)正三角形AEF在正方形ABCD的外部時(shí)，如圖②，∵正方形ABCD與正三角形AEF的頂點(diǎn)A重合，BE＝DF，AB＝AD，AE＝AF，∴△ABE≌△ADF(SSS)，∴∠BAE＝∠FAD，∵∠EAF＝60，∴2∠BAE－∠EAF＋90＝360，∴∠BAE＝165.故答案為15或165,