《高中數(shù)學 第三章 三角恒等變換 3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 兩角差的余弦公式學案 新人教A版必修4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學 第三章 三角恒等變換 3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 兩角差的余弦公式學案 新人教A版必修4（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3.1.1　兩角差的余弦公式 學習目標：1.了解兩角差的余弦公式的推導過程．(重點)2.理解用向量法導出公式的主要步驟．(難點)3.熟記兩角差的余弦公式的形式及符號特征，并能利用該公式進行求值、計算．(重點、易混點) [自 主 預 習·探 新 知] 兩角差的余弦公式 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β 適用條件 公式中的角α，β都是任意角 公式結構 公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號與左邊角的連接符號相反 [基礎自測] 1．思考辨析 (1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos

2、 30°.(　　) (2)對于任意實數(shù)α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．(　　) (3)對任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．(　　) (4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.(　　) [解析]　(1)錯誤．cos(60°－30°)＝cos 30°≠cos 60°－cos 30°. (2)錯誤．當α＝－45°，β＝45°時，cos(α－β)＝cos(－45

3、76; －45°)＝cos(－90°)＝0，cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0，此時cos(α－β)＝cos α－cos β. (3)正確．結論為兩角差的余弦公式． (4)正確．cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝cos(120°－30°)＝cos 90°＝0. [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．cos(－15°)的值是(　　) A.　　　　　　　　 B. C.

4、D. D　[cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.] 3．cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝________. 　[cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝cos(65°－20°)＝cos 45°＝.] [合 作 探 究·攻 重 難

5、] 給角求值問題 　(1)cos的值為(　　) A．　　　　　　　 B． C． D．－ (2)求下列各式的值： ①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； ②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°； ③cos 15°＋sin 15°. 【導學號：84352295】 (1)D　[(1)cos＝cos＝－cos ＝－cos ＝－coscos－sinsin ＝－×－×＝－. (2)①cos 75°

6、cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°) ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝. ②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76° ＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(9

7、0°－14°) ＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14° ＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝. ③cos 15°＋sin 15° ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15° ＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.] [規(guī)律方法]　1.解含非特殊角的三角函數(shù)式的求值問題的一般思路是： (1)把非特殊角轉化為特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2)

8、在轉化過程中，充分利用誘導公式，構造兩角差的余弦公式的結構形式，然后逆用公式求值． 2．兩角差的余弦公式的結構特點： (1)同名函數(shù)相乘：即兩角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的積相加． [跟蹤訓練] 1．化簡下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； (2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. [解]　(1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝

9、cos 45°＝. (2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°) ＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝. 給值(式)求值問題 [探究問題] 1．若已知α＋β和

10、β的三角函數(shù)值，如何求cos α的值？ 提示：cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β. 2．利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？ 提示：cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)． 　(1)已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，則cos(α－β)＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)已知sin＝，α∈，求cos α的值. 【導學號：84352296】 [思路探究]　(1)先將已知兩式平方，再將所得兩式相加，結合平方關系和

11、公式C(α－β)求cos(α－β)． (2)由已知角＋α與所求角α的關系即α＝－尋找解題思路． (1)D　[(1)因為sin α－sin β＝1－， 所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝2，　① 因為cos α－cos β＝，所以cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝2，?、? ①，②兩式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－＋＋ 所以－2cos(α－β)＝－ 所以cos(α－β)＝. (2)∵α∈， ∴＋α∈， ∴cos＝－ ＝－＝－. ∵α＝－， cos α＝cos ＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.] 母題

12、探究：1.將例2(2)的條件改為“sin＝，且<α<”，如何解答？ [解]　∵sin＝，且<α<， ∴<α＋<π， ∴cos＝－＝－， ∴cos α＝cos ＝coscos ＋sinsin ＝－×＋×＝. 2．將例2(2)的條件改為“sin＝－，α∈”，求cos的值． [解]　∵＜α＜，∴－＜－α＜， 又sin＝－＜0， ∴－＜－α＜0，cos＝＝， ∴cos＝cos＝cos＝cos＋sin＝×＋×＝－. [規(guī)律方法]　給值求值問題的解題策略 (1)已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角

13、函數(shù)值時，要注意觀察已知角與所求表達式中角的關系，即拆角與湊角. (2)由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中可以根據(jù)需要靈活地進行拆角或湊角.常見角的變換有： ①α＝(α－β)＋β； ②α＝＋； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β). 給值求角問題 　已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的大小. 【導學號：84352297】 [思路探究]　→ → [解]　因為sin(π－α)＝， 所以sin α＝.因為0＜α＜， 所以cos α＝＝. 因為cos(α－β)＝， 且0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，

14、 所以sin(α－β)＝＝， 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.因為0＜β＜，所以β＝. [規(guī)律方法]　已知三角函數(shù)值求角的解題步驟 (1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍. (2)求所求角的某種三角函數(shù)值.為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù). (3)結合三角函數(shù)值及角的范圍求角. 提醒：在根據(jù)三角函數(shù)值求角時，易忽視角的范圍，而得到錯誤答案. [跟蹤訓練] 2．已知α，β均為銳角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值． [解]　∵α，β均為銳角， ∴sin α＝

15、，sin β＝， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝×＋×＝. 又sin α<sin β， ∴0<α<β<，∴－<α－β<0， 故α－β＝－. [當 堂 達 標·固 雙 基] 1．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝(　　) 【導學號：84352298】 A．　　　　　　　　 B． C．－ D．－ B　[∵sin 14°＝cos 76°，cos 74°＝sin 16°

16、∴原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝.] 2．若sin αsin β＝1，則cos(α－β)的值為(　　) A．0　　　　 B．1 C．±1　　　　 D．－1 B　[由sin αsin β＝1，得cos αcos β＝0， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.] 3．已知α為銳角，β為第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，則cos(α－β)的值為(　　) 【導學號：84352299】

17、A．－ B．－ C． D． A　[∵α為銳角，cos α＝，∴sin α＝＝， ∵β為第三象限角，sin β＝－，∴cos β＝－＝－， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.] 4．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________. 　[原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)] ＝cos(－60°)＝cos 60°＝.] 5．已知sin α＝－，sin β＝，且180

18、6;＜α＜270°，90°＜β＜180°，求cos(α－β)的值. 【導學號：84352300】 [解]　因為sin α＝－，180°＜α＜270°， 所以cos α＝－. 因為sin β＝，90°＜β＜180°， 所以cos β＝－， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝×＋× ＝－＝. 我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉變經(jīng)濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟結構，實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。