《2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 專題突破三 空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略學(xué)案（含解析）新人教B版選修2-1.docx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 專題突破三 空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略學(xué)案（含解析）新人教B版選修2-1.docx（22頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

專題突破三　空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略 利用空間向量的方法解決立體幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是依托圖形建立空間直角坐標(biāo)系，將其他向量用坐標(biāo)表示，通過(guò)向量運(yùn)算，判定或證明空間元素的位置關(guān)系，以及空間角、空間距離問(wèn)題的探求．所以如何建立空間直角坐標(biāo)系顯得非常重要，下面簡(jiǎn)述空間建系的四種方法，希望同學(xué)們面對(duì)空間幾何問(wèn)題能做到有的放矢，化解自如． 一、利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱 例1　已知直四棱柱中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠DAB為直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，試求異面直線BC1與DC所成角的余弦值． 考點(diǎn)　向量法求直線與直線所成的角 題點(diǎn)　向量法求直線與直線所成的角 解　如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz， 則D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)， 所以＝(－2，－3,2)，＝(0，－1,0)． 所以cos〈，〉＝＝. 故異面直線BC1與DC所成角的余弦值為. 點(diǎn)評(píng)　本例以直四棱柱為背景，求異面直線所成角．求解關(guān)鍵是從直四棱柱圖形中的共點(diǎn)的三條棱互相垂直關(guān)系處著手，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，再求兩異面直線的方向向量的夾角即可． 跟蹤訓(xùn)練1　如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD＝90，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)分別是線段PA，CD的中點(diǎn)，求異面直線EF與BD所成角的余弦值． 考點(diǎn)　向量法求直線與直線所成的角 題點(diǎn)　向量法求直線與直線所成的角 解　因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以，PA⊥平面ABCD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz， 則E(0,0,1)，F(xiàn)(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)． ＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)， 故cos〈，〉＝＝. 即異面直線EF與BD所成角的余弦值為. 二、利用線面垂直關(guān)系 例2　如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，E為棱C1C的中點(diǎn)，已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝.試建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出圖中所有點(diǎn)的坐標(biāo)． 考點(diǎn)　空間向量的正交分解 題點(diǎn)　向量的坐標(biāo) 解　過(guò)點(diǎn)B作BP垂直BB1交C1C于點(diǎn)P， 因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BP，AB⊥BB1， 以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BP，BB1，BA所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz. 又BP⊥BB1，BB1∩AB＝B， 且BB1，AB?平面ABB1A1，所以BP⊥平面ABB1A1， 因?yàn)锳B＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝， 所以CP＝，C1P＝，BP＝，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為 B(0，0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，C， C1，E，A1(0,2，)，P. 點(diǎn)評(píng)　空間直角坐標(biāo)系的建立，要盡量地使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，這樣建成的坐標(biāo)系，既能迅速寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，又由于坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)含有0，也為后續(xù)的運(yùn)算帶來(lái)了方便．本題已知條件中的垂直關(guān)系“AB⊥平面BB1C1C”，可作為建系的突破口． 跟蹤訓(xùn)練2　如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)．求直線AN與平面PMN所成角的正弦值． 考點(diǎn)　向量法求直線與平面所成的角 題點(diǎn)　向量法求直線與平面所成的角 解　取BC的中點(diǎn)E，連接AE. 由AB＝AC得AE⊥BC， 從而AE⊥AD，AE＝＝＝. 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz. 由題意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)， N，＝(0,2，－4)， ＝，＝. 設(shè)n＝(x，y，z)為平面PMN的法向量，則 即可取n＝(0,2,1)． 于是|cos〈n，〉|＝＝. 設(shè)AN與平面PMN所成的角為θ，則sinθ＝， ∴直線AN與平面PMN所成的角的正弦值為. 三、利用面面垂直關(guān)系 例3　如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠ABC＝60，E是BC的中點(diǎn)．將△ABE沿AE折起，使平面BAE⊥平面AEC(如圖2)，連接BC，BD.求平面ABE與平面BCD所成的銳角的大?。? 考點(diǎn)　向量法求平面與平面所成的角 題點(diǎn)　向量法求平面與平面所成的角 解　取AE中點(diǎn)M，連接BM，DM. 因?yàn)樵诘妊菪蜛BCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60，E是BC的中點(diǎn)， 所以△ABE與△ADE都是等邊三角形， 所以BM⊥AE，DM⊥AE. 又平面BAE⊥平面AEC，平面BAE∩平面AEC＝AE，所以BM⊥平面AEC，所以BM⊥MD. 以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ME，MD，MB所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Mxyz，如圖， 則B(0,0，)，C(2，，0)，D(0，，0)，M(0,0,0)， 所以＝(2,0,0)，＝(0，，－)，＝(0，，0)， 設(shè)平面BCD的法向量為m＝(x，y，z)， 由 取y＝1，得m＝(0,1,1)， 又因平面ABE的一個(gè)法向量＝(0，，0)， 所以cos〈m，〉＝＝， 所以平面ABE與平面BCD所成的銳角為45. 點(diǎn)評(píng)　本題求解關(guān)鍵是利用面面垂直關(guān)系，先證在兩平面內(nèi)共點(diǎn)的三線垂直，再構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，然后分別求出兩個(gè)平面的法向量，求出兩法向量夾角的余弦值，即可得所求的兩平面所成的銳角的大小．用法向量的夾角求二面角時(shí)應(yīng)注意：平面的法向量有兩個(gè)相反的方向，取的方向不同求出來(lái)的角度就不同，所以最后還應(yīng)該根據(jù)這個(gè)二面角的實(shí)際形態(tài)確定其大小． 跟蹤訓(xùn)練3　在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD. (1)證明：AB⊥平面VAD； (2)求二面角A－VD－B的平面角的余弦值． 考點(diǎn)　向量法求平面與平面所成的角 題點(diǎn)　向量法求平面與平面所成的角 (1)證明　取AD的中點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)， 由題意知，VO⊥底面ABCD， 則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)AD＝2，則A(1,0,0)，D(－1，0,0)，B(1,2,0)，V(0,0，)． 易得＝(0,2,0)， ＝(1,0，－)． ∵＝(0,2,0)(1,0，－)＝0， ∴⊥，即AB⊥VA. 又AB⊥AD，AD∩VA＝A，∴AB⊥平面VAD. (2)解　易得＝(1,0，)． 設(shè)E為DV的中點(diǎn)，連接EA，EB， 則E， ∴＝，＝. ∵＝(1,0，)＝0， ∴⊥，即EB⊥DV. 又EA⊥DV，∴∠AEB為所求二面角的平面角， ∴cos〈，〉＝＝. 故所求二面角的平面角的余弦值為. 四、利用底面的中心與高所在的直線，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系 例4　如圖所示，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O. (1)求證：平面O1DC⊥平面ABCD； (2)若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AA1，BC上，且AE＝2EA1，問(wèn)點(diǎn)F在何處時(shí)，EF⊥AD? 考點(diǎn)　向量法求解直線與直線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　方向向量與線線垂直 (1)證明　如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)OA＝1，OA1＝a. 則A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0，a)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，O1(－1,0，a)． 則＝(1，－1，－a)，＝(0,0，－a)． 設(shè)m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分別是平面O1DC和平面ABCD的法向量． 由得 令x1＝1，則m＝(1,1,0)，而n＝λ＝(0,0，λa)， 故mn＝0，即平面O1DC與平面ABCD的法向量垂直，故平面O1DC⊥平面ABCD. (2)解　由(1)可知，＝，＝(－1,0，a)， ＝＝(－1，－1,0)． 設(shè)＝γ，則＝(－γ，－γ，0)，故點(diǎn)F的坐標(biāo)為(－γ，1－γ，0)，∴＝. EF⊥AD?＝0，而＝－－γ－γ＋1＝0，解得γ＝.故當(dāng)F為BC的三等分點(diǎn)(靠近B)時(shí)，有EF⊥AD. 點(diǎn)評(píng)　依托于平行六面體的高所在直線與底面正方形的兩對(duì)角線便可建立空間直角坐標(biāo)系． 跟蹤訓(xùn)練4　已知正四棱錐V－ABCD中，E為VC的中點(diǎn)，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，高為h. (1)求∠DEB的余弦值； (2)若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值． 考點(diǎn)　向量法求直線與直線所成的角 題點(diǎn)　向量法求直線與直線所成的角 解　(1)如圖所示，以V在底面ABCD內(nèi)的正投影O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，其中Ox∥BC，Oy∥AB.由AB＝2a，OV＝h，知B(a，a,0)，C(－a，a,0)， D(－a，－a,0)，V(0,0，h)， E. ∴＝，＝， ∴cos〈，〉＝＝. 即cos∠DEB＝. (2)∵BE⊥VC，∴＝0，即(－a，a，－h(huán))＝0， ∴a2－－＝0，∴h＝a. 此時(shí)cos〈，〉＝＝－， 即cos∠DEB＝－. 1.如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，E，F(xiàn)分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，則EF和CD所成的角為________． 答案　45 解析　以D為原點(diǎn)，分別以射線DA，DC，DD1為x軸、y軸、z軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz如圖所示， 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1， 則D(0,0,0)，C(0,1,0)， E，F(xiàn)， ＝， ＝(0,1,0)， ∴cos〈，〉＝＝－， ∴〈，〉＝135， ∴異面直線EF和CD所成的角是45. 2．在底面為直角梯形的四棱錐S－ABCD中，∠ABC＝90，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，則平面SCD與平面SAB所成銳二面角的余弦值為________． 考點(diǎn)　向量法求二面角 題點(diǎn)　向量法求二面角 答案　 解析　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AS所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz， 則A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)， 平面SAB的一個(gè)法向量 ＝， 并求得平面SCD的一個(gè)法向量n＝， 則cos〈，n〉＝＝. 即所求銳二面角的余弦值為. 3.在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB＝2，AA1＝2，D是AA1的中點(diǎn)，BD與AB1交于點(diǎn)O，且OC⊥平面ABB1A1. (1)證明：BC⊥AB1； (2)若OC＝OA，求直線CD與平面ABC所成角的正弦值． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 (1)證明　由題意知tan∠ABD＝＝，tan∠AB1B＝＝， 又∠ABD，∠AB1B為三角形的內(nèi)角， 故∠ABD＝∠AB1B， 則∠AB1B＋∠BAB1＝∠ABD＋∠BAB1＝， 所以∠AOB＝，即AB1⊥BD. 又CO⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1， 所以AB1⊥CO， 因?yàn)锽D∩CO＝O，BD，CO?平面CBD， 所以AB1⊥平面CBD， 又BC?平面CBD，所以AB1⊥BC. (2)解　如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)D，OB1，OC所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz， 則A，B，C，D， ＝，＝， ＝， 設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)， 則即 令y＝1，則z＝－1，x＝， ∴平面ABC的一個(gè)法向量n＝. 設(shè)直線CD與平面ABC所成角為α， 則sinα＝|cos〈，n〉|＝ ＝＝. 一、選擇題 1．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(　　) A.B.C.D. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(1,1，)，D1(0,0，)， 所以＝(－1,0，)，＝(1,1，)， 因?yàn)閏os〈，〉＝＝＝. 2.如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，M，E，F(xiàn)分別為PQ，AB，BC的中點(diǎn)，則異面直線EM與AF所成角的余弦值是(　　) A. B. C.－ D. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　A 解析　由題設(shè)易知，AB，AD，AQ兩兩垂直．以A為原點(diǎn)，AB，AD，AQ所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2， 則A(0,0,0)，E(1,0,0)，M(0,1,2)，F(xiàn)(2,1,0)， ＝(－1,1,2)，＝(2,1,0)， cos〈，〉＝＝＝， 則異面直線EM與AF所成角的余弦值為. 3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BD與平面A1C1D所成角的正弦值是(　　) A.B.C.D．1 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　B 解析　以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A1(2,0,0)，C1(0,2,0)，D(0,0,2)，B(2,2,2)， 且n＝(1,1,1)是平面A1C1D的一個(gè)法向量， 因?yàn)椋?2,2,0)， 所以cos〈n，〉＝＝＝. 設(shè)DB與平面A1C1D所成的角為θ，則sinθ＝cos〈n，〉＝. 4．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，則AB1與C1B所成角的大小為(　　) A．60 B．75 C．105 D．90 考點(diǎn)　向量法求直線與直線所成的角 題點(diǎn)　向量法求直線與直線所成的角 答案　D 解析　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BB1＝1， 則A(0,0,1)，B1， C1(0，，0)，B. ∴＝， ＝， ∴＝－－1＝0， 即AB1與C1B所成角的大小為90. 5．(2018貴州貴陽(yáng)高二檢測(cè))如圖，四棱錐P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，點(diǎn)E在棱PA上，且PE＝2EA，則平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為(　　) A.B.C.D. 考點(diǎn)　向量法求平面與平面所成的角 題點(diǎn)　向量法求平面與平面所成的角 答案　B 解析　如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BC，BA，BP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則B(0,0,0)，A(0,3,0)，P(0,0,3)，D(3,3,0)，E(0,2,1)， ∴＝(0,2,1)，＝(3,3,0)． 設(shè)平面BED的法向量為n＝(x，y，z)， 則 取z＝1，得n＝. 又平面ABE的法向量為m＝(1,0,0)， ∴cos〈n，m〉＝＝＝. ∴平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為. 6.如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60，則二面角A－A1C－B的余弦值是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　由題意知AB⊥AC，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，A1(0,0，)． 設(shè)平面A1BC的法向量為n＝(x，y，z)， 則n＝0，n＝0. 又因?yàn)椋?－1，，0)，＝(0，，－)， 所以令y＝1，則n＝(，1,1)． 取m＝＝(1,0,0)為平面AA1C的一個(gè)法向量， 所以cos〈m，n〉＝＝＝. 所以二面角A－A1C－B的余弦值為. 二、填空題 7.如圖所示，在四面體ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為________． 考點(diǎn)　向量法求直線與直線所成的角 題點(diǎn)　向量法求直線與直線所成的角 答案　 解析　取BD的中點(diǎn)O，連接OA，OC. 由題意知OA，OC，BD兩兩垂直， 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示， 則B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)， 所以＝(1,0，－1)，＝(－1，－，0)， cos〈，〉＝＝－， 因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是， 所以AB與CD所成角的余弦值是. 8.如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是菱形，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，OA＝4，OB＝3，OP＝4，OP⊥底面ABCD.設(shè)點(diǎn)M滿足＝λ(λ>0)，當(dāng)λ＝時(shí)，直線PA與平面BDM所成角的正弦值是________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　 解析　以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 則＝(4,0，－4)，＝(0,6,0)，＝(－4,3,0)． 當(dāng)λ＝時(shí)，得M， 所以＝. 設(shè)平面DBM的法向量為n＝(x，y，z)， 則解得y＝0，令x＝2，則z＝1， 所以n＝(2,0,1)． 因?yàn)閏os〈，n〉＝＝＝， 所以直線PA與平面BDM所成角的正弦值為. 9．(2018山西太原高二檢測(cè))已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA＝PD＝，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中點(diǎn)，O是AD的中點(diǎn)，則直線BM與平面PCO所成角的正弦值是________． 考點(diǎn)　向量法求直線與平面所成的角 題點(diǎn)　向量法求直線與平面所成的角 答案　 解析　如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系． 則B(1,2,0)，C(－1,2,0)，P(0,0,2)，M. ∴＝. 設(shè)平面PCO的法向量為n＝(x，y，z)， 則 ∴ 取n＝(2,1,0)． 因此直線BM與平面PCO所成角的正弦值是 |cos〈，n〉|＝＝. 10.如圖，四棱錐F－ABCD的底面ABCD是菱形，其對(duì)角線AC＝2，BD＝.若CF⊥平面ABCD，CF＝2，則二面角B－AF－D的大小為________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　 解析　過(guò)點(diǎn)A作AE⊥平面ABCD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)． 于是B，D，F(xiàn)(0,2,2)． 設(shè)平面ABF的法向量為n1＝(x，y，z)， 則由得 令z＝1，得所以n1＝(－，－1,1)． 同理，可求得平面ADF的一個(gè)法向量為n2＝(，－1,1)． 由n1n2＝0，知平面ABF與平面ADF垂直， 所以二面角B－AF－D的大小為. 11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體AC1中，點(diǎn)P，Q分別在棱BC，CD上，B1Q⊥D1P，且PQ＝.若P，Q分別為BC，CD的中點(diǎn)，則二面角C1－PQ－A的余弦值是________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案?。? 解析　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 則P(2,1,0)，Q(1,2,0)，C1(2,2,2)． 設(shè)平面C1PQ的法向量為n＝(a，b，c)． 因?yàn)椋?－1,1,0)，＝(0,1,2)， 又n＝n＝0， 所以令c＝－1，則a＝b＝2， 所以n＝(2,2，－1)． 因?yàn)閗＝(0,0,2)為平面APQ的一個(gè)法向量， 所以cos〈n，k〉＝－. 因?yàn)槎娼菫殁g角，所以所求余弦值為－. 12．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為a，則AC1與側(cè)面ABB1A1所成角的大小為________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　30 解析　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AA1所在直線為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz， 則A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1， ＝(0，a,0)，＝(0,0，a)， ＝. 設(shè)側(cè)面ABB1A1的法向量為n＝(x，y，z)， ∴n＝0且n＝0.∴ ∴y＝z＝0.故n＝(x,0,0)． ∴cos〈，n〉＝＝－， ∴|cos〈，n〉|＝. 又直線與平面所成的角在[0，90]范圍內(nèi)， ∴AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30. 三、解答題 13.如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)． (1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值； (2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值． 考點(diǎn)　向量法求直線與平面所成的角 題點(diǎn)　向量法求直線與平面所成的角 解　如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{，，}為基底，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 因?yàn)锳B＝AA1＝2，所以A(0，－1，0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)． (1)因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn)，所以P， 從而＝，＝(0,2,2)， 故|cos〈，〉|＝＝＝. 因此，異面直線BP與AC1所成角的余弦值為. (2)因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，所以Q， 因此＝，＝(0,2,2)，＝(0,0,2)． 設(shè)n＝(x，y，z)為平面AQC1的一個(gè)法向量， 則即 不妨取n＝(，－1,1)． 設(shè)直線CC1與平面AQC1所成的角為θ， 則sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝. 所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為. 14.如圖，在四棱錐E－ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB＝4，BC＝CD＝EA＝ED＝2. (1)證明：BD⊥平面AED； (2)求平面ADE和平面CDE所成角(銳角)的余弦值． 考點(diǎn)　向量法求平面與平面所成的角 題點(diǎn)　向量法求平面與平面所成的角 (1)證明　因?yàn)锽C⊥CD，BC＝CD＝2，所以BD＝2. 又因?yàn)镋A⊥ED，EA＝ED＝2，所以AD＝2. 又因?yàn)锳B＝4，由勾股定理知BD⊥AD. 又因?yàn)槠矫鍱AD⊥平面ABCD， 平面EAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD， 所以BD⊥平面AED. (2)解　如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OE，則OE⊥AD. 因?yàn)槠矫鍱AD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD， 所以O(shè)E⊥平面ABCD. 取AB的中點(diǎn)F，連接OF，則OF∥BD. 因?yàn)锽D⊥AD，所以O(shè)F⊥AD. 以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz， 則D(－，0,0)，C(－2，，0)，E(0,0，)，＝(－，，0)，＝(，0，)． 設(shè)平面CDE的法向量為n1＝(x，y，z)， 則所以 令x＝1，可得平面CDE的一個(gè)法向量n1＝(1,1，－1)． 又平面ADE的一個(gè)法向量為n2＝(0,1,0)． 因此|cos〈n1，n2〉|＝＝. 所以平面ADE和平面CDE所成角(銳角)的余弦值為. 15.如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90，BC＝CD＝AD，E為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90. (1)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PBE，并說(shuō)明理由； (2)若二面角P－CD－A的大小為45，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　(1)在梯形ABCD中，AB與CD不平行． 延長(zhǎng)AB，DC，相交于點(diǎn)M(M∈平面PAB)，點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn)．理由如下： 由已知得，BC∥ED，且BC＝ED. 所以四邊形BCDE是平行四邊形． 從而CM∥EB.又EB?平面PBE，CM?平面PBE， 所以CM∥平面PBE. (2)由已知得，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD， 所以CD⊥平面PAD. 又PD?平面PAD，所以CD⊥PD. 從而∠PDA是二面角P－CD－A的平面角． 所以∠PDA＝45. 由PA⊥AB，PA⊥CD，AB∩CD＝M，AB，CD?平面ABCD，可得PA⊥平面ABCD. 設(shè)BC＝1，則在Rt△PAD中，PA＝AD＝2. 作Ay⊥AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz， 則A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)， 所以＝(1,0，－2)，＝(1,1,0)，＝(0,0,2)， 設(shè)平面PCE的法向量為n＝(x，y，z)， 由得 取x＝2，得n＝(2，－2,1)．設(shè)直線PA與平面PCE所成角為α， 則sinα＝＝＝. 所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.