2019高考數(shù)學三輪沖刺 大題提分 大題精做10 圓錐曲線:定點、定值問題 理.docx
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大題精做10 圓錐曲線:定點、定值問題 [2019甘肅聯(lián)考]已知橢圓的右焦點為,上頂點為,直線的斜率為, 且原點到直線的距離為. (1)求橢圓的標準方程; (2)若不經(jīng)過點的直線與橢圓交于,兩點,且與圓相切. 試探究的周長是否為定值,若是,求出定值;若不是,請說明理由. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)由題可知,,,則, 直線的方程為,即,所以, 解得,, 又,所以橢圓的標準方程為. (2)因為直線與圓相切, 所以,即. 設,,聯(lián)立,得, 所以, ,, 所以. 又,所以. 因為,同理. 所以, 所以的周長是, 則的周長為定值. 1.[2019安慶期末]已知橢圓過點,焦距長,過點的直線交橢圓于,兩點. (1)求橢圓的方程; (2)已知點,求證:為定值. 2.[2019東莞期末]已知橢圓的中心在坐標原點,左右焦點分別為和,且橢圓經(jīng)過點. (1)求橢圓的標準方程; (2)過橢圓的右頂點作兩條相互垂直的直線,,分別與橢圓交于點,(均異于點), 求證:直線過定點,并求出該定點的坐標. 3.[2019漳州一模]已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在軸上,且橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合,離心率為. (1)求橢圓的標準方程; (2)過橢圓的右焦點且斜率存在的直線交橢圓于,兩點,線段的垂直平分線交軸于點,證明:為定值. 1.【答案】(1);(2). 【解析】(1)由條件焦距為,知,從而將代入方程, 可得,,故橢圓方程為. (2)當直線的斜率不為0時,設直線交橢圓于,, 由,可得, ,,,, , 化簡得, 當直線斜率為0時,,,, 即證為定值,且為. 2.【答案】(1);(2)見解析. 【解析】(1)設橢圓的標準方程為, ,, ∴,∴,∴, 所以橢圓的標準方程為. (2)①直線斜率存在,設直線,,, 聯(lián)立方程,消去得, ,, ,又, 由,得, 即,∴, ∴, ∴.解得,,且均滿足, 當時,直線的方程為,直線過定點,與已知矛盾; 當時,直線的方程為,直線過定點. ②由橢圓的對稱性所得,當直線,的傾斜角分別為,,易得直線, ,直線,分別與橢圓交于點,, 此時直線斜率不存在,也過定點, 綜上所述,直線恒過定點. 3.【答案】(1);(2)詳見解析. 【解析】解法一:(1)設橢圓的標準方程為, 由拋物線的焦點為,得,① 又,② 由①②及,解得, 所以橢圓的標準方程為. (2)依題意設直線的方程為, 設點,,當時,聯(lián)立方程, 得,, 所以,,的中點坐標為, 的垂直平分線為, 令,得,, 又,所以, 當時,點與原點重合,則,,所以; 綜上所述,為定值. 解法二: (1)同解法一. (2)依題意,當直線的斜率不為0時,設直線的方程為, 設點,,聯(lián)立方程,得, 所以, ,, , , 所以的中點坐標為, 的垂直平分線為, 令,得,所以,所以; 當直線的斜率為0時,點與原點重合,則,,所以; 綜上所述,為定值.- 配套講稿:
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