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專(zhuān)題5.2 中心天體質(zhì)量和密度的測(cè)量 一．選擇題 1．（2019廣東惠州調(diào)研）科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一顆距離地球14光年的“另一個(gè)地球”沃爾夫，它是迄今為止在太陽(yáng)系外發(fā)現(xiàn)的距離最近的宜居星球。沃爾夫的質(zhì)量為地球的4倍，它圍繞紅矮星運(yùn)行的周期為18天。設(shè)想從地球發(fā)射一顆科學(xué)探測(cè)衛(wèi)星圍繞沃爾夫表面運(yùn)行。已知萬(wàn)有引力常量為G，天體的環(huán)繞運(yùn)動(dòng)可看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。則下列說(shuō)法正確的是 A．從地球發(fā)射該探測(cè)衛(wèi)星的速度應(yīng)該小于第三宇宙速度 B．根據(jù)沃爾夫圍繞紅矮星運(yùn)行的運(yùn)動(dòng)周期可求出紅矮星的密度 C．若已知圍繞沃爾夫表面運(yùn)行的探測(cè)衛(wèi)星的周期和地球的質(zhì)量，可近似求沃爾夫半徑 D．沃爾夫繞紅矮星公轉(zhuǎn)和地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道半徑的三次方之比等于 【參考答案】 C 【命題意圖】本題考查萬(wàn)有引力定律、宇宙速度及其相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。 【知識(shí)辨析】第一宇宙速度7.9km/s，是從地面發(fā)射衛(wèi)星所需要的最小速度，由于衛(wèi)星圍繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度與軌道半徑有關(guān)，軌道半徑越大，其線速度越小，所以7.9km/s也是衛(wèi)星環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度；第二宇宙速度11.2km/s是人造天體脫離地球引力束縛所需的最小速度；第三宇宙速度16.7km/s是從地球起飛脫離太陽(yáng)系的最低的飛行速度衛(wèi)星。凡是在地面上發(fā)射圍繞地球運(yùn)動(dòng)的航天器，其發(fā)射速度一定大于7.9km/s，小于11.2km/s；發(fā)射脫離地球引力范圍，但是還在太陽(yáng)系里運(yùn)行的航天器其發(fā)射速度必須大于11.2km/s，小于16.7km/s；凡是發(fā)射脫離太陽(yáng)引力范圍的航天器，其發(fā)射速度一定大于16.7km/s。 2.（2018高考全國(guó)II）2018年2月，我國(guó)500 m口徑射電望遠(yuǎn)鏡（天眼）發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318+0253”，其自轉(zhuǎn)周期T=5.19 ms，假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬(wàn)有引力常量為。以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為 A． B． C． D． 【參考答案】C 【名師解析】根據(jù)及得，代入數(shù)據(jù)得 3．(2018邢臺(tái)模擬)為研究太陽(yáng)系內(nèi)行星的運(yùn)動(dòng)，需要知道太陽(yáng)的質(zhì)量，已知地球半徑為R，地球質(zhì)量為m，太陽(yáng)與地球中心間距為r，地球表面的重力加速度為g，地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的周期為T(mén)。則太陽(yáng)的質(zhì)量為(　　) A. B. C. D. 【參考答案】D 4（2016湖南十三校聯(lián)考）為了測(cè)量某行星的質(zhì)量和半徑，宇航員記錄了登陸艙在該行星表面做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T，登陸艙在行星表面著陸后，用彈簧稱(chēng)稱(chēng)量一個(gè)質(zhì)量為m的砝碼讀數(shù)為N。已知引力常量為G。則下列計(jì)算中錯(cuò)誤的是： A．該行星的質(zhì)量為 B．該行星的半徑為 C．該行星的密度為 D．在該行星的第一宇宙速度為 【參考答案】B 【命題立意】本題旨在考查萬(wàn)有引力作用與衛(wèi)星的圓周運(yùn)動(dòng) 【舉一反三】在這顆行星表面以v上拋一物體，經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間落地？ 5．(2016河北百校聯(lián)考)嫦娥五號(hào)探測(cè)器由軌道器、返回器、著陸器等多個(gè)部分組成。探測(cè)器預(yù)計(jì)在2017年由長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭在中國(guó)文昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，自動(dòng)完成月面樣品采集，并從月球起飛，返回地球，帶回約2 kg月球樣品。某同上得到一些信息，如表格中的數(shù)據(jù)所示，請(qǐng)根據(jù)題意，判斷地球和月球的密度之比為(　　) 月球半徑 R0 月球表面處的重力加速度 g0 地球和月球的半徑之比 ＝4 地球表面和月球表面的重力加速度之比 ＝6 A. B. C．4 D．6 【參考答案】B 【名師解析】利用題給信息，對(duì)地球，有G＝mg，得M＝，又V＝πR3，得地球的密度ρ＝＝；對(duì)月球，有G＝mg0，得M0＝，又V0＝πR，得月球的密度ρ0＝＝，則地球的密度與月球的密度之比＝，故B正確。 6．(2016河南鄭州高三月考)中國(guó)首臺(tái)探月車(chē)“玉兔號(hào)”的成功探月，激發(fā)起無(wú)數(shù)中國(guó)人對(duì)月球的熱愛(ài)。根據(jù)報(bào)道：月球表面的重力加速度為地球表面的，月球半徑為地球的，則根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析可得(　　) A．繞月球表面飛行的衛(wèi)星與繞地球表面飛行的衛(wèi)星的周期之比為3∶2 B．繞月球表面飛行的衛(wèi)星與繞地球表面飛行的衛(wèi)星的向心加速度之比為1∶6 C．月球與地球的質(zhì)量之比為1∶96 D．月球與地球的密度之比為2∶3 【參考答案】BCD 7（2016湖南十三校聯(lián)考）為了測(cè)量某行星的質(zhì)量和半徑，宇航員記錄了登陸艙在該行星表面做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T，登陸艙在行星表面著陸后，用彈簧稱(chēng)稱(chēng)量一個(gè)質(zhì)量為m的砝碼讀數(shù)為N。已知引力常量為G。則下列計(jì)算中錯(cuò)誤的是： A．該行星的質(zhì)量為 B．該行星的半徑為 C．該行星的密度為 D．在該行星的第一宇宙速度為 【參考答案】B 【命題立意】本題旨在考查萬(wàn)有引力作用與衛(wèi)星的圓周運(yùn)動(dòng) 【名師解析】用彈簧稱(chēng)稱(chēng)量一個(gè)質(zhì)量為m的砝碼讀數(shù)為N， , 登陸艙在該行星表面做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T，,,解上二式得， , ;行星的密度 ; 該行星的第一宇宙速度為 【舉一反三】在這顆行星表面以v上拋一物體，經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間落地？ 8．(2016河南鄭州高三月考)中國(guó)首臺(tái)探月車(chē)“玉兔號(hào)”的成功探月，激發(fā)起無(wú)數(shù)中國(guó)人對(duì)月球的熱愛(ài)。根據(jù)報(bào)道：月球表面的重力加速度為地球表面的，月球半徑為地球的，則根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析可得(　　) A．繞月球表面飛行的衛(wèi)星與繞地球表面飛行的衛(wèi)星的周期之比為3∶2 B．繞月球表面飛行的衛(wèi)星與繞地球表面飛行的衛(wèi)星的向心加速度之比為1∶6 C．月球與地球的質(zhì)量之比為1∶96 D．月球與地球的密度之比為2∶3 【參考答案】BCD 9．（2015江蘇）過(guò)去幾千年來(lái)，人類(lèi)對(duì)行星的認(rèn)識(shí)與研究?jī)H限于太陽(yáng)系內(nèi)，行星“51 peg b”的發(fā)現(xiàn)拉開(kāi)了研究太陽(yáng)系外行星的序幕?！?1 peg b”繞其中心恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)半徑為，該中心恒星與太陽(yáng)的質(zhì)量比約為（ ） （A）． （B）．1 （C）．5 （D）．10 【參考答案】B 【名師解析】由G =mr 解得 = ，由此可得該中心恒星與太陽(yáng)的質(zhì)量比約為 = = =1，選項(xiàng)B正確。 10、（2016洛陽(yáng)聯(lián)考）采用不同的方法來(lái)估算銀河系的質(zhì)量，會(huì)得出不同的結(jié)果。例如按照目側(cè)估算，在離恨河系中心距離R=3109R0的范圍內(nèi)聚集的質(zhì)量M=1.51011M0，其中R0是地球軌道半徑，M0是太陽(yáng)質(zhì)量。假設(shè)銀河系的質(zhì)量聚集在中心，如果觀測(cè)到離銀河系中心距離R處的一顆恒星的周期為T(mén)=3. 75108年，那么銀河系中半徑為R的球體內(nèi)部未被發(fā)現(xiàn)的天體的質(zhì)量約為( ) A、4.01010 M0 B、1.91011M0 C、4.01011 M0 D、5.51011 M0 【參考答案】A 【名師解析】地球圍繞太陽(yáng)圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力定律，G =mR0()2，即M0= ；恒星圍繞銀河系中心運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力定律，G =mR()2，即M’== = M0=1.921011 M0，銀河系中半徑為R的球體內(nèi)部未被發(fā)現(xiàn)的天體的質(zhì)量約為 1.921011 M0-1.51011 M0=0.421011 M0。選項(xiàng)A正確。 11. 最近美國(guó)宇航局公布了開(kāi)普勒探測(cè)器最新發(fā)現(xiàn)的一個(gè)奇特的行星系統(tǒng)，命名為“開(kāi)普勒-11行星系統(tǒng)”，該系統(tǒng)擁有6顆由巖石和氣體構(gòu)成的行星圍繞一顆叫做“kepler-11”的類(lèi)太陽(yáng)恒星運(yùn)行。經(jīng)觀測(cè)，其中被稱(chēng)為“kepler-11b”的行星與“kepler-11”之間的距離是地日距離的，“kepler-11”的質(zhì)量是太陽(yáng)質(zhì)量的倍，則“kepler-11b”的公轉(zhuǎn)周期和地球公轉(zhuǎn)周期的比值是：（ ）　 A． B． C． D． 【參考答案】C 12. （2016海南）通過(guò)觀察冥王星的衛(wèi)星，可以推算出冥王星的質(zhì)量。假設(shè)衛(wèi)星繞冥王星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，除了引力常量外，至少還需要兩個(gè)物理量才能計(jì)算出冥王星的質(zhì)量。這兩個(gè)物理量可以是 A.衛(wèi)星的速度和角速度 B.衛(wèi)星的質(zhì)量和軌道半徑 C.衛(wèi)星的質(zhì)量和角速度 D.衛(wèi)星的運(yùn)行周期和軌道半徑 【參考答案】AD 【名師解析】衛(wèi)星繞冥王星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，由G=m，G=mrω2，聯(lián)立消去r，可得冥王星的質(zhì)量M=，選項(xiàng)A正確。由G=mr()2，解得M=，選項(xiàng)D正確。 測(cè)出衛(wèi)星的質(zhì)量和軌道半徑或測(cè)出衛(wèi)星的質(zhì)量和角速度，不能計(jì)算出冥王星的質(zhì)量，選項(xiàng)BC錯(cuò)誤。 13．(2016武漢漢陽(yáng)一中模擬)據(jù)每日郵報(bào)2014年4月18日?qǐng)?bào)道，美國(guó)國(guó)家航空航天局（NASA）目前宣布首次在太陽(yáng)系外發(fā)現(xiàn)“類(lèi)地”行星Kepler-186f。假如宇航員乘坐宇宙飛船到達(dá)該行星，進(jìn)行科學(xué)觀測(cè)：該行星自轉(zhuǎn)周期為T(mén);宇航員在該行星“北極”距該行星地面附近h處自由釋放—個(gè)小球（引力視為恒力），落地時(shí)間為t1；宇航員在該行星“赤道”距該行星地面附近h處自由釋放—個(gè)小球（引力視為恒力），落地時(shí)間為t2。則行星的半徑R的值 （ ） A． B． C． D. 【參考答案】C 14．(2016河北邯鄲市高三一調(diào))已知某半徑為r0的質(zhì)量分布均勻的天體，測(cè)得它的一個(gè)衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r，衛(wèi)星運(yùn)行的周期為T(mén)。假設(shè)在該天體表面沿豎直方向以初速度v0向上拋出一個(gè)物體，不計(jì)阻力，求它可以到達(dá)的最大高度h是(　　) A. B. C. D. 【參考答案】D 【名師解析】由萬(wàn)有引力提供向心力得：＝，＝mg′，所以g′＝，在該天體表面沿豎直方向以初速度v0向上拋出一個(gè)物體，不計(jì)阻力，物體上升的過(guò)程中的機(jī)械能守恒，mg′h＝mv，它可以到達(dá)的最大高度h＝，D正確。 二．計(jì)算題 1.（2016石家莊一模）由于地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的重力加速度會(huì)隨緯度的變化而有所不同：若地球表面兩極處的重力加速度大小為g0，在赤道處的重力加速度大小為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T(mén)，引力常量為G，地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。求： (1)地球半徑R； (2)地球的平均密度； (3)若地球自轉(zhuǎn)速度加快，當(dāng)赤道上的物體恰好能“飄”起來(lái)時(shí)，求地球自轉(zhuǎn)周期T。 （3）赤道上的物體恰好能飄起來(lái)，物體受到的萬(wàn)有引力恰好提供向心力， 由牛頓第二定律可得： 解得： 2．（15分）（2016四川聯(lián)考）火星（如圖所示）是太陽(yáng)系中與地球最為類(lèi)似的行星，人類(lèi)對(duì)火星生命的研究在今年因“火星表面存在流動(dòng)的液態(tài)水”的發(fā)現(xiàn)而取得了重要進(jìn)展。若火星可視為均勻球體，火星表面的重力加速度為g火星半徑為R，火星自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，萬(wàn)有引力常量為G。求： (1)火星的平均密度ρ。 (2)火星的同步衛(wèi)星距火星表面的高度h。