《2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.4.1 基本不等式的證明學(xué)案 蘇教版必修5.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.4.1 基本不等式的證明學(xué)案 蘇教版必修5.docx（11頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

3.4.1　基本不等式的證明 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解基本不等式的內(nèi)容及證明.2.能熟練運(yùn)用基本不等式來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.3.能初步運(yùn)用基本不等式證明簡單的不等式． 知識點(diǎn)一　算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 思考　如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)Q是AB上任一點(diǎn)，AQ＝a，BQ＝b，過點(diǎn)Q作PQ垂直于AB且交圓O于點(diǎn)P，連結(jié)AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的長度？ 答案　PO＝＝.易證Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么PQ2＝AQQB，即PQ＝. 梳理　一般地，對于正數(shù)a，b，為a，b的算術(shù)平均數(shù)，為a，b的幾何平均數(shù)．兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即≤. 知識點(diǎn)二　基本不等式及其常見推論 ≤(a≥0，b≥0)．當(dāng)對正數(shù)a，b賦予不同的值時(shí)，可得以下推論： (1)ab≤2≤(a，b∈R)； (2)＋≥2(a，b同號)； (3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 1．對于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．() 2.≥.(√) 3．若a>0，b>0，則ab≤恒成立．() 類型一　常見推論的證明 例1　證明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． 考點(diǎn)　基本不等式的理解 題點(diǎn)　基本不等式的理解 證明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， ∴a2＋b2≥2ab. 引申探究 證明不等式2≤(a，b∈R)． 證明　由例1，得a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab， 兩邊同除以4，即得2≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取等號． 反思與感悟　作差法與不等式性質(zhì)是證明中常用的方法． 跟蹤訓(xùn)練1　已知a，b，c為任意的實(shí)數(shù)，求證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 考點(diǎn)　基本不等式的理解 題點(diǎn)　基本不等式的理解 證明　∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號成立． 類型二　用基本不等式證明不等式 例2　已知x，y都是正數(shù)． 求證：(1)＋≥2； (2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 考點(diǎn)　基本不等式證明不等式 題點(diǎn)　運(yùn)用基本不等式證明不等式 證明　(1)∵x，y都是正數(shù)， ∴>0，>0， ∴＋≥2＝2，即＋≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，等號成立． (2)∵x，y都是正數(shù)， ∴x＋y≥2>0， x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0. ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3) ≥222＝8x3y3， 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，等號成立． 反思與感悟　利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項(xiàng)： (1)策略：從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事項(xiàng)：①多次使用基本不等式時(shí)，要注意等號能否成立；②累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時(shí)注意使用；③對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用． 跟蹤訓(xùn)練2　已知a，b，c都是正實(shí)數(shù)，求證：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc. 考點(diǎn)　基本不等式證明不等式 題點(diǎn)　運(yùn)用基本不等式證明不等式 證明　∵a，b，c都是正實(shí)數(shù)， ∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0. ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥222＝8abc. 即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號成立． 類型三　用基本不等式比較大小 例3　某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，第一年產(chǎn)量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x(a，b，x均大于零)，則x與的大小關(guān)系為________． 考點(diǎn)　基本不等式比較大小 題點(diǎn)　利用基本不等式比較大小 答案　x≤ 解析　第二年產(chǎn)量為A＋Aa＝A(1＋a)， 第三年產(chǎn)量為A(1＋a)＋A(1＋a)b＝A(1＋a)(1＋b)． 若平均增長率為x，則第三年產(chǎn)量為A(1＋x)2. 依題意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∵a＞0，b＞0，x＞0， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2， ∴1＋x≤＝1＋，∴x≤(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立)． 反思與感悟　基本不等式≥一端為和，一端為積，使用基本不等式比較大小要擅于利用這個(gè)橋梁化和為積或者化積為和． 跟蹤訓(xùn)練3　設(shè)a＞b＞1，P＝，Q＝， R＝lg，則P，Q，R的大小關(guān)系是____________． 考點(diǎn)　基本不等式比較大小 題點(diǎn)　利用基本不等式比較大小 答案　P0， ∴l(xiāng)g＞lg＝(lga＋lgb)，即R＞Q.② 綜合①②，有Pa＋b，∴b>. ∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a. ∵b>a>0，∴>.故b>>>a. 2．下列各式中，對任何實(shí)數(shù)x都成立的一個(gè)式子是______． ①lg(x2＋1)≥lg(2x); ②x2＋1>2x； ③≤1; ④x＋≥2. 考點(diǎn)　基本不等式的理解 題點(diǎn)　基本不等式的理解 答案?、? 解析　對于①，當(dāng)x≤0時(shí)，無意義，故①不恒成立；對于②，當(dāng)x＝1時(shí)，x2＋1＝2x，故②不成立；對于④，當(dāng)x<0時(shí)，不成立；對于③，x2＋1≥1，∴≤1成立． 3．四個(gè)不相等的正數(shù)a，b，c，d成等差數(shù)列，則與中的較小者為______． 考點(diǎn)　基本不等式的理解 題點(diǎn)　基本不等式的理解 答案　 解析　因?yàn)閍，b，c，d成等差數(shù)列，則a＋d＝b＋c，又因?yàn)閍，b，c，d均大于0且不相等，所以b＋c>2，故>. 4．lg9lg11與1的大小關(guān)系是______________． 考點(diǎn)　基本不等式比較大小 題點(diǎn)　利用基本不等式比較大小 答案　lg9lg11<1 解析　∵lg9>0，lg11>0， ∴l(xiāng)g9lg11≤2＝2 ＝2<2＝1， 即lg9lg11<1. 5．設(shè)a>0，b>0，給出下列不等式： ①a2＋1>a；②≥4； ③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a. 其中恒成立的是________．(填序號) 考點(diǎn)　基本不等式的理解 題點(diǎn)　基本不等式的理解 答案?、佗冖? 解析　由于a2＋1－a＝2＋>0，故①恒成立； 由于a＋≥2，b＋≥2， ∴≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)，等號成立，故②恒成立； 由于a＋b≥2，＋≥2， 故(a＋b)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立，故③恒成立； 當(dāng)a＝3時(shí)，a2＋9＝6a，故④不恒成立． 綜上，恒成立的是①②③. 1．兩個(gè)不等式a2＋b2≥2ab與≥都是帶有等號的不等式，對于“當(dāng)且僅當(dāng)…時(shí)，取等號”這句話的含義要有正確的理解．一方面：當(dāng)a＝b時(shí)，＝；另一方面：當(dāng)＝時(shí)，也有a＝b. 2.在利用基本不等式證明的過程中，常需要把數(shù)、式合理地拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)或把恒等式變形配湊成適當(dāng)?shù)臄?shù)、式，以便于利用基本不等式． 一、填空題 1．a(chǎn)，b∈R，則a2＋b2與2|ab|的大小關(guān)系是____________． 考點(diǎn)　基本不等式的理解 題點(diǎn)　基本不等式的理解 答案　a2＋b2≥2|ab| 解析　∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(當(dāng)且僅當(dāng)|a|＝|b|時(shí)，等號成立)． 2．若a，b∈R且ab>0，則下列不等式中恒成立的是______． ①a2＋b2>2ab; ②a＋b≥2； ③＋>；④＋≥2. 考點(diǎn)　基本不等式的理解 題點(diǎn)　基本不等式的理解 答案?、? 解析　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴①錯誤； 對于②，③，當(dāng)a<0，b<0時(shí)，顯然錯誤； 對于④，∵ab>0，∴＋≥2＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立． 3．若x>0，y>0且x＋y＝4，則＋的最小值為______． 考點(diǎn)　基本不等式比較大小 題點(diǎn)　利用基本不等式比較大小 答案　1 解析　若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1， ∴＋＝(x＋y) ＝≥(2＋2)＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時(shí)，等號成立． 4．如果正數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝cd＝4，那么ab________c＋d.(填≥，≤) 考點(diǎn)　基本不等式的理解 題點(diǎn)　基本不等式的理解 答案　≤ 解析　因?yàn)閍＋b＝cd＝4，所以由基本不等式得a＋b≥2，故ab≤4.又因?yàn)閏d≤，所以c＋d≥4，所以ab≤c＋d，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝d＝2時(shí)，等號成立． 5．設(shè)f(x)＝lnx,0. 又因?yàn)閒(x)＝ln x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以f>f()，即p1,01,00. ∴－logab－logba＝－logab－ ≥2＝2. ∴l(xiāng)ogab＋logba≤－2. 當(dāng)且僅當(dāng)logab＝logba，即ab＝1時(shí)，取等號． ∴l(xiāng)ogab＋logba∈(－∞，－2]． 7．設(shè)正數(shù)a，使a2＋a－2＞0成立，若t＞0，則logat________loga.(填“＞”“≥”“≤”或“＜”) 考點(diǎn)　基本不等式比較大小 題點(diǎn)　利用基本不等式比較大小 答案　≤ 解析　∵a2＋a－2＞0，∴a＞1或a＜－2(舍)， ∴y＝logax是增函數(shù)， 又≥，∴l(xiāng)oga≥loga＝logat. 8．設(shè)a，b為非零實(shí)數(shù)，給出不等式： ①≥ab；②≥2；③≥； ④＋≥2.其中恒成立的不等式是________． 考點(diǎn)　基本不等式的理解 題點(diǎn)　基本不等式的理解 答案　①② 解析　由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正確；＝＝≥＝＝2，可知②正確；當(dāng)a＝b＝－1時(shí)，不等式的左邊為＝－1，右邊為＝－，可知③不正確；當(dāng)a＝1，b＝－1時(shí)，可知④不正確． 9．已知a＞b＞c，則與的大小關(guān)系是______________________________． 考點(diǎn)　基本不等式比較大小 題點(diǎn)　利用基本不等式比較大小 答案　≤ 解析　因?yàn)閍＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0， 所以＝≥，當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝b－c時(shí)，等號成立． 10．設(shè)a＞1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，則m，n，p的大小關(guān)系是________．(用“＞”連接) 考點(diǎn)　基本不等式比較大小 題點(diǎn)　利用基本不等式比較大小 答案　m＞p＞n 解析　∵a＞1，∴a2＋1＞2a＞a＋1， ∴l(xiāng)oga(a2＋1)＞loga(2a)＞loga(a＋1)，故m＞p＞n. 二、解答題 11．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：＋＋≥a＋b＋c. 考點(diǎn)　基本不等式證明不等式 題點(diǎn)　運(yùn)用基本不等式證明不等式 證明　∵a，b，c都是正數(shù)， ∴，，也都是正數(shù)， ∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b， 三式相加得2≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號成立． 12．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證： (1)＋＋≥8；(2)≥9. 考點(diǎn)　基本不等式證明不等式 題點(diǎn)　運(yùn)用基本不等式證明不等式 證明　(1)＋＋＝＋＋＝2， ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋＋≥8(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，等號成立)． (2)方法一　∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＋＝1＋＝2＋， 同理，1＋＝2＋， ∴＝ ＝5＋2≥5＋4＝9， ∴≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，等號成立)． 方法二?。?＋＋＋. 由(1)知，＋＋≥8， 故＝1＋＋＋≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，等號成立． 13．已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1. 求證：≥8. 考點(diǎn)　基本不等式證明不等式 題點(diǎn)　運(yùn)用基本不等式證明不等式 證明　∵a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1， ∴－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 由于上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘得 ≥＝8. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)，等號成立． 三、探究與拓展 14．若實(shí)數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為______． 考點(diǎn)　基本不等式求最值 題點(diǎn)　利用基本不等式求最值 答案　2 解析　由已知得＋＝＝，且a>0，b>0， ∴ab＝b＋2a≥2，∴ab≥2. 當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a＝2時(shí)，等號成立． 15．設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)，且xy－(x＋y)＝1，則x＋y的最小值為____________． 考點(diǎn)　基本不等式求最值 題點(diǎn)　利用基本不等式求最值 答案　2(＋1) 解析　∵x，y為正實(shí)數(shù)，且xy－(x＋y)＝1，xy≤2，∴2－(x＋y)－1≥0，解得x＋y≥2(＋1)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1＋時(shí)取等號．