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培優(yōu)點十四 外接球 1．正棱柱，長方體的外接球球心是其中心 例1：已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為，體積為，則這個球的表面積是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，，，故選C． 2．補形法（補成長方體） 例2：若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是 ． 【答案】 【解析】，． 3．依據(jù)垂直關(guān)系找球心 例3：已知三棱錐的四個頂點均在同一個球面上，底面滿足，，若該三棱錐體積的最大值為3，則其外接球的體積為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因為是等腰直角三角形，所以外接球的半徑是，設(shè)外接球的半徑是，球心到該底面的距離，如圖，則，，由題設(shè)， 最大體積對應的高為，故，即，解之得， 所以外接球的體積是，故答案為D． 對點增分集訓 一、單選題 1．棱長分別為2、、的長方體的外接球的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)長方體的外接球半徑為，由題意可知：，則：，該長方體的外接球的表面積為．本題選擇B選項． 2．設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（ ） A．12π B．28π C．44π D．60π 【答案】B 【解析】設(shè)底面三角形的外接圓半徑為，由正弦定理可得：，則， 設(shè)外接球半徑為，結(jié)合三棱柱的特征可知外接球半徑， 外接球的表面積．本題選擇B選項． 3．把邊長為3的正方形沿對角線對折，使得平面平面，則三棱錐的外接 球的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把邊長為3的正方形沿對角線對折，使得平面平面， 則三棱錐的外接球直徑為，外接球的表面積為，故選C． 4．某幾何體是由兩個同底面的三棱錐組成，其三視圖如下圖所示，則該幾何體外接球的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題可知，該幾何體是由同底面不同棱的兩個三棱錐構(gòu)成，其中底面是棱長為的正三角形，一個是三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為的正三棱錐，另一個是棱長為的正四面體，如圖所示： 該幾何體的外接球與棱長為a的正方體的外接球相同，因此外接球的直徑即為正方體的體對角線，所以，所以該幾何體外接球面積，故選C． 5．三棱錐的所有頂點都在球的表面上，平面，，，則球的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因為，，所以，， 因此三角形外接圓半徑為， 設(shè)外接球半徑為，則，，故選D． 6．如圖是邊長為1的正方體，是高為1的正四棱錐，若點，，，，在同一個球面上，則該球的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如圖所示，連結(jié)，，交點為，連結(jié)， 易知球心在直線上，設(shè)球的半徑，在中，由勾股定理有：，即：，解得：，則該球的表面積．本題選擇D選項． 7．已知球的半徑為，，，三點在球的球面上，球心到平面的距離為，，，則球的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由余弦定理得：， 設(shè)三角外接圓半徑為，由正弦定理可得：，則， 又，解得：，則球的表面積．本題選擇D選項． 8．已知正四棱錐(底面四邊形是正方形，頂點P在底面的射影是底面的中心)的各頂點都在同一球面上，底面正方形的邊長為，若該正四棱錐的體積為，則此球的體積為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如圖，設(shè)正方形的中點為，正四棱錐的外接球心為， 底面正方形的邊長為，， 正四棱錐的體積為，， 則，， 在中由勾股定理可得：，解得，，故選C． 9．如圖，在中，，，點為的中點，將沿折起到的位置，使，連接，得到三棱錐．若該三棱錐的所有頂點都在同一球面上， 則該球的表面積是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意得該三棱錐的面是邊長為的正三角形，且平面， 設(shè)三棱錐外接球的球心為， 外接圓的圓心為，則面，∴四邊形為直角梯形， 由，，及，得，∴外接球半徑為， ∴該球的表面積．故選A． 10．四面體中，，，，則此四面體外接球的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由題意，中，，，可知是等邊三角形，， ∴的外接圓半徑，， ∵，可得，可得，∴，∴， ∴四面體高為． 設(shè)外接球，為球心，，可得：……①， ……② 由①②解得：．四面體外接球的表面積：．故選A． 11．將邊長為2的正沿著高折起，使，若折起后四點都在球的表面上，則球的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】中，，，， 底面三角形的底面外接圓圓心為，半徑為，由余弦定理得到，再由正弦定理得到， 見圖示： 是球的弦，，將底面的圓心平行于豎直向上提起，提起到的高度的一半，即為球心的位置，∴，在直角三角形中，應用勾股定理得到，即為球的半徑． ∴球的半徑．該球的表面積為；故選B． 12．在三棱錐中，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分別取，的中點，，連接相應的線段，，， 由條件，，，可知，與，都是等腰三角形， 平面，∴，同理，∴是與的公垂線， 球心在上，推導出，可以證明為中點， ，，， ∴，球半徑，∴外接球的表面積為． 故選D． 二、填空題 13．棱長均為6的直三棱柱的外接球的表面積是_________． 【答案】 【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圓半徑為， 則外接球的半徑， 則外接球的表面積為． 14．已知棱長都相等正四棱錐的側(cè)面積為，則該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為________． 【答案】 【解析】設(shè)正四棱錐的棱長為，則，解得． 于是該正四棱錐內(nèi)切球的大圓是如圖的內(nèi)切圓， 其中，．∴． 設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，由，得，即， 解得， ∴內(nèi)切球的表面積為． 15．已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為，，，，則此球的表面積等于______． 【答案】 【解析】∵三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，棱柱的體積為，，，，，， ，， 設(shè)外接圓的半徑為，則，， ∴外接球的半徑為，∴球的表面積等于．故答案為． 16．在三棱錐中，，，，，則三棱錐外接球的體積的最小值為_____． 【答案】 【解析】如圖所示，三棱錐的外接圓即為長方體的外接圓，外接圓的直徑為長方體的體對角線， 設(shè)，那么，，所以．由題意，體積的最小值即為 最小，，所以當時，的最小值為，所以半徑為， 故體積的最小值為．