2019高考數(shù)學二輪復習 專題五 解析幾何 第二講 橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程與性質(zhì)能力訓練 理.doc
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第二講 橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程與性質(zhì) 一、選擇題 1.(2018廣西南寧模擬)雙曲線-=1的漸近線方程為( ) A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x 解析:在雙曲線 -=1中,a=5,b=2,而其漸近線方程為y=x,∴其漸近線方程為y=x,故選D. 答案:D 2.已知橢圓C的方程為+=1(m>0),如果直線y=x與橢圓的一個交點M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點F,則m的值為( ) A.2 B.2 C.8 D.2 解析:根據(jù)已知條件得c=,則點在橢圓+=1(m>0)上,∴+=1,可得m=2. 答案:B 3.(2018張掖模擬)雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線與圓x2+(y-2)2=1相切,則雙曲線的離心率為( ) A. B. C.2 D.3 解析:雙曲線-=1的漸近線與圓x2+(y-2)2=1相切,則圓心(0,2)到直線bx-ay=0的距離為1,所以=1,即=1,所以雙曲線的離心率e==2,故選C. 答案:C 4.(2017高考全國卷Ⅲ)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1、A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為( ) A. B. C. D. 解析:以線段A1A2為直徑的圓的圓心為坐標原點O(0,0),半徑為a.由題意,圓心到直線bx-ay+2ab=0的距離為=a,即a2=3b2.又e2=1-=,所以e=. 答案:A 5.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的焦距為4,漸近線方程為2xy=0,則雙曲線的方程為( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:易知雙曲線-=1(a>0,b>0)的焦點在x軸上,所以由漸近線方程為2xy=0,得=2,因為雙曲線的焦距為4,所以c=2,結(jié)合c2=a2+b2,可得a=2,b=4,所以雙曲線的方程為-=1,故選A. 答案:A 6.(2018長春模擬)已知O為坐標原點,設F1,F(xiàn)2分別是雙曲線x2-y2=1的左、右焦點,P為雙曲線上任意一點,過點F1作∠F1PF2的平分線的垂線,垂足為H,則|OH|=( ) A.1 B.2 C.4 D. 解析:不妨設P在雙曲線的左支,如圖,延長F1H交PF2于點M,由于PH既是∠F1PF2的平分線又垂直于F1M,故△PF1M為等腰三角形,|PF1|=|PM|且H為F1M的中點,所以OH為△MF1F2的中位線,所以|OH|=|MF2|=(|PF2|-|PM|)=(|PF2|-|PF1|)=1.故選A. 答案:A 7.(2018高考全國卷Ⅲ)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,則點(4,0)到C的漸近線的距離為( ) A. B.2 C. D.2 解析:由題意,得e==,c2=a2+b2,得a2=b2.又因為a>0,b>0,所以a=b,漸近線方程為xy=0,點(4,0)到漸近線的距離為=2, 故選D. 答案:D 8.(2018石家莊一模)已知直線l:y=2x+3被橢圓C:+=1(a>b>0)截得的弦長為7,有下列直線:①y=2x-3;②y=2x+1;③y=-2x-3;④y=-2x+3.其中被橢圓C截得的弦長一定為7的有( ) A.1條 B.2條 C.3條 D.4條 解析:易知直線y=2x-3與直線l關于原點對稱,直線y=-2x-3與直線l關于x軸對稱,直線y=-2x+3與直線l關于y軸對稱,故由橢圓的對稱性可知,有3條直線被橢圓C截得的弦長一定為7.選C. 答案:C 9.(2018洛陽模擬)設雙曲線C:-=1的右焦點為F,過F作雙曲線C的漸近線的垂線,垂足分別為M,N,若d是雙曲線上任意一點P到直線MN的距離,則的值為( ) A. B. C. D.無法確定 解析:雙曲線C:-=1中,a=4,b=3,c=5,右焦點F(5,0),漸近線方程為y=x.不妨設M在直線 y=x上,N在直線y=-x上,則直線MF的斜率為-,其方程為y=-(x-5),設M(t,t),代入直線MF的方程,得t=-(t-5),解得t=,即M(,).由對稱性可得N(,-),所以直線MN的方程為x=.設P(m,n),則d=|m-|,-=1,即n2=(m2-16),則|PF|==|5m-16|.故==,故選B. 答案:B 10.(2018高考全國卷Ⅰ)設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點(-2,0)且斜率為的直線與C交于M,N兩點,則=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:由題意知直線MN的方程為y=(x+2), 聯(lián)立直線與拋物線的方程,得 解得或 不妨設M為(1,2),N為(4,4). 又∵拋物線焦點為F(1,0),∴=(0,2),=(3,4), ∴=03+24=8. 故選D. 答案:D 11.(2018廣西五校聯(lián)考)已知點F1,F(xiàn)2分別是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過F2且垂直于x軸的直線與雙曲線交于M,N兩點,若1>0,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是( ) A.(,+1) B.(1,+1) C.(1,) D.(,+∞) 解析:設F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0), 依題意可得-=1,得到y(tǒng)=, 不妨設M,N, 則11==4c2->0, 得到4a2c2-(c2-a2)2>0, 即a4+c4-6a2c2<0, 故e4-6e2+1<0, 解得3-2<e2<3+2, 又e>1,所以1<e2<3+2, 解得1<e<1+ 答案:B 12.(2018南昌模擬)拋物線y2=8x的焦點為F,設A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線上的兩個動點,若x1+x2+4=|AB|,則∠AFB的最大值為( ) A. B. C. D. 解析:由拋物線的定義可得|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,又x1+x2+4=|AB|, 得|AF|+|BF|=|AB|, 所以|AB|=(|AF|+|BF|). 所以cos∠AFB= = = =-≥2-=-,而0<∠AFB<π, 所以∠AFB的最大值為. 答案:D 二、填空題 13.(2018成都模擬)已知雙曲線-=1(a>0)和拋物線y2=8x有相同的焦點,則雙曲線的離心率為________. 解析:易知拋物線y2=8x的焦點為(2,0),所以雙曲線-=1的一個焦點為(2,0),則a2+2=22,即a=,所以雙曲線的離心率e===. 答案: 14.(2018武漢調(diào)研)雙曲線Γ:-=1(a>0,b>0)的焦距為10,焦點到漸近線的距離為3,則Γ的實軸長等于________. 解析:雙曲線的焦點(0,5)到漸近線y=x,即ax-by=0的距離為==b=3,所以a=4,2a=8. 答案:8 15.(2018唐山模擬)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作直線交拋物線于A,B兩點,若|AF|=2|BF|=6,則p=________. 解析:設AB的方程為x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2,將直線AB的方程代入拋物線方程得y2-2pmy-p2=0,所以y1y2=-p2,4x1x2=p2.設拋物線的準線為l,過A作AC⊥l,垂足為C,過B作BD⊥l,垂足為D,因為|AF|=2|BF|=6,根據(jù)拋物線的定義知,|AF|=|AC|=x1+=6,|BF|=|BD|=x2+=3,所以x1-x2=3,x1+x2=9-p,所以(x1+x2)2-(x1-x2)2=4x1x2=p2,即18p-72=0,解得p=4. 答案:4 16.(2017高考全國卷Ⅰ改編)設A,B是橢圓C:+=1長軸的兩個端點.若C上存在點M滿足∠AMB=120,則m的取值范圍是________. 解析:當0<m<3時,焦點在x軸上, 要使C上存在點M滿足∠AMB=120, 則≥tan 60=,即≥ , 解得0<m≤1. 當m>3時,焦點在y軸上, 要使C上存在點M滿足∠AMB=120, 則≥tan 60=,即≥,解得m≥9. 故m的取值范圍為(0,1]∪[9,+∞). 答案:(0,1]∪[9,+∞) 三、解答題 17.(2018遼寧五校聯(lián)考)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,上頂點為B,若△BF1F2的周長為6,且點F1到直線BF2的距離為b. (1)求橢圓C的方程; (2)設A1,A2是橢圓C長軸的兩個端點,P是橢圓C上不同于A1,A2的任意一點,直線A1P交直線x=m于點M,若以MP為直徑的圓過點A2,求實數(shù)m的值. 解析:(1)由題意得F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),B(0,b), 則2a+2c=6,① 直線BF2的方程為bx+cy-bc=0, 所以=b,即2c=a,② 又a2=b2+c2,③ 所以由①②③可得a=2,b=, 所以橢圓C的方程為+=1. (2)不妨設A1(-2,0),A2(2,0),P(x0,y0), 則直線A1P的方程為y=(x+2), 所以M(m,(m+2)), 又點P在橢圓C上,所以y=3(1-), 若以MP為直徑的圓過點A2,則A2M⊥A2P,=0, 所以(m-2,(m+2))(x0-2,y0)=(m-2)(x0-2)+(m+2)=(m-2)(x0-2)+(m+2)=(x0-2)(m-)=0. 又點P不同于點A1,A2,所以x0≠2, 所以m=14. 18.(2018福州模擬)拋物線C:y=2x2-4x+a與兩坐標軸有三個交點,其中與y軸的交點為P. (1)若點Q(x,y)(1<x<4)在C上,求直線PQ斜率的取值范圍; (2)證明:經(jīng)過這三個交點的圓E過定點. 解析:(1)由題意得P(0,a)(a≠0),Q(x,2x2-4x+a)(1<x<4), 故kPQ==2x-4, 因為1<x<4,所以-2<kPQ<4, 所以直線PQ的斜率的取值范圍為(-2,4). (2)證明:法一:P(0,a)(a≠0). 令2x2-4x+a=0,則Δ=16-8a>0,a<2,且a≠0, 解得x=1, 故拋物線C與x軸交于A(1-,0),B(1+,0)兩點. 故可設圓E的圓心為M(1,t), 由|MP|2=|MA|2,得12+(t-a)2=()2+t2,解得t=+, 則圓E的半徑r=|MP|=. 所以圓E的方程為(x-1)2+(y--)2=1+(-)2, 所以圓E的一般方程為x2+y2-2x-(a+)y+=0, 即x2+y2-2x-y+a(-y)=0. 由得或 故圓E過定點(0,),(2,). 法二:P(0,a)(a≠0),設拋物線C與x軸的兩個交點分別為A(x1,0),B(x2,0),圓E的一般方程為x2+y2+Dx+Fy+G=0,則 因為x1,x2是方程2x2-4x+a=0,即x2-2x+=0的兩根, 所以x-2x1+=0,x-2x2+=0, 所以D=-2,G=, 所以F==-(a+), 所以圓E的一般方程為x2+y2-2x-(a+)y+=0, 即x2+y2-2x-y+a(-y)=0. 由得或 故圓E過定點(0,),(2,). 19.(2018廣州模擬)如圖,在直角坐標系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的上焦點為F1,橢圓C的離心率為,且過點(1,). (1)求橢圓C的方程; (2)設過橢圓C的上頂點A的直線l與橢圓C交于點B(B不在y軸上),垂直于l的直線與l交于點M,與x軸交于點H,若=0,且|MO|=|MA|,求直線l的方程. 解析:(1)因為橢圓C的離心率為,所以=,即a=2c. 又a2=b2+c2,所以b2=3c2,即b2=a2,所以橢圓C的方程為+=1. 把點(1,)代入橢圓C的方程中,解得a2=4. 所以橢圓C的方程為+=1. (2)由(1)知,A(0,2),設直線l的斜率為k(k≠0),則直線l的方程為y=kx+2, 由得(3k2+4)x2+12kx=0. 設B(xB,yB),得xB=, 所以yB=, 所以B(,). 設M(xM,yM),因為|MO|=|MA|,所以點M在線段OA的垂直平分線上, 所以yM=1,因為yM=kxM+2,所以xM=-,即M(-,1). 設H(xH,0),又直線HM垂直于直線l,所以kMH=-,即=-. 所以xH=k-,即H(k-,0). 又F1(0,1),所以=(,),=(k-,-1). 因為=0,所以(k-)-=0, 解得k=. 所以直線l的方程為y=x+2.- 配套講稿:
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