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培優(yōu)點(diǎn)十八 圓錐曲線綜合 1．直線過(guò)定點(diǎn) 例1：已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且． （1）求的方程； （2）若直線是圓上的點(diǎn)處的切線，點(diǎn)是直線上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線，，切點(diǎn)分別為，，設(shè)切線的斜率都存在．求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 【答案】（1）；（2）證明見解析，． 【解析】（1）由已知，設(shè)橢圓的方程為， 因?yàn)?，不妨設(shè)點(diǎn)，代入橢圓方程得， 又因?yàn)椋?，，所以，? 所以的方程為． （2）依題設(shè)，得直線的方程為，即， 設(shè)，，， 由切線的斜率存在，設(shè)其方程為， 聯(lián)立得，， 由相切得， 化簡(jiǎn)得，即， 因?yàn)榉匠讨挥幸唤?，所以，所以切線的方程為， 即，同理，切線的方程為， 又因?yàn)閮汕芯€都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以直線的方程為， 又，所以直線的方程可化為， 即，令，得， 所以直線恒過(guò)定點(diǎn)． 2．面積問(wèn)題 例2：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，焦距為4，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上．斜率為的直線與線段相交于點(diǎn)，與橢圓相交于、兩點(diǎn)． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）求四邊形面積的取值范圍． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由橢圓焦距為4，設(shè)，，連結(jié)，設(shè)， 則，又，得，， ， 解得，，所以橢圓方程為． （2）設(shè)直線方程：，、， 由，得，所以， 由（1）知直線：，代入橢圓得，，得，由直線與線段相交于點(diǎn)，得， ， 而與，知，， 由，得，所以， 四邊形面積的取值范圍． 3．參數(shù)的值與范圍 例3：已知拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)． （1）求拋物線的方程以及的值； （2）記拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，若，，求的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)， ，則，拋物線方程為； 點(diǎn)在拋物線上，． （2）依題意，，設(shè)，設(shè)、， 聯(lián)立方程，消去，得． 所以 ①，且， 又，則，即， 代入①得，消去得， ，則，， 則 ， 當(dāng)，解得，故． 4．弦長(zhǎng)類問(wèn)題 例4：已知橢圓的左右頂點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn)，且橢圓的上頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為． （1）求橢圓的方程； （2）若直線與相交于，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，且，求的取值范圍． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由題意可知：，又橢圓的上頂點(diǎn)為， 雙曲線的漸近線為：， 由點(diǎn)到直線的距離公式有：，∴橢圓方程． （2）易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，代入，消去并整理得： ， 要與相交于兩點(diǎn)，則應(yīng)有：， 設(shè)，， 則有：，． 又． 又：，所以有：， ，② 將，代入，消去并整理得：， 要有兩交點(diǎn)，則．③ 由①②③有． 設(shè)、．有，， ． 將代入有． ，令，， 令，． 所以在內(nèi)恒成立，故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增， 故． 5．存在性問(wèn)題 例5：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）是否存在斜率為2的直線，使得當(dāng)直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，時(shí)，能在直線上找到一點(diǎn)，在橢圓上找到一點(diǎn)，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由． 【答案】（1）；（2）不存在，見解析． 【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則， ∵在橢圓上，∴， ∴，，故橢圓的方程為． （2）假設(shè)這樣的直線存在，設(shè)直線的方程為， 設(shè)，，，，的中點(diǎn)為， 由，消去，得， ∴，且，故且， 由，知四邊形為平行四邊形， 而為線段的中點(diǎn)，因此為線段的中點(diǎn)， ∴，得， 又，可得，∴點(diǎn)不在橢圓上， 故不存在滿足題意的直線． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、解答題 1．已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)并且與圓相外切，動(dòng)圓圓心的軌跡為． （1）求曲線的軌跡方程； （2）過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，設(shè)直線，設(shè)點(diǎn)，直線交于，求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)． 【答案】（1）；（2）見解析． 【解析】（1）由已知，， 軌跡為雙曲線的右支，，，， 曲線標(biāo)準(zhǔn)方程． （2）由對(duì)稱性可知，直線必過(guò)軸的定點(diǎn)， 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，，知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)， 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線，，， 直線，當(dāng)時(shí)，，， 得，，， 下面證明直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即證，即， 即，由，， 整理得，，即 即證經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)． 2．已知點(diǎn)在橢圓上，設(shè)，分別為橢圓的左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)為橢圓在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，直線，分別交軸、軸于，兩點(diǎn)，求四邊形的面積． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，有， 由等面積法，可得原點(diǎn)到直線的距離為， 聯(lián)立兩方程解得，，所以橢圓的方程為． （2）設(shè)點(diǎn)，則，即． 直線，令，得． 從而有，同理，可得． 所以四邊形的面積為 ． 所以四邊形的面積為． 3．已知點(diǎn)為圓的圓心，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在圓的半徑上，且有點(diǎn)和上的點(diǎn)，滿足，． （1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷點(diǎn)的軌跡是什么？并求出其方程； （2）若斜率為的直線與圓相切，與（1）中所求點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn)，， 且（其中是坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍． 【答案】（1）是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)，焦距為2，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，；（2）． 【解析】（1）由題意是線段的垂直平分線， 所以， 所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)，焦距為2，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓， ∴，，， 故點(diǎn)的軌跡方程是． （2）設(shè)直線：，，， 直線與圓相切，得，即， 聯(lián)立，消去得：， ，得， ，， ∴ ， 所以，得， ∴，解得或， 故所求范圍為． 4．已知橢圓的焦距為，離心率為，圓，，是橢圓的左右頂點(diǎn)，是圓的任意一條直徑，面積的最大值為2． （1）求橢圓及圓的方程； （2）若為圓的任意一條切線，與橢圓交于兩點(diǎn)，，求的取值范圍． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）設(shè)點(diǎn)到軸距離為，則，易知當(dāng)線段在軸時(shí)，，， ，，，，， 所以橢圓方程為，圓的方程為． （2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)； 設(shè)直線方程為：，直線為圓的切線，，， 直線與橢圓聯(lián)立，，得， 判別式，由韋達(dá)定理得：， 所以弦長(zhǎng)，令， 所以； 綜上，， 5．如圖，己知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)，且與橢圓交，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）是否存在直線，使得為等腰直角三角形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）；（2）不存在，見解析． 【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)橹本€與軸的交點(diǎn)為，故． 又的周長(zhǎng)為，即，故，所以，． 因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）不存在．理由如下： 先用反證法證明不可能為底邊，即． 由題意知，設(shè)，，假設(shè)，則， 又，，代入上式，消去，得：． 因?yàn)橹本€斜率存在，所以直線不垂直于軸，所以，故． (與，，矛盾） 聯(lián)立方程，得：，所以矛盾． 故． 再證明不可能為等腰直角三角形的直角腰． 假設(shè)為等腰直角三角形，不妨設(shè)為直角頂點(diǎn)． 設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，此方程無(wú)解．故不存在這樣的等腰直角三角形．