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大題精做8 圓錐曲線：定點、定值問題 [2019甘肅聯(lián)考]已知橢圓的右焦點為，上頂點為，直線的斜率為， 且原點到直線的距離為． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若不經(jīng)過點的直線與橢圓交于，兩點，且與圓相切． 試探究的周長是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由題可知，，，則， 直線的方程為，即，所以， 解得，， 又，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）因為直線與圓相切， 所以，即． 設(shè)，，聯(lián)立，得， 所以， ，， 所以． 又，所以． 因為，同理． 所以， 所以的周長是， 則的周長為定值． 1．[2019安慶期末]已知橢圓過點，焦距長，過點的直線交橢圓于，兩點． （1）求橢圓的方程； （2）已知點，求證：為定值． 2．[2019東莞期末]已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，左右焦點分別為和，且橢圓經(jīng)過點． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過橢圓的右頂點作兩條相互垂直的直線，，分別與橢圓交于點，（均異于點）， 求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)． 3．[2019周口期末]已知過原點的兩條互相垂直的直線與拋物線相交于不同于原點的兩點，，且軸，的面積為16． （1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）已知點，，為拋物線上不同的三點，若， 試問：直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．  1．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由條件焦距為，知，從而將代入方程， 可得，，故橢圓方程為． （2）當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線交橢圓于，， 由，可得， ，，，， ， 化簡得， 當(dāng)直線斜率為0時，，，， 即證為定值，且為． 2．【答案】（1）；（2）見解析． 【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， ，， ∴，∴，∴， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）①直線斜率存在，設(shè)直線，，， 聯(lián)立方程，消去得， ，， ，又， 由，得， 即，∴， ∴， ∴．解得，，且均滿足， 當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點，與已知矛盾； 當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點． ②由橢圓的對稱性所得，當(dāng)直線，的傾斜角分別為，，易得直線， ，直線，分別與橢圓交于點，， 此時直線斜率不存在，也過定點， 綜上所述，直線恒過定點． 3．【答案】（1）；（2）過定點． 【解析】（1）不妨設(shè)點在第一象限，由題意知，直線，的傾斜角分別為，， 則直線，的方程分別為，． 代入拋物線方程得，的坐標(biāo)分別為，， ∴．解得， 故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）由（1）可得點．由題意可設(shè)直線的方程為． 聯(lián)立，得． 則．∴，． 同理可得，． ∴直線的方程為， 即． ∴ ． 故直線過定點．