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第一章導數及其應用 單元檢測 (時間：90分鐘　滿分：100分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．若，則f′(x0)等于(　　)． A． B． C．1 D．－1 2．等于(　　)． A．－2ln 2 B．2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2 3．若對于任意x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝3，則此函數的解析式為(　　)． A．f(x)＝x4－1 B．f(x)＝x4－2 C．f(x)＝x4＋1 D．f(x)＝x4＋2 4．拋物線在點Q(2,1)處的切線方程為(　　)． A．－x＋y＋1＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0 5．函數f(x)＝x3－2x＋3的圖象在x＝1處的切線與圓x2＋y2＝8的位置關系是(　　)． A．相切 B．相交且過圓心 C．相交但不過圓心 D．相離 6．若(2x－3x2)dx＝0，則k等于(　　)． A．0 B．1 C．0或1 D．以上都不對 7．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為(　　)． A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6 C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6 8．函數f(x)的圖象如圖所示，下列數值排序正確的是(　　)． A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) C．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) 9．已知點P在曲線上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是(　　)． A． B． C． D． 10．若曲線在點(a，)處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為18，則a等于(　　)． A．64 B．32 C．16 D．8 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中的橫線上) 11．經過點(2,0)且與曲線相切的直線方程為____________． 12．三次函數f(x)，當x＝1時有極大值4，當x＝3時有極小值0，且函數圖象過原點，則f(x)＝__________. 13．在區(qū)間上，函數f(x)＝x2＋px＋q與在同一點處取得相同的極小值，那么函數f(x)在上的最大值為__________． 14．函數y＝x2(x＞0)的圖象在點(ak，)處的切線與x軸交點的橫坐標為ak＋1，其中k∈N＋，若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是________． 15．下列四個命題中正確的命題的個數為________． ①若，則f′(0)＝0；②若函數f(x)＝2x2＋1圖象上與點(1,3)鄰近的一點為(1＋Δx,3＋Δy)，則；③加速度是動點位移函數s(t)對時間t的導數；④曲線y＝x3在(0,0)處沒有切線． 三、解答題(本大題共2小題，共25分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 16．(10分)求由曲線y＝2x－x2，y＝2x2－4x所圍成的封閉圖形的面積． 17．(15分)已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在與x＝1時都取得極值． (1)求a，b的值及函數f(x)的單調區(qū)間； (2)若對x∈[－1,2]，不等式f(x)＜c2恒成立，求c的取值范圍．  參考答案 1. 答案：D　原等式可化為＝－f′(x0)＝1，因此f′(x0)＝－1. 2. 答案：D?。絣n 4－ln 2＝ln 2. 3. 答案：D　f′(x)＝4x3，∴f(x)＝x4＋k.又f(1)＝3，∴k＝2，∴f(x)＝x4＋2. 4. 答案：A　，∴，又切線過點Q(2,1)，∴切線方程為y－1＝x－2，即－x＋y－1＝0. 5. 答案：C　切線方程為x－y＋1＝0，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交但不過圓心． 6. 答案：C　因為(x2－x3)′＝2x－3x2， 所以(2x－3x2)dx＝(x2－x3)＝k2－k3＝0. 所以k＝0或k＝1. 7. 答案：D　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6， 因為f(x)既有極大值又有極小值， 所以Δ＝4a2－43(a＋6)＞0， 即a2－3a－18＞0.解得a＞6或a＜－3. 8. 答案：B　f′(2)，f′(3)是x分別為2,3時對應圖象上點的切線的斜率，f(3)－f(2)＝，∴f(3)－f(2)是圖象上x為2和3對應兩點連線的斜率，故選B. 9. 答案：D　∵，∴－1≤y′＜0，即曲線在點P處的切線的斜率－1≤k＜0，∴－1≤tan α＜0，又α[0，π)，∴π≤α＜π. 10. 答案：A　，∴切線斜率，切線方程是(x－a)，令x＝0，得，令y＝0，x＝3a，∴三角形的面積是S＝＝18，解得a＝64.故選A. 11. 答案：x＋y－2＝0　設切點為(x0，)，則，∴x0＝1，即切點為(1,1)，斜率為－1，∴直線方程為x＋y－2＝0. 12. 答案：x3－6x2＋9x　設f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，由題意，知 解得故f(x)＝x3－6x2＋9x. 13. 答案：4　由g′(x)＝0得x＝1. 此時g(x)＝3，故函數f(x)在x＝1處取極小值3，從而可求得p＝－2，q＝4. 故f(x)＝x2－2x＋4，在上的最大值為4. 14. 答案：21　y′＝(x2)′＝2x，∴函數y＝x2(x＞0)在點(ak，)處的切線方程為，令y＝0得ak＋1＝ak，又∵a1＝16，∴a3＝a2＝a1＝4，a5＝a3＝1，∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21. 15. 答案：1　在x＝0處無導數，因此①不對；速度是動點位移函數s(t)對時間t的導數，因此③不對；y＝x3在(0,0)處的切線方程為y＝0，故④不對． 16. 答案：分析：先求兩曲線的交點，然后根據圖形，應用定積分求面積． 解：由得x1＝0，x2＝2.由圖可知，所求圖形的面積為 S＝(2x－x2)dx＋＝(2x－x2)dx－(2x2－4x)dx，因為＝2x－x2，＝2x2－4x， 所以. 17. 答案：分析：由，f′(1)＝0求出a，b，再由f′(x)求單調區(qū)間，對于(2)可轉化為求f(x)的最大值來求解． 解：(1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，得，b＝－2.f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，當x變化時，f′(x)，f(x)變化狀態(tài)如下表： x 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  所以函數f(x)的增區(qū)間為和(1，＋∞)，減區(qū)間為. (2)f(x)＝x3－x2－2x＋c，x[－1,2]，當時，為極大值，而f(2)＝2＋c，則f(2)＝2＋c為最大值，要使f(x)＜c2(x[－1,2])恒成立．只需c2＞f(2)＝2＋c，解得c＜－1或c＞2. 所以c的取值范圍是c＜－1或c＞2.