《2019高考數學“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題1 三角函數、解三角形 第1講 三角函數的圖象與性質學案 文.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019高考數學“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題1 三角函數、解三角形 第1講 三角函數的圖象與性質學案 文.doc（14頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

第1講　三角函數的圖象與性質 高考統(tǒng)計定方向 熱點題型 真題統(tǒng)計 命題規(guī)律 題型1：三角恒等變換 2018全國卷ⅢT4；2018全國卷ⅠT11；2018全國卷ⅡT15 2017全國卷ⅢT4；2017全國卷ⅠT15 1.重點考查三角函數圖象的變換，三角函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性及最值，并常與三角恒等變換交匯命題. 題型2：三角函數的圖象與解析式 2016全國卷ⅠT6；2016全國卷ⅡT3；2016全國卷ⅢT14 2015全國卷ⅠT8 題型3：三角函數的性質及應用 2018全國卷ⅠT8；2018全國卷ⅡT10；2018全國卷ⅢT6 2017全國卷ⅡT3；2017全國卷ⅡT13；2017全國卷ⅢT6 2016全國卷ⅡT11；2014全國卷ⅡT14 2.主要以選擇、填空題的形式考查，難度中等偏下. 題型1　三角恒等變換 ■核心知識儲備 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(αβ)＝sin αcos βcos αsin β； (2)cos(αβ)＝cos αcos β?sin αsin β； (3)tan(αβ)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. 3．輔助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ). ■高考考法示例 【例1】　(1)(2018全國卷Ⅰ)已知角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，則|a－b|＝(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D．1 (2)(2018洛陽模擬)若sin＝，則cos＋2α＝________. (3)(2018石家莊模擬)若cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，則α＋β的值為________． (1)B　(2)－　(3)　[(1)由題可知tan α＝＝b－a，又cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝，∴5(b－a)2＝1，得(b－a)2＝，即|b－a|＝，故選B. (2)由sin＝ 得cos＝1－2sin2 ＝1－22＝， 則cos＝cos ＝－cos＝－. (3)因為cos(2α－β)＝－且＜2α－β＜π， 所以sin(2α－β)＝. 因為sin(α－2β)＝且－＜α－2β＜， 所以cos(α－2β)＝. 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－＋＝. 因為＜α＋β＜，所以α＋β＝. [方法歸納] 1．三角恒等變換的“4大策略” (1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45等． (2)項的拆分與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦． 2．解決條件求值問題的關注點 (1)分析已知角和未知角之間的關系，正確地用已知角來表示未知角． (2)正確地運用有關公式將所求角的三角函數值用已知角的三角函數值來表示． (3)求解三角函數中的給值求角問題時，要根據已知求這個角的某種三角函數值，然后結合角的取值范圍，求出角的大?。? (教師備選) (2018佛山模擬)已知tan＝，則cos2－α＝(　　) A. B. C. D. B　[tan＝＝，解得tan α＝－，故cos2＝ ＝＝＋sin αcos α， 其中sin αcos α＝＝＝－，故＋sin αcos α＝.] ■對點即時訓練 1．(2018黃山模擬)若cos＝，則sin 2α＝(　　) A.　　　B.　　　C．－　　　D．－ D　[由cos＝得，sin 2α＝cos＝2cos2－1＝2－1＝－，故選D.] 2．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均為銳角，則角β等于(　　) A. B. C. D. C　[由sin α＝，α是銳角知cos α＝， 由sin(α－β)＝－，α，β均為銳角知，－＜α－β＜0， 從而cos(α－β)＝. 故cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝＋＝ 所以β＝] 3．(2018全國卷Ⅱ)已知tan＝，則tan α＝________. 　[法一：因為tan ＝， 所以＝，即＝， 解得tan α＝. 法二：因為tan＝， 所以tan α＝tan＋ 題型2　三角函數的圖象與解析式 ■核心知識儲備 1．“五點法”作圖 用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)在一個周期內的簡圖時，一般先列表，后描點，連線，其中所列表如下： ωx＋φ 0 π 2π x － －＋ － Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.圖象變換 ■高考考法示例 【例2】　(1)(2018合肥模擬)函數y＝sin的圖象可由函數y＝cosx的圖象至少向右平移m(m＞0)個單位長度得到，則m＝(　　) A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D. (2)(2015全國卷Ⅰ)函數f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖211所示，則f(x)的單調遞減區(qū)間為(　　) 圖211 A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z (1)A　(2)D　[(1)因為y＝sin ＝cos ＝cos， 所以只需將函數y＝cosx的圖象向右至少平移1個單位長度即可得到函數y＝sin的圖象． (2)由圖象知，周期T＝2＝2， ∴＝2，∴ω＝π. 由π＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝， ∴f(x)＝cos. 由2kπ<πx＋<2kπ＋π，得2k－0)的圖象變換成y＝sin(ωx＋φ)的圖象時，只需進行平移變換，應把ωx＋φ變換成ω，根據確定平移量的大小，根據的符號確定平移的方向． 2．函數y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的確定方法 (1)A由最值確定，A＝； (2)ω由周期確定； (3)φ由圖象上的特殊點確定． 通常利用峰點、谷點或零點列出關于φ的方程，結合φ的范圍解得φ的值，所列方程如下： 峰點：ωx＋φ＝＋2kπ；谷點：ωx＋φ＝－＋2kπ，利用零點時，要區(qū)分該零點是升零點，還是降零點． 升零點(圖象上升時與x軸的交點)：ωx＋φ＝2kπ； 降零點(圖象下降時與x軸的交點)：ωx＋φ＝π＋2kπ.(以上k∈Z) ■對點即時訓練 1．為了得到函數y＝sin的圖象，可以將函數y＝cos 2x的圖象(　　) A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度 B　[∵y＝cos 2x＝sin， ∴y＝cos 2x的圖象向右平移個單位長度， 得y＝sin＝sin的圖象，故選B.] 2．函數f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)的部分圖象如圖212所示，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值為(　　) 圖212 A．0　　　　B．2＋2　　　　C．6　　　　D．－ B　[由題圖可得，A＝2，T＝8，＝8，ω＝， ∴f(x)＝2sinx. ∴f(1)＝，f(2)＝2，f(3)＝，f(4)＝0，f(5)＝－，f(6)＝－2，f(7)＝－，f(8)＝0，而2 019＝8252＋3，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2＋2.] 題型3　三角函數的性質及應用 ■核心知識儲備 1．三角函數的奇偶性、對稱性 (1)y＝Asin(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數；當φ＝kπ＋(k∈Z)時為偶函數；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得，對稱點、橫坐標可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得． (2)y＝Acos(ωx＋φ)，當φ＝kπ＋(k∈Z)時為奇函數；當φ＝kπ(k∈Z)時為偶函數；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，對稱點、橫坐標可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得． (3)y＝Atan(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數． 尤其注意其對稱點橫坐標可由ωx＋φ＝(k∈Z)求得． 2．三角函數的最值 函數類型 求解方法 y＝asin x＋bcos x＋c 轉化為y＝sin(x＋φ)＋c的最值問題 y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x 轉化為y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C的最值問題 y＝asin2x＋bsin x＋c 換元法轉化為二次函數的最值問題 ■高考考法示例 ?角度一　三角函數的定義域、周期性及單調性的判斷 【例3－1】　(1)(2018全國卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是減函數，則a的最大值是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D．π C　[法一：f(x)＝cos x－sin x＝cosx＋.當x∈[0，a]時，x＋∈，所以結合題意可知，a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故選C. 法二：f′(x)＝－sin x－cos x＝－sin.于是，由題設得f′(x)≤0，即 sin≥0在區(qū)間[0，a]上恒成立．當x∈[0，a]時，x＋∈，所以a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故選C.] (2)已知函數f(x)＝4tan xsincos－. ①求f(x)的定義域與最小正周期； ②討論f(x)在區(qū)間上的單調性． [解]?、賔(x)的定義域為. f(x)＝4tan xcos xcos－＝4sin xcosx－－ ＝4sin x－ ＝2sin xcos x＋2sin2x－ ＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. ②令z＝2x－，則函數y＝2sin z的單調遞增區(qū)間是，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 設A＝，B＝ ，易知A∩B＝－，. 所以當x∈時，f(x)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減． ?角度二　三角函數的最值問題 【例3－2】　(1)(2016全國卷Ⅱ)函數f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　[f(x)＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，又sin x∈[－1,1]，所以當sin x＝1時，f(x)有最大值5，故選B.] (2)(2018青島模擬)設函數f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3.已知f＝0. ①求ω； ②將函數y＝f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數y＝g(x)的圖象，求g(x)在上的最小值． [解]?、僖驗閒(x)＝sin＋sin， 所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx＝sin ωx－cos ωx ＝＝sin. 由題設知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z. 故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，所以ω＝2. ②由①得f(x)＝sin 所以g(x)＝sin＝sin. 因為x∈，所以x－∈， 當x－＝－，即x＝－時，g(x)取得最小值－. ?角度三　三角函數圖象的對稱性 【例3－3】　(1)將函數y＝cos x＋sin x(x∈R)的圖象向左平移m(m＞0)個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱，則m的最小值是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. (2)將函數f(x)＝cos 2x的圖象向右平移個單位后得到函數g(x)的圖象，則g(x)具有性質 A．最大值為1，圖象關于直線x＝對稱 B．在上單調遞增，為奇函數 C．在上單調遞增，為偶函數 D．周期為π，圖象關于點對稱 (1)A　(2)B　[(1)設f(x)＝cos x＋sin x＝2cos x＋sin x＝2sin，向左平移m個單位長度得g(x)＝2sin.∵g(x)的圖象關于y軸對稱，∴g(x)為偶函數，∴＋m＝＋kπ(k∈Z)， ∴m＝＋kπ(k∈Z)，又m＞0，∴m的最小值為. (2)由題意可得將f(x)＝cos 2x的圖象向右平移個單位得到g(x)＝cos＝cos＝sin 2x的圖象，因為函數g(x)為奇函數，所以排除C，又當x＝時函數值為0，當x＝時，函數值為，所以A和D中對稱的說法不正確，選B.] [方法歸納]　函數y＝Asin(ωx＋φ)的性質及應用的求解思路 第一步：先借助三角恒等變換及相應三角函數公式把待求函數化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式； 第二步：把“ωx＋φ”視為一個整體，借助復合函數性質求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的單調性及奇偶性、最值、對稱性等問題. ■對點即時訓練 1．(2018全國卷Ⅲ)函數f(x)＝的最小正周期為(　　) A.　　 　B.　　 　C．π　　 　D．2π C　[f(x)＝＝＝＝ sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故選C.] 2．(2018沈陽模擬)已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x，則f(x)的最小正周期和一個單調遞減區(qū)間分別為(　　) A．2π， B．π， C．2π， D．π， B　[f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝sin＋1，則T＝＝π.由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝0得f(x)在上單調遞減，故選B.] 3．(2018哈爾濱模擬)若函數f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0＜θ＜π)的圖象關于中心對稱，則函數f(x)在上的最小值是(　　) A．－1 B．－ C．－ D．－ B　[f(x)＝2sin，又圖象關于中心對稱，所以2＋θ＋＝kπ，k∈Z，所以θ＝kπ－π，又0＜θ＜π，所以θ＝， 所以f(x)＝－2sin 2x， 因為x∈. 所以2x∈，f(x)∈[－，2]， 所以f(x)的最小值是－.] 1．(2014全國卷Ⅰ)在函數①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋，④y＝tan中，最小正周期為π的所有函數為(　　) A．②④　　　　　　　 B．①③④ C．①②③ D．①③ C　[①y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝π. ②由圖象知，函數的周期T＝π. ③T＝π. ④T＝. 綜上可知，最小正周期為π的所有函數為①②③.] 2．(2016全國卷Ⅰ)將函數y＝2sin的圖象向右平移個周期后，所得圖象對應的函數為(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin D　[函數y＝2sin的周期為π，將函數y＝2sin的圖象向右平移個周期即個單位長度，所得圖象對應的函數為y＝2sin＝2sin，故選D.] 3．(2018全國卷Ⅰ)已知函數f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則(　　) A．f(x)的最小正周期為π，最大值為3 B．f(x)的最小正周期為π，最大值為4 C．f(x)的最小正周期為2π，最大值為3 D．f(x)的最小正周期為2π，最大值為4 B　[易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos 2x＋，則f(x)的最小正周期為π，當x＝kπ(k∈Z)時，f(x)取得最大值，最大值為4.] 4．(2016全國卷Ⅲ)函數y＝sin x－cos x的圖象可由函數y＝2sin x的圖象至少向右平移________個單位長度得到． 　[∵y＝sin x－cos x＝2sin，∴函數y＝sin x－cos x的圖象可由函數y＝2sin x的圖象至少向右平移個單位長度得到．] 5．(2016全國卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝________. －　[由題意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝＝. tan＝＝ ＝－＝－＝－.]