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高考小題專練(01) (滿分：80分　時(shí)間：45分鐘) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．已知集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，則(?RS)∪T＝(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，－4] C．(－2,1] D．[1，＋∞) 解析：選A　因?yàn)镾＝{x|x＞－2}，所以?RS＝{x|x≤－2}， 又因?yàn)門＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}， ∴(?RS)∪T＝{x|x≤1}＝(－∞，1]，故選A． 2．已知a∈R，i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，若z＝a＋i，z＝4則a＝(　　) A． B．－ C．或－ D．1或－1 解析：選D　由z＝a＋i?＝a－i?z＝4，可得a2＋3＝4， ∴a＝1，故選D． 3．閱讀下面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為24，則輸出N的值為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選C　第一次N＝24，能被3整除， N＝＝8≤3不成立，第二次N＝8,8不能被3整除，N＝8－1＝7，N＝7≤3不成立，第三次N＝7，不能被3整除，N＝7－1＝6≤3不成立，第四次N＝＝2≤3成立，輸出N＝2，故選C． 4．設(shè)a，b為向量，則“|ab|＝|a||b|”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C　由|a||b||cos 〈a，b〉|＝|a||b|，得cos 〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0或π，∴a∥b, 由a∥b，得向量a與b同向或反向，∴〈a，b〉＝0或π，∴|ab|＝|a||b|，“|ab|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要條件，故選C． 5．函數(shù)y＝sin x(1＋cos 2x)在區(qū)間[－2,2]內(nèi)的圖象大致為(　　) 解析：選B　函數(shù)y＝sin x(1＋cos 2x)定義域?yàn)閇－2,2]，其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x)＝sin(－x)(1＋cos 2x)＝－sin x(1＋cos 2x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)，又圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除D；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＝sin x(1＋cos 2x)＝2sin xcos2x＞0，排除C；又2sin xcos2x＝0，可得x＝或0，排除A，故選B． 6．在正方形網(wǎng)格中，某四面體的三視圖如圖所示. 如果小正方形網(wǎng)格的邊長為1，那么該四面體的體積是(　　) A． B． C．16 D．32 解析：選B　由三視圖還原的幾何體如圖所示，該幾何體為三棱錐，側(cè)面PAC為等腰三角形，且平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC，底面ABC為直角三角形，AB＝AC＝4，棱錐的高為4，∴該四面體的體積V＝444＝，故選B． 7．觀察下圖： 1 2　3　4 3　4　5　6　7 4　5　6　7　8　9　10 …… 則第________行的各數(shù)之和等于2 0172.(　　) A．2 010 B．2 018 C．1 005 D．1 009 解析：選D　由圖形知，第一行各數(shù)和為1；第二行各數(shù)和為9＝32；第三行各數(shù)和為25＝52；第四行各數(shù)和為49＝72，…，∴第n行各數(shù)之和為(2n－1)2，令(2n－1)2＝2 0172?2n－1＝2 017，解得n＝1 009，故選D． 8．已知S，A，B，C是球O表面上的點(diǎn)，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，則球O的表面積等于(　　) A．4π B．3π C．2π D．π 解析：選A　由題意得，因?yàn)镾A⊥平面ABC，AB⊥BC，所以四面體SABC的外接球半徑等于以長寬高分別為SA，AB，BC三邊長的長方體的外接球的半徑，又因?yàn)镾A＝AB＝1，BC＝，所以2R＝＝2?R＝1，所以球的表面積為S＝4πR2＝4π，故選A． 9．如圖所示，點(diǎn)A，B分別在x軸與y軸的正半軸上移動(dòng)，且AB＝2，若點(diǎn)A從(，0)移動(dòng)到(，0)，則AB的中點(diǎn)D經(jīng)過的路程為(　　) A． B． C． D． 解析：選D　設(shè)AB的中點(diǎn)D(x，y)，∵∠AOB＝90，∴OD＝1，∴x2＋y2＝1，當(dāng)點(diǎn)A從(，0)移動(dòng)到(，0)時(shí)，x從變到，∴圓心角變化－＝，∴D經(jīng)過的路程為1＝，故選D． 10．設(shè)集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤1}，B＝{(x，y)|(y－x)(y＋x)≤0}，M＝A∩B，若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)∈M，則x2＋(y－1)2的取值范圍是(　　) A． B． C． D． 解析：選C　在同一直角坐標(biāo)系中畫出集合A，B所在區(qū)域，取交集后可得M所表示的區(qū)域如圖中陰影部分所示， 而d＝表示的是M中的點(diǎn)到(0,1)的距離，由圖可知，(0,1)到直線y＝x的距離最小，為；(0,1)到的距離最大，為＝，所以x2＋(y－1)2范圍是，故選C． 11．已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－ax＋a存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A． B．∪[e2，＋∞) C． D．∪[e，＋∞) 解析：選B　函數(shù)g(x)＝f(x)－ax＋a存在零點(diǎn)，即方程f(x)＝ax－a存在實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y＝f(x)與y＝a(x－1)的圖象有交點(diǎn)，如圖所示，直線y＝a(x－1)恒過定點(diǎn)(1,0)，過點(diǎn)(－2,1)與(1,0)的直線的斜率k＝＝－，設(shè)直線y＝a(x－1)與y＝ex相切于(x0，ex0)，則切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為ex0，則過切點(diǎn)的直線方程為y－ex0＝ex0(x－x0)，又切線過(1,0)，則－ex0＝ex0(1－x0)，∴x0ex0＝2ex0，得x0＝2，此時(shí)切線的斜率為e2，由圖可知，要使函數(shù)g(x)＝f(x)－ax＋a存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤－或a≥e2，故選B． 12．點(diǎn)P在直線l：y＝x－1上，若存在過P的直線交拋物線y＝x2于A，B兩點(diǎn)，且|PA|＝2|AB|，則稱點(diǎn)P為“δ點(diǎn)”．下列結(jié)論中正確的是(　　) A．直線l上的所有點(diǎn)都是“δ點(diǎn)” B．直線l上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“δ點(diǎn)” C．直線l上的所有點(diǎn)都不是“δ點(diǎn)” D．直線l上有無窮多個(gè)點(diǎn)(不是所有的點(diǎn))是“δ點(diǎn)” 解析：選A　如圖所示，設(shè)A(m，n)，B(xB，yB)，P(x，x－1)，因?yàn)閨PA|＝2|AB|，直線l：y＝x－1與拋物線y＝x2相離， 所以＝2，(m－x，n－x＋1)＝2(xB－m，yB－n)， 可得B，A，B在y＝x2上，所以消去n，整理得，關(guān)于x的方程x2＋(2－6m)x＋3m2－2＝0，∵Δ＝24m2－24m＋12＞0恒成立，∴方程恒有實(shí)數(shù)解，點(diǎn)P在直線l：y＝x－1上，總存在過P的直線交拋物線y＝x2于A，B兩點(diǎn)，且|PA|＝2|AB|，所以，直線l上的所有點(diǎn)都是“δ點(diǎn)”，故選A． 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．把答案填在題中橫線上) 13．為了研究某班學(xué)生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為＝x＋已知i＝225，i＝1 600，＝4.該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計(jì)其身高為________． 解析：由i＝225，i＝1 600，利用平均值公式求得＝22.5，＝160，因?yàn)椋?，∴＝160－422.5＝70，從而當(dāng)x＝24時(shí)，y＝424＋70＝166，故答案為166． 答案：166 14．從區(qū)間[0,2]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為________． 解析：利用幾何概型，可得四分之一圓形的面積和正方形的面積比為＝＝，∴π＝，故答案為． 答案： 15．如圖所示，B地在A地的正東方向4 km處，C地在B地的北偏東30方向2 km處，河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2 km.現(xiàn)要在曲線PQ上任一處M建一座碼頭，向B，C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測算，從M到B和M到C修建公路的費(fèi)用均為a萬元/km，那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是________萬元． 解析：以AB所在的直線為x軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－2,0)，B(2,0)，C(3，)，由|MA|－|MB|＝2知點(diǎn)M的軌跡， 即曲線PQ的方程為x2－＝1(x＞0)， ∴|MB|＋|MC|＝|MA|－2＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝2－2，∴修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是(2－2)a萬元，故答案為(2－2)a． 答案：(2－2)a 16．已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，(3－an＋1)(6＋an)＝18(n∈N*)，則的值是________． 解析：設(shè)bn＝，n＝1,2，…， 則＝18，即3bn＋1－6bn－1＝0， ∴bn＋1＝2bn＋，bn＋1＋＝2， 故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列， 則bn＋＝2n－1＝2n－1＝2n， ∴bn＝(2n－1)， ＝i＝(2n－1)＝＝(2n＋1－n－2)，故答案為(2n＋1－n－2)． 答案：(2n＋1－n－2)