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培優(yōu)點四 恒成立問題 1．參變分離法 例1：已知函數(shù)，若在上恒成立，則的取值范圍是_________． 【答案】 【解析】，其中， 只需要． 令，，，， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減， ，． 2．?dāng)?shù)形結(jié)合法 例2：若不等式對于任意的都成立，則實數(shù)的取值范圍是___________． 【答案】 【解析】本題選擇數(shù)形結(jié)合，可先作出在的圖像， 扮演的角色為對數(shù)的底數(shù)，決定函數(shù)的增減，根據(jù)不等關(guān)系可得，觀察圖像進一步可得只需 時，， 即，所以． 3．最值分析法 例3：已知函數(shù)，在區(qū)間上，恒成立，求的取值范圍___________． 【答案】 【解析】恒成立即不等式恒成立，令， 只需即可，， ，令（分析的單調(diào)性） 當(dāng)時 在單調(diào)遞減，則 (思考：為什么以作為分界點討論？因為找到，若要不等式成立，那么一定從處起要增（不一定在上恒增，但起碼存在一小處區(qū)間是增的），所以時導(dǎo)致在處開始單減，那么一定不符合條件．由此請體會零點對參數(shù)范圍所起的作用） 當(dāng)時，分是否在中討論（最小值點的選?。? 若，單調(diào)性如表所示 ，． （1）可以比較，的大小找到最小的臨界值，再求解，但比較麻煩．由于最小值只會在，處取得，所以讓它們均大于0即可． （2）由于，并不在中，所以求得的只是臨界值，臨界值等于零也符合條件） 若，則在上單調(diào)遞增，，符合題意， 綜上所述：． 對點增分集訓(xùn) 一、選擇題 1．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 若，即有，分別作出函數(shù)和直線的圖象， 由直線與曲線相切于原點時，，則，解得， 由直線繞著原點從軸旋轉(zhuǎn)到與曲線相切，滿足條件． 即有，解得．故選B． 2．已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意可得：， 令可得：，，且：，，，， 據(jù)此可知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為， 結(jié)合恒成立的條件可得：， 求解關(guān)于的不等式可得實數(shù)的取值范圍是．本題選擇C選項． 3．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，在內(nèi)恒成立，所以， 由于，所以，，所以，故選D． 4．已知對任意不等式恒成立（其中，是自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得在上恒成立，即在上恒成立． 令，，則， ∴當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減． ∴，∴，∴． 故實數(shù)的取值范圍是．故選A． 5．已知函數(shù)，當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若恒成立，則，， 所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．，，所以． 故選D． 6．當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】時，恒成立不等式等價于，， 設(shè)，， ，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，， 當(dāng)時，可知無論為何值，不等式均成立， 當(dāng)時，恒成立不等式等價于，， 同理設(shè)，，在單調(diào)遞增， ，，綜上所述：．故選C． 7．函數(shù)，若存在使得成立，則實數(shù)的范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若存在使得成立，則在內(nèi)即可， ，， 故在上單調(diào)遞減，，故選A． 8．設(shè)函數(shù)，若存在，使，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的定義域是，， 當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，且， 故存在，使； 當(dāng)時，令，解得，令，解得， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， ，解得． 綜上，的取值范圍是．故選D． 9．若對于任意實數(shù)，函數(shù)恒大于零，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】當(dāng)時，恒成立，若，為任意實數(shù)，恒成立， 若時，恒成立， 即當(dāng)時，恒成立，設(shè)，則， 當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增， 當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減， 當(dāng)時，取得最大值為． 則要使時，恒成立，的取值范圍是，故選D． 10．已知函數(shù)，，若對任意，總有或成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，故對時，不成立， 從而對任意，恒成立， 因為，對任意恒成立， 如圖所示，則必有，計算得出．故選B． 11．已知函數(shù)，，當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式，即， 結(jié)合可得恒成立，即恒成立， 構(gòu)造函數(shù)，由題意可知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增， 故恒成立，即恒成立， 令，則， 當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增； 則的最小值為，據(jù)此可得實數(shù)的取值范圍為．本題選擇D選項． 12．設(shè)函數(shù)，其中，若有且只有一個整數(shù)使得，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)，，則， ∴當(dāng)，，單調(diào)遞減； 當(dāng)，，單調(diào)遞增， ∴當(dāng)時，取得最小值． 如下圖所示． 又，故； ，故． 故當(dāng)時，滿足在直線的下方． ∵直線恒過定點且斜率為，∴要使得有且只有一個整數(shù)使得， 只需，∴， 又，∴實數(shù)的取值范圍．故選C． 二、填空題 13．設(shè)函數(shù)，，對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】法一：如圖， 因為恒成立，則的圖像在的上方（可以有公共點）， 所以即，填． 法2：由題設(shè)有． 當(dāng)時，； 當(dāng)時，有恒成立或恒成立， 故或即，填． 14．函數(shù)，其中，若對任意正數(shù)都有，則實數(shù)的取值范圍為____________． 【答案】 【解析】對任意正數(shù)都有，即不等式對于恒成立． 設(shè)，則． 故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)， 所以的最小值是，所以的取值范圍是． 15．已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立， 即在上恒成立，所以恒成立， 即在上恒成立，所以， 故實數(shù)的取值范圍是． 16．已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為___________． 【答案】 【解析】①當(dāng)時，函數(shù)外層單調(diào)遞減， 內(nèi)層二次函數(shù)： 當(dāng)，即時，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減， ，解得； 當(dāng)，即時，無意義； 當(dāng)，即時，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)先遞減后遞增，函數(shù)先遞增后遞減， 則需，，無解； 當(dāng)，即時，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增， ，無解． ②當(dāng)時，函數(shù)外層單調(diào)遞增， ，二次函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞增， 所以，解得：． 綜上所述：或． 三、解答題 17．設(shè)函數(shù)，其中， （1）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由； （2）若，成立，求的取值范圍． 【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】（1），定義域為， ， 設(shè)， 當(dāng)時，，，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點． 當(dāng)時，， 若時，，，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點． 若時，設(shè)的兩個不相等的實數(shù)根，，且， 且，而，則， 所以當(dāng)，，，單調(diào)遞增； 當(dāng)，，，單調(diào)遞減； 當(dāng)，，，單調(diào)遞增． 因此此時函數(shù)有兩個極值點； 當(dāng)時，但，， 所以當(dāng)，，，單調(diào)遞增； 當(dāng)，，，單調(diào)遞減． 所以函數(shù)只有一個極值點． 綜上可知，當(dāng)時有一個極值點；當(dāng)時的無極值點；當(dāng)時，的有兩個極值點． （2）由（1）可知當(dāng)時在單調(diào)遞增，而， 則當(dāng)時，，符合題意； 當(dāng)時，，，在單調(diào)遞增，而， 則當(dāng)時，，符合題意； 當(dāng)時，，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，而， 則當(dāng)時，，不符合題意； 當(dāng)時，設(shè)，當(dāng)時， 在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，， 于是，當(dāng)時， 此時，不符合題意． 綜上所述，的取值范圍是． 18．設(shè)函數(shù)， （1）證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增； （2）若對于任意，，都有，求的取值范圍． 【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】，注意到，于是再求導(dǎo)得，，由于，于是為單調(diào)遞增函數(shù)， 時，，時，， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． （2）若不等式恒成立， 則，在連續(xù)， 在有最大最小值， ， 由（1）可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增， ，， ， 設(shè)， ，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 ，，故當(dāng)時，， 當(dāng)時，，，則上式成立． 當(dāng)時，由的單調(diào)性，，即， 當(dāng)時，，即， 綜上，的取值范圍為．