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專題5.2 動能 動能定理 考點精講 一、動能 1．公式 Ek＝mv2，式中v為瞬時速度，動能是狀態(tài)量． 2．矢標性 動能是標量，只有正值，動能與速度的方向無關． 3．動能的變化量 ΔEk＝mv－mv. 4．動能的相對性 由于速度具有相對性，則動能也具有相對性，一般以地面為參考系． 二、動能定理 1．內容 合外力對物體所做的功等于物體動能的變化． 2．表達式 W＝ΔEk＝mv－mv. 3．功與動能的關系 (1)W>0，物體的動能增加． (2)W<0，物體的動能減少． (3)W＝0，物體的動能不變． 4．適用條件 (1)動能定理既適用于直線運動，也適用于曲線運動． (2)既適用于恒力做功，也適用于變力做功． (3)力可以是各種性質的力，既可以同時作用，也可以不同時作用． 5．定理中“外力”的兩點理解 (1)重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力或其他力，它們可以同時作用，也可以不同時作用． (2)既可以是恒力，也可以是變力． 6．公式中“＝”體現(xiàn)的三個關系 7．解題步驟 8．注意事項 (1)動能定理的研究對象可以是單一物體，或者是可以看作單一物體的物體系統(tǒng)． (2)動能定理是求解物體的位移或速率的簡捷公式．當題目中涉及位移和速度而不涉及時間時可優(yōu)先考慮動能定理；處理曲線運動中的速率問題時也要優(yōu)先考慮動能定理． (3)若過程包含了幾個運動性質不同的分過程，既可分段考慮，也可整個過程考慮．但求功時，有些力不是全過程都做功，必須根據不同的情況分別對待求出總功． (4)應用動能定理時，必須明確各力做功的正、負．當一個力做負功時，可設物體克服該力做功為W，將該力做功表達為－W，也可以直接用字母W表示該力做功，使其字母本身含有負號． 考點精練 題組1 動能 1．關于對動能的理解，下列說法錯誤的是(　　) A．凡是運動的物體都具有動能 B．動能總為正值 C．一定質量的物體，動能變化時，速度一定變化；速度變化時，動能也一定變化 D．物體動能不變時，一定處于平衡狀態(tài) 【答案】CD 【解析】動能是因運動而具有的能量，A對．動能是標量，且總為正值，B對．物體動能變化，說明速度大小一定發(fā)生了變化，而當速度只是方向變化，則動能就不變，故C錯．物體動能不變，說明速度大小不變，但速度方向可能變化，即物體可能做變速運動，而非平衡狀態(tài)，D錯。 2．關于物體的動能，下列說法中正確的是(　　) A．物體速度變化，其動能一定變化 B．物體所受的合外力不為零，其動能一定變化 C．物體的動能變化，其運動狀態(tài)一定發(fā)生改變 D．物體的速度變化越大，其動能一定也變化越大 【答案】C 3．在地面上某處將一金屬小球豎直向上拋出，上升一定高度后再落回原處，若不考慮空氣阻力，則下列圖象能正確反映小球的速度、加速度、位移和動能隨時間變化關系的是(取向上為正方向)(　　) 【答案】A 【解析】小球運動過程中加速度不變，B錯；速度均勻變化先減小后反向增大，A對；位移和動能與時間不是線性關系，C、D錯。 4．如圖所示，靜止在水平地面的物塊A，受到水平向右的拉力F作用，F(xiàn)與時間t的關系如圖所示，設物塊與地面的靜摩擦力最大值fm與滑動摩擦力大小相等，則(　　)　 A．0～t1時間內F的功率逐漸增大 B．t2時刻物塊A的加速度最大 C．t2時刻后物塊A做反向運動 D．t3時刻物塊A的動能最大 【答案】BD 【解析】0～t1時間內，物塊靜止，F(xiàn)的功率為零，選項A錯誤；t2時刻合外力最大，物塊A的加速度最大，選項B正確；t2時刻后物塊A繼續(xù)向前運動，選項C錯誤；t1～t3時間內，物塊一直加速運動，t3時刻后物塊做減速運動，所以t3時刻物塊A的動能最大，選項D正確。 題組2 動能定理 1．關于運動物體所受的合外力、合外力做的功及動能變化的關系，下列說法正確的是(　　) A．合外力為零，則合外力做功一定為零 B．合外力做功為零，則合外力一定為零 C．合外力做功越多，則動能一定越大 D．動能不變，則物體合外力一定為零 【答案】A　 2．質量不等，但有相同動能的兩個物體，在動摩擦因數相同的水平地面上滑行，直至停止，則（ ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．質量大的物體滑行的距離大 B．質量小的物體滑行的距離大 C．它們滑行的距離一樣大 D．它們克服摩擦力所做的功一樣多 【答案】BD 【解析】由動能定理可得－Ffx＝0－Ek，即μmgx＝Ek，由于動能相同動摩擦因數相同，故質量小的滑行距離大，它們克服摩擦力所做的功都等于Ek。 3．用豎直向上大小為30 N的力F，將2 kg的物體從沙坑表面由靜止提升1 m時撤去力F，經一段時間后，物體落入沙坑，測得落入沙坑的深度為20 cm.若忽略空氣阻力，g取10 m/s2.則物體克服沙坑的阻力所做的功為(　　) A．20 J　　　　　　　　　 B．24 J C．34 J D．54 J 【答案】C 【解析】選C.對整個過程應用動能定理得： Fh1＋mgh2－Wf＝0，解得：Wf＝34 J，C對． 4．剎車距離是衡量汽車安全性能的重要參數之一．如圖所示的圖線1、2分別為甲、乙兩輛汽車在緊急剎車過程中的剎車距離l與剎車前的車速v的關系曲線，已知緊急剎車過程中車與地面間是滑動摩擦．據此可知，下列說法中正確的是(　　) A．甲車的剎車距離隨剎車前的車速v變化快，甲車的剎車性能好 B．乙車與地面間的動摩擦因數較大，乙車的剎車性能好 C．以相同的車速開始剎車，甲車先停下來，甲車的剎車性能好 D．甲車的剎車距離隨剎車前的車速v變化快，甲車與地面間的動摩擦因數較大 【答案】B 5．(多選) 如圖所示，質量為0.1 kg的小物塊在粗糙水平桌面上滑行4 m后以3.0 m/s的速度飛離桌面，最終落在水平地面上，已知物塊與桌面間的動摩擦因數為0.5，桌面高0.45 m，若不計空氣阻力，取g＝10 m/s2，則下列說法錯誤的是(　　) A．小物塊的初速度是5 m/s B．小物塊的水平射程為1.2 m C．小物塊在桌面上克服摩擦力做8 J的功 D．小物塊落地時的動能為0.9 J 【答案】ABC. 【解析】小物塊在桌面上克服摩擦力做功Wf＝μmgL＝2 J，C錯．在水平桌面上滑行，由動能定理得－Wf＝mv2－mv，解得v0＝7 m/s，A錯．小物塊飛離桌面后做平拋運動，有x＝vt、h＝gt2，聯(lián)立解得x＝0.9 m，B錯．設小物塊落地時動能為Ek，由動能定理得mgh＝Ek－mv2，解得Ek＝0.9 J，D對． 6．(多選)如圖所示，一塊長木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物體A，現(xiàn)以恒定的外力拉B，由于A、B間摩擦力的作用，A將在B上滑動，以地面為參考系，A、B都向前移動一段距離．在此過程中(　　) A．外力F做的功等于A和B動能的增量 B．B對A的摩擦力所做的功，等于A的動能增量 C．A對B的摩擦力所做的功，與B對A的摩擦力所做的功大小相等 D．外力F對B做的功等于B的動能的增量與B克服摩擦力所做的功之和 【答案】BD　 7．低碳、環(huán)保是未來汽車的發(fā)展方向．某汽車研發(fā)機構在汽車的車輪上安裝了小型發(fā)電機，將減速時的部分動能轉化并儲存在蓄電池中，以達到節(jié)能的目的．某次測試中，汽車以額定功率行駛一段距離后關閉發(fā)動機，測出了汽車動能Ek與位移x的關系圖象如圖所示，其中①是關閉儲能裝置時的關系圖線，②是開啟儲能裝置時的關系圖線．已知汽車的質量為1 000 kg，設汽車運動過程中所受地面阻力恒定，空氣阻力不計，根據圖象所給的信息可求出(　　) A．汽車行駛過程中所受地面的阻力為1 000 N B．汽車的額定功率為80 kW C．汽車加速運動的時間為22.5 s D．汽車開啟儲能裝置后向蓄電池提供的電能為5105 J 【答案】BD 【解析】由圖線①求所受阻力，ΔEk＝FfΔx，F(xiàn)f＝8105/400 N＝2 000 N，A錯誤；由Ek＝mv/2可得，vm＝40 m/s，所以P＝Ffvm＝80 kW，B正確；加速階段，Pt－Ffx＝ΔEk,80103t－2103500＝3105，解得t＝16.25 s，C錯誤；根據能量守恒，由圖線②可得，ΔE＝Ek－Ffx＝8105 J－2103150 J＝5105 J，D正確。 8．兒童樂園中一個質量為m的小火車，以恒定的功率P由靜止出發(fā)，沿一水平直軌道行駛達到最大速度vm后做勻速運動，在到達終點前某時刻關閉發(fā)動機，小火車又做勻減速直線運動，到達終點時恰好停止。小火車在運動過程中通過的總路程為s，則小火車運動的總時間為(　　) A．＋ B．＋ C． D． 【答案】B 9. 我國將于2022年舉辦冬奧會，跳臺滑雪是其中最具觀賞性的項目之一．如圖所示，質量m＝60 kg的運動員從長直助滑道AB的A處由靜止開始以加速度a＝3.6 m/s2勻加速滑下，到達助滑道末端B時速度vB＝24 m/s，A與B的豎直高度差H＝48 m，為了改變運動員的運動方向，在助滑道與起跳臺之間用一段彎曲滑道銜接，其中最低點C處附近是一段以O為圓心的圓?。滥┒薆與滑道最低點C的高度差h＝5 m，運動員在B、C間運動時阻力做功W＝－1 530 J，取g＝10 m/s2. (1)求運動員在AB段下滑時受到阻力Ff的大小； (2)若運動員能夠承受的最大壓力為其所受重力的6倍，則C點所在圓弧的半徑R至少應為多大． 【答案】(1)144 N　(2)12.5 m 【解析】(1)運動員在AB段做初速度為零的勻加速運動，設AB的長度為x，則有 v＝2ax① 由牛頓第二定律有mg－Ff＝ma② 聯(lián)立①②式，代入數據解得Ff＝144 N．③ (2)設運動員到C點時的速度為vC，在由B處運動到達C點的過程中，由動能定理有 mgh＋W＝mv－mv④ 設運動員在C點所受的支持力為FN，由牛頓第二定律有 FN－mg＝⑤ 由運動員能夠承受的最大壓力為其所受重力的6倍，聯(lián)立④⑤式，代入數據解得 R＝12.5 m. 方法突破 方法1 應用動能定理解題的方法 詮釋：(1)選取研究對象，明確它的運動過程； (2)分析研究對象的受力情況和各力的做功情況： (3)明確研究對象在過程的初末狀態(tài)的動能Ek1和Ek2； (4)列動能定理的方程W合＝Ek2－Ek1及其他必要的解題方程，進行求解． 題組3 應用動能定理解題的方法 1．一人用力踢質量為1 kg的足球，使球由靜止以10 m/s的速度沿水平方向飛出．假設人踢球時對球的平均作用力為200 N，球在水平方向運動了20 m，那么人對球所做的功為(　　) A．50 J　　　　　　　 B．200 J C．2 000 J D．4 000 J 【答案】A 【解析】雖然球在水平方向運動了20 m，但球離開腳后已不再受到人給它的力，人對球做功轉化為球的動能。人踢球時對球做的功為W＝mv2＝1102 J＝50 J，選項A正確，故B、C、D錯誤。 2. 如圖所示，光滑圓軌道固定在豎直面內，一質量為m的小球沿軌道做完整的圓周運動．已知小球在最低點時對軌道的壓力大小為N1，在高點時對軌道的壓力大小為N2.重力加速度大小為g，則N1－N2的值為(　　) A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg 【答案】 D　 【解析】設小球在最低點時速度為v1，在最高點時速度為v2，根據牛頓第二定律有，在最低點：N1－mg＝，在最高點：N2＋mg＝；從最高點到最低點，根據動能定理有mg2R＝－，聯(lián)立可得：N1－N2＝6mg，故選項D正確． 3．(多選)人通過滑輪將質量為m的物體沿粗糙的斜面由靜止開始勻加速地由底端拉上斜面，物體到達斜面頂端時速度為v，上升的高度為h，如圖所示，則在此過程中(　　) A．物體所受的合力做功為mgh＋mv2 B．物體所受的合力做功為mv2 C．人對物體做的功為mgh D．人對物體做的功大于mgh 【答案】BD　 4. 如圖所示，一半徑為R、粗糙程度處處相同的半圓形軌道豎直固定放置，直徑POQ水平．一質量為m的質點自P點上方高度R處由靜止開始下落，恰好從P點進入軌道，質點滑到軌道最低點N時，對軌道的壓力為4mg，g為重力加速度的大?。肳表示質點從P點運動到N點的過程中克服摩擦力所做的功．則(　　) A．W＝mgR，質點恰好可以到達Q點 B．W>mgR，質點不能到達Q點 C．W＝mgR，質點到達Q點后，繼續(xù)上升一段距離 D．W0 B．W2<0 C．W2>0 D．W3<0 【答案】CD 【解析】分析題圖可知，貨物一直向上運動，根據功的定義式可得：重力做負功，拉力做正功，即W1<0，W2>0，A、B錯誤，C正確；根據動能定理：合力做的功W3＝0－mv2，v＝2 m/s，即W3<0，D正確。 8．一質點在光滑水平面上處于靜止狀態(tài)，現(xiàn)對該質點施加水平力F，力F隨時間t按如圖所示的正弦規(guī)律變化，力F的方向始終在同一直線上，在0～4 s內，下列說法正確的是(　　) A．第2 s末，質點距離出發(fā)點最遠 B．第2 s末，質點的動能最大 C．0～2 s內，力F瞬時功率一直增大 D．0～4 s內，力F做功為零 【答案】BD 【解析】從圖象可以看出在前2 s力的方向和運動的方向相同，物體經歷了一個加速度逐漸增大的加速運動和加速度逐漸減小的加速運動，第2 s末，拉力F方向反向，速度方向不變，所以2 s后，質點離出發(fā)點距離還在增大，故A錯誤；第2 s末，拉力F方向反向，速度方向不變，物體要做減速運動，所以第2 s末，質點的速度最大，動能最大，故B正確；0～1 s內，速度在增大，力F增大，根據瞬時功率P＝Fv得力F瞬時功率一直增大，1～2 s內，速度在增大，但是隨時間速度增大變慢，而力F隨時間減小變快，所以力F瞬時功率有減小的過程，故C錯誤；0～4 s內，初末速度都為零，根據動能定理得合力做功為零，所以力F做功為零，故D正確。 9．如圖甲所示，長為4 m的水平軌道AB與半徑為R＝0.6 m的豎直半圓弧軌道BC在B處相連接，有一質量為1 kg的滑塊(大小不計)，從A處由靜止開始受水平向右的力F作用，F(xiàn)的大小隨位移變化的關系如圖乙所示，滑塊與AB間的動摩擦因數為μ＝0.25，與BC間的動摩擦因數未知，g取10 m/s2.求： 甲　　　　　　　　　乙 (1)滑塊到達B處時的速度大?。? (2)滑塊在水平軌道AB上運動前2 m過程所用的時間； (3)若到達B點時撤去力F，滑塊沿半圓弧軌道內側上滑，并恰好能到達最高點C，則滑塊在半圓弧軌道上克服摩擦力所做的功是多少？ 【答案】　(1)2 m/s　(2) s　(3)5 J 【解析】　(1)對滑塊從A到B的過程，由動能定理得 F1x1－F3x3－μmgx＝mv 代入數值解得vB＝2 m/s. (2)在前2 m內，有F1－μmg＝ma，且x1＝at， 解得t1＝ s. (3)當滑塊恰好能到達最高點C時，有：mg＝m 對滑塊從B到C的過程，由動能定理得： W－mg2R＝mv－mv 代入數值得W＝－5 J，即克服摩擦力做的功為5 J. 點評：(1)應用動能定理解題時，在分析過程的基礎上無需深究物體運動過程中狀態(tài)變化的細節(jié)，只需考慮整個過程的功及過程初末的動能。(2)若過程包含了幾個運動性質不同的分過程，既可分段考慮，也可整個過程考慮．但求功時，有些力不是全過程都作用的，必須根據不同的情況分別對待求出總功，計算時要把各力的功連同正負號一同代入公式。 方法2求解涉及功、能極值的方法 詮釋：在涉及功、能的極值問題中，有些極值的形成是由運動形式的臨界狀態(tài)造成的；有些極值的形成是由題設條件造成的。 題組4 求解涉及功、能極值的方法 1．在水平地面上平鋪n塊磚，每塊磚的質量為m，厚度為h，如圖所示。若將磚一塊一塊地豎直疊放起來，在此過程中，重力做功為 J. 【答案】－mgh 【解析】 2．如圖所示，小球用不可伸長的長度為L的輕繩懸于O點，小球在最低點至少需獲得速度為 m/s才能在豎直平面內做完整的圓周運動。 【答案】 【解析】由圓周運動知識可知，設小球到達最高點時速度至少為v1，則有mg＝m，v1＝。由動能定理得：mv＝mv＋mg2L，則v0＝。 3．如圖為豎直平面內的坐標系xOy，在第二象限有一光滑足夠長水平平臺，在第一象限固定一曲面呈拋物線形狀的物體，曲面滿足方程y＝。在平臺上的P點(圖上未標出)，坐標為(－2 m,3.6 m)，現(xiàn)有一質量為m＝1 kg的物塊(不計大小)，用水平向右的力F＝9 N拉物塊，當物塊離開平臺時立即撤去拉力，最終物塊撞到曲面上(g取10 m/s2)。物塊撞到曲面前瞬間的動能大小為 J；要使物塊撞到曲面前瞬間的動能最小，物塊初始位置的坐標為 。 【答案】30 J (－1 m,3.6 m) 點評：在解決涉及功、能的極值問題時，一種思路是分析運動形式的臨界狀態(tài)，將臨界條件轉化為物理方程來解；另一種思路是將運動過程的方程解析式化，利用數學方法求極值。