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第5章 數(shù)列 第3講
A組 基礎關
1．對任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是( )
A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列
B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列
C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列
D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列
答案 D
解析 不妨設公比為q，則a＝aq4，a1a9＝aq8，a2a6＝aq6，當q≠1時，知A，B均不正確；又a＝aq6，a2a8＝aq8，同理，C不正確；由a＝aq10，a3a9＝aq10，知D正確．故選D.
2．(2018天水市秦州區(qū)三模)設△ABC的三內角A，B，C成等差數(shù)列，sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，則這個三角形的形狀是( )
A．等邊三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案 A
解析 由題意得2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，
所以B＝，
又因為sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac.
由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，
所以a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a＝c.
所以△ABC是等邊三角形．
3．(2018天津武清區(qū)模擬)設{an}是首項大于零的等比數(shù)列，則“a
1，則q>1或q<－1，當q<－1時，
數(shù)列為擺動數(shù)列，則“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”不成立，
即充分性不成立，
若“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”，則a10，∴a2>0，
則“a0)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則a1等于( )
A．－2 B．－1 C. D.
答案 B
解析 將已知兩式作差得S4－S2＝3a4－3a2，所以a3＋a4＝3a4－3a2，即3a2＋a2q－2a2q2＝0.所以2q2－q－3＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)．得q＝代入S2＝3a2＋2，即a1＋a1q＝3a1q＋2，解得a1＝－1.
7．(2018山西太原質檢)已知數(shù)列{an}中，an＝－4n＋5，等比數(shù)列{bn}的公比q滿足q＝an－an－1(n≥2)，且b1＝a2，則|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝( )
A．1－4n B．4n－1
C. D.
答案 B
解析 因為q＝an－an－1＝－4，b1＝a2＝－3，所以bn＝b1qn－1＝－3(－4)n－1，所以|bn|＝|－3(－4)n－1|＝34n－1，即數(shù)列{|bn|}是首項為3，公比為4的等比數(shù)列，所以|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＝4n－1，故選B.
8．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，則q＝________.
答案 2
解析 由等比數(shù)列的性質得a＝a3a5，
又因為a3a5＝4(a4－1)，所以a＝4(a4－1)，
解得a4＝2.
又a1＝，所以q3＝＝8，解得q＝2.
9．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2a4＝9，則a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝________.
答案
解析 由a2a4＝9知a＝9，結合a1＝1，a3＝a1q2知a3＝3，即q2＝3，所以a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝＝＝.
10．(2018長春調研)在正項等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n＝________.
答案 14
解析 設bn＝anan＋1an＋2.
等比數(shù)列{an}的公比為q，則
＝＝q3.
所以數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，設其公比為q1，
又b1＝a1a2a3＝4，b4＝a4a5a6＝12.
又bn－1＝an－1anan＋1＝324.
所以4q＝324，
B組 能力關
1．(2018北京高考)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為( )
A.f B.f C.f D.f
答案 D
解析 由已知，單音的頻率構成一個首項為f，公比為的等比數(shù)列，記為{bn}，共有13項．由等比數(shù)列的通項公式可知，b8＝b1q7＝f()7＝f.
2．在數(shù)列{an}中，若a1＝1，an＋an＋1＝(n∈N*)，則a1＋a2＋…＋a2n＝________.
答案
解析 由an＋an＋1＝得a1＋a2＝，a3＋a4＝，a5＋a6＝，…，a2n－1＋a2n＝，所以a1＋a2＋…＋a2n＝＋＋＋…＋＝＝.
3．(2016全國卷Ⅰ)設等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________．
答案 64
解析 等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，
可得q(a1＋a3)＝5，解得q＝.
由a1＋q2a1＝10，解得a1＝8.
4．(2018北京高考)設{an}是等差數(shù)列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.
(1)求{an}的通項公式；
解 (1)由已知，設{an}的公差為d，則
由a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝5ln 2，
又a1＝ln 2，
所以d＝ln 2，所以{an}的通項公式為an＝ln 2＋(n－1)ln 2＝nln 2(n∈N*)．
5．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，anan＋1＝n，記T2n為{an}的前2n項的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.
(1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并求出bn；
(2)求T2n.
解 (1)∵anan＋1＝n，
∴an＋1an＋2＝n＋1，
∴＝，即an＋2＝an.
∵bn＝a2n＋a2n－1，
∴＝＝＝，
∵a1＝1，a1a2＝，
∴a2＝，∴b1＝a1＋a2＝.
∴{bn}是首項為，公比為的等比數(shù)列．
∴bn＝n－1＝.
(2)由(1)可知，an＋2＝an，
∴a1，a3，a5，…是以a1＝1為首項，以為公比的等比數(shù)列；a2，a4，a6，…是以a2＝為首項，以為公比的等比數(shù)列，
∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－.
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