2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 平面向量與復(fù)數(shù) 專題研究 平面向量的綜合應(yīng)用練習(xí) 理.doc
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專題研究 平面向量的綜合應(yīng)用 1．設(shè)a，b是非零向量，若函數(shù)f(x)＝(xa＋b)(a－xb)的圖像是一條直線，則必有( ) A．a(chǎn)⊥b B．a(chǎn)∥b C．|a|＝|b| D．|a|≠|(zhì)b| 答案 A 解析 f(x)＝(xa＋b)(a－xb)的圖像是一條直線，即f(x)的表達(dá)式是關(guān)于x的一次函數(shù)或常函數(shù)．而(xa＋b)(a－xb)＝－x2ab＋(a2－b2)x＋ab，故ab＝0，即a⊥b，故應(yīng)選A. 2．在平行四邊形ABCD中，＝a，＝b，則當(dāng)(a＋b)2＝(a－b)2時(shí)，該平行四邊形為( ) A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．以上都不正確 答案 B 解析 在平行四邊形中，a＋b＝＋＝， a－b＝－＝，∵|a＋b|＝|a－b|，∴||＝||，對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形，故選B. 3．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，則|a－b|的最大值為( ) A．1 B. C. D．2 答案 B 解析 ∵a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，∴a－b＝(0，sinθ－cosθ)． ∴|a－b|＝＝. ∴|a－b|最大值為.故選B. 4．已知A，B是圓心為C半徑為的圓上兩點(diǎn)，且||＝，則等于( ) A．－ B. C．0 D. 答案 A 解析 由于弦長(zhǎng)|AB|＝與半徑相同，則∠ACB＝60?＝－＝－||||cos∠ACB＝－cos60＝－. 5．(2017保定模擬)若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|－|＝|＋－2|，則△ABC的形狀是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 答案 B 解析 ＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－， ∴|＋|＝|－|?|＋|2＝|－|2?＝0， ∴三角形為直角三角形，故選B. 6．(2015山東，理)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∠ABC＝60，則＝( ) A．－a2 B．－a2 C.a2 D.a2 答案 D 解析 在菱形ABCD中，＝，＝＋，所以＝(＋)＝＋＝a2＋aacos60＝a2＋a2＝a2. 7．(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，理)已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則(＋)的最小值是( ) A．－2 B．－ C．－ D．－1 答案 B 解析 如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，設(shè)P(x，y)，則＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以(＋)＝(－x，－y)(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－)2－，當(dāng)x＝0，y＝時(shí)，(＋)取得最小值，為－，選B. 8．在△ABC中，＝a，＝b，＝c，且ab＝bc＝ca，則△ABC的形狀是( ) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形 答案 D 解析 因a，b，c均為非零向量，且ab＝bc，得b(a－c)＝0?b⊥(a－c)． 又a＋b＋c＝0?b＝－(a＋c)，∴[－(a＋c)](a－c)＝0?a2＝c2，得|a|＝|c|. 同理|b|＝|a|，∴|a|＝|b|＝|c|. 故△ABC為等邊三角形． 9．(2018天津模擬)已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE＝2EF，則的值為( ) A．－ B. C. D. 答案 B 解析 如圖以直線AC為x軸，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則 A(0，0)，C(1，0)，B(，)，F(xiàn)(1，)， ∴＝(1，)，＝(，－)． ∴＝－＝，選B. 10．(2018安徽師大附中月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量與關(guān)于y軸對(duì)稱，向量a＝(1，0)，則滿足不等式2＋a≤0的點(diǎn)A(x，y)的集合用陰影表示為( ) 答案 B 解析 ∵A(x，y)，向量與關(guān)于y軸對(duì)稱，∴B(－x，y)，＝(－2x，0)．∵2＋a≤0，∴x2＋y2－2x＝(x－1)2＋y2－1≤0，故滿足要求的點(diǎn)在以(1，0)為圓心，1為半徑的圓上以及圓的內(nèi)部．故選B. 11．(2016四川)在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足||＝||＝||，＝＝＝－2，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足||＝1，＝，則||2的最大值是( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 由||＝||＝||知，D為△ABC的外心．由＝＝知，D為△ABC的垂心，所以△ABC為正三角形，易知其邊長(zhǎng)為2.取AC的中點(diǎn)E，因?yàn)镸是PC的中點(diǎn)，所以EM＝AP＝，所以||max＝|BE|＋＝，則||max2＝，選B. 12．(2015山東，文)過點(diǎn)P(1，)作圓x2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則＝________． 答案 解析 在平面直角坐標(biāo)系xOy中作出圓x2＋y2＝1及其切線PA，PB，如圖所示．連接OA，OP，由圖可得|OA|＝|OB|＝1，|OP|＝2，||＝||＝，∠APO＝∠BPO＝，則，的夾角為，所以＝||||cos＝. 13．在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60，E為CD的中點(diǎn)．若＝1，則AB的長(zhǎng)為________． 答案 解析 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，＝＋， ＝＋＝－＋. 所以＝(＋)(－＋)＝－||2＋||2＋＝－||2＋||＋1＝1，解方程得||＝(舍去||＝0)，所以線段AB的長(zhǎng)為. 14．設(shè)F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A、B、C為該拋物線上三點(diǎn)，若＋＋＝0，則||＋||＋||＝________． 答案 6 解析 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1，0)，所以＋＋＝(x1＋x2＋x3－3，y1＋y2＋y3)＝0，得x1＋x2＋x3＝3.又由拋物線定義可得||＋||＋||＝(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＝6. 15.如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是的三等分點(diǎn)，M，N是線段AB的三等分點(diǎn)，若OA＝6，則＝________． 答案 26 解析 連接OC、OD、MC、ND，則＝(＋)(＋)＝＋＋＋＝－4＋6＋6＋18＝26. 16．(2014陜西)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，點(diǎn)P(x，y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上，且＝m＋n(m，n∈R)． (1)若m＝n＝，求||； (2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值． 答案 (1)2 (2)1 解析 (1)∵m＝n＝，＝(1，2)，＝(2，1)， ∴＝(1，2)＋(2，1)＝(2，2)． ∴||＝＝2. (2)∵＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)， ∴ 兩式相減，得m－n＝y(tǒng)－x.令m－n＝t，由圖知，當(dāng)直線y＝x＋t過點(diǎn)B(2，3)時(shí)，t取得最大值1，故m－n的最大值為1. 17．(2017江西上饒中學(xué)調(diào)研)已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，mn＝sin2C. (1)求角C的大??； (2)若sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，且(－)＝18，求c邊的長(zhǎng)． 答案 (1) (2)6 解析 (1)mn＝sinAcosB＋sinBcosA＝sin(A＋B)， 對(duì)于△ABC，A＋B＝π－C，0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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