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專題04 平面向量 1．平面向量的有關(guān)概念問題 名稱 定義 表示方法 注意事項(xiàng) 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或模) 向量或； ?；? 平面向量是自由向量 零向量 長度等于0的向量，方向是任意的 記作 零向量方向是任意的 單位向量 長度等于1個單位的向量 常用表示 非零向量的單位向量是 平行向量 方向相同或相反的非零向量 與共線可記為 與任一向量平行或共線 共線向量 平行向量又叫共線向量 相等向量 長度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小 相反向量 長度相等且方向相反的向量 的相反向量為 2．平面向量的線性運(yùn)算 (1)應(yīng)用平行四邊形法則與三角形法則進(jìn)行向量的加法運(yùn)算與減法運(yùn)算，注意法則應(yīng)用的區(qū)分，向量共起點(diǎn)時(shí)可以使用平行四邊形法則；一個向量的終點(diǎn)在另一個向量的起點(diǎn)時(shí)，這兩個向量的加法則可以使用三角形法則，如. (2)共線向量體現(xiàn)了兩個向量在同向或反向的情況下其模的大小的等量關(guān)系，通?？杀硎緸椋渲?，為確定的常數(shù). 3．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理反映了如何用平面內(nèi)兩個不共線的向量來唯一線性表示任意向量的原理，數(shù)學(xué)表達(dá)式為，此處要不共線，要唯一確定.通常把不共線的稱為一組基底.應(yīng)該明確基底不唯一，只要兩個向量不共線，都可以作為基底去表示平面內(nèi)的任意一個向量. (2)當(dāng)基底單位正交時(shí)（即垂直且模為1），可以建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)來表示向量，，也可以利用向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)的確定來表示向量，如若，則. (3)向量的坐標(biāo)化線性運(yùn)算：設(shè)， 則，； 若，則. 4．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及其坐標(biāo)化運(yùn)算 (1)掌握向量數(shù)量積運(yùn)算的定義，理解其幾何意義：在方向上的投影：.注意根據(jù)向量夾角的變化，其投影可能為負(fù)，可能為正，也可能為0. (2)掌握向量的運(yùn)算法則及相關(guān)性質(zhì)：如；；若，則等，并作簡單的應(yīng)用. (3)掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)化運(yùn)算：設(shè)，則；；若，則；. 5．平面向量的應(yīng)用 (1)應(yīng)用向量考查模的大小或模的取值范圍問題，可以從向量坐標(biāo)化的角度進(jìn)行處理，注意對模的使用，同時(shí)注意對等式含義的表述，如表示向量的終點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上等.也可以利用條件中所呈現(xiàn)的幾何意義，結(jié)合向量數(shù)量積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化. (2)以向量為載體研究三角函數(shù)問題，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，確立三角函數(shù)關(guān)系式，并利用三角恒等變換化簡為的形式，然后利用整體代換來考查函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)等. 一、平面向量的概念及線性運(yùn)算 【例1】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，若，則等于 A．a(chǎn)＋b B．a(chǎn)＋b C．a(chǎn)?b D．a(chǎn)?b 【答案】A 【解析】.故選A． 【名師點(diǎn)睛】（1）對于向量的概念問題：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件，要特別注意零向量的特殊性． （2）平面向量的線性運(yùn)算是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，題型以選擇題、填空題為主，難度較小，屬中、低檔題，主要考查向量加法的平行四邊形法則與三角形法則及減法的三角形法則或向量相等，做題時(shí)，要注意三角形法則與平行四邊形法則的要素． 【例2】已知為內(nèi)一點(diǎn)，且，，若,,三點(diǎn)共線，則的值為 A． B． C． D． 【答案】B 【名師點(diǎn)睛】（1）證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線． （2）對于三點(diǎn)共線有以下結(jié)論：對于平面上的任一點(diǎn)O，不共線，滿足(x，y∈R)，則P，A，B共線?x＋y=1. 二、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 【例3】如圖，在中，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在上且 ，則實(shí)數(shù)的值為 A．1 B． C． D． 【答案】D 【名師點(diǎn)睛】應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用．當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的． 【例4】已知向量，若與共線，則 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依題意，得，， 因?yàn)榕c共線，則， 解得，故選B． 【名師點(diǎn)睛】（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)． （2）向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對位置有關(guān)系．兩個相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的． 三、平面向量的數(shù)量積 【例5】已知是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)在邊上，且，則的值為 A． B． C． D． 【答案】B 【名師點(diǎn)睛】兩向量的夾角是指當(dāng)兩向量的起點(diǎn)相同時(shí)，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點(diǎn)不同，應(yīng)通過移動，使其起點(diǎn)相同，再觀察夾角． 【例6】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則向量與的夾角的余弦值為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依題意，， 故的夾角的余弦值為，故選B． 【名師點(diǎn)睛】兩向量夾角的范圍為[0，π]，特別地當(dāng)兩向量共線且同向時(shí)，其夾角為0，共線且反向時(shí)，其夾角為π.在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍． 四、平面向量的應(yīng)用 【例7】已知非零向量，，，，是一組平行向量，且數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_____________. 【答案】 【名師點(diǎn)睛】向量的兩個作用： (1)載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題； (2)工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題． 【例8】G是的重心，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若，則角 A．90 B．60 C．45 D．30 【答案】D 【解析】因?yàn)镚是的重心，所以有. 又，所以a∶b∶c＝1∶1∶1， 設(shè)c＝，則有a＝b＝1， 由余弦定理可得，cosA＝＝，所以A＝30，故選D. 【名師點(diǎn)睛】若點(diǎn)G是的重心，則或(其中P為平面內(nèi)任意一點(diǎn))． 反之，若，則點(diǎn)G是的重心． 1．已知向量，則向量在向量上的投影是 A．2 B．1 C．?1 D．?2 【答案】D 【解析】向量在向量上的投影是，選D． 2．已知向量和的夾角為，且，則等于 A． B． C． D． 【答案】D 3．已知正方形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，那么 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以， 點(diǎn)是的中點(diǎn)， 所以， 所以，故選D． 4．已知向量，且，則實(shí)數(shù) A． 3 B． 1 C． 4 D． 2 【答案】A 【解析】, 根據(jù)得,解得,故選A． 5．已知向量滿足，若，則的最小值為 A． B． C． D． 【答案】C 6．在中，，點(diǎn)是的重心，則的最小值是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)的中點(diǎn)為， 因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，所以， 再令，則， ， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故選B． 7．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，，其中 ，且，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依題意，拋物線，準(zhǔn)線方程為，故在拋物線C上. 因?yàn)?，所以? 則，故選B． 8．已知向量的夾角為，且，若，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則__________. 【答案】 9．已知兩個不共線向量的夾角為，M、N分別為線段OA、OB的中點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，且，則的最小值為_______． 【答案】 【解析】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以， 所以，， 表示原點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的距離的平方，它的最小值為，故填． 1．（2018新課標(biāo)全國Ⅱ理科）已知向量，滿足，，則 A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【解析】因?yàn)樗赃xB. 2．（2018新課標(biāo)全國Ⅰ理科）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則= A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 3．（2017新課標(biāo)全國Ⅱ理科）已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如圖所示，以為軸，的垂直平分線為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系， 則，，， 設(shè)，所以，，， 所以，， 當(dāng)時(shí)，所求的最小值為，故選B． 【名師點(diǎn)睛】平面向量中有關(guān)最值問題的求解通常有兩種思路： ①“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷； ②“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決． 4．（2018新課標(biāo)全國Ⅲ理科）已知向量，，．若，則________． 【答案】 5．（2017新課標(biāo)全國Ⅰ理科）已知向量a，b的夾角為60，|a|=2，|b|=1，則| a +2b |=___________． 【答案】 【解析】方法一：， 所以. 方法二：利用如下圖形，可以判斷出的模長是以2為邊長，一夾角為60的菱形的對角線的長度，則為. 【名師點(diǎn)睛】平面向量中涉及有關(guān)模長的問題時(shí)，常用到的通法是將模長進(jìn)行平方，利用向量數(shù)量積的知識進(jìn)行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一個工具型的知識，具備代數(shù)和幾何特征，在做這類問題時(shí)可以使用數(shù)形結(jié)合的思想，會加快解題速度.