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第4課時 隨機事件的概率 1．將一個骰子拋擲一次，設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不超過3，事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于4，事件C表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點，則(　　) A．A與B是對立事件 B．A與B是互斥而非對立事件 C．B與C是互斥而非對立事件 D．B與C是對立事件 答案　A 解析　由題意知，事件A包含的基本事件為向上點數(shù)為1，2，3，事件B包含的基本事件為向上的點數(shù)為4，5，6.事件C包含的點數(shù)為1，3，5.A與B是對立事件，故選A. 2．從一堆產(chǎn)品(其中正品與次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是對立事件的是(　　) A．恰好有1件次品和恰好有2件次品 B．至少有1件次品和全是次品 C．至少有1件正品和至少有1件次品 D．至少有1件次品和全是正品 答案　A 解析　依據(jù)互斥和對立事件的定義知，B，C都不是互斥事件；D不但是互斥事件而且是對立事件；只有A是互斥事件但不是對立事件． 3．(2018廣東茂名模擬)在{1，3，5}和{2，4}兩個集合中各取一個數(shù)字組成一個兩位數(shù)，則這個數(shù)能被4整除的概率是(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 答案　D 解析　符合條件的所有兩位數(shù)為12，14，21，41，32，34，23，43，52，54，25，45，共12個，能被4整除的數(shù)為12，32，52，共3個，故所求概率P＝＝. 4．4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，若從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　從4張卡片中抽取2張的方法有6種，和為奇數(shù)的情況有4種，∴P＝. 5．從存放的號碼分別為1，2，3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統(tǒng)計結(jié)果如下： 卡片號碼 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次數(shù) 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9 則取到號碼為奇數(shù)的卡片的頻率是(　　) A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37 答案　A 解析　取到號碼為奇數(shù)的卡片的次數(shù)為：13＋5＋6＋18＋11＝53，則所求的頻率為＝0.53，故選A. 6．(2016天津改編)甲、乙兩人下棋，和棋的概率為，乙獲勝的概率為，則甲獲勝的概率和甲不輸?shù)母怕史謩e為(　　) A.， B.， C.， D.， 答案　C 解析　“甲獲勝”是“和棋或乙勝”的對立事件，所以“甲獲勝”的概率P＝1－－＝. 設(shè)事件A為“甲不輸”，則A可看作是“甲勝”與“和棋”這兩個互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝.(或設(shè)事件A為“甲不輸”，則A可看作是“乙勝”的對立事件．所以P(A)＝1－＝) 7．(2013陜西文)對一批產(chǎn)品的長度(單位：毫米)進行抽樣檢測，如圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖．根據(jù)標準，產(chǎn)品長度在區(qū)間[20，25)上為一等品，在區(qū)間[15，20)和[25，30)上為二等品，在區(qū)間[10，15)和[30，35]上為三等品．用頻率估計概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機抽取1件，則其為二等品的概率是(　　) A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45 答案　D 解析　由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知，樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間[25，30)上的頻率為1－5(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，則二等品的頻率為0.25＋0.045＝0.45，故任取1件為二等品的概率為0.45. 8．我國古代有著輝煌的數(shù)學研究成果．《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》……《緝古算經(jīng)》等10部專著，有著豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學的重要文獻．這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時期．某中學擬從這10部名著中選擇的2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容，則所選的2部名著中至少有1部是魏晉南北朝時期的名著的概率為 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　方法一：從10部名著中選擇2部名著的方法數(shù)為C102＝45，所選的2部都為魏晉南北朝時期的名著的方法數(shù)為C72＝21，只有1部為魏晉南北朝時期的名著的方法數(shù)為C71C31＝21，于是事件“所選的2部名著中至少有1部是魏晉南北朝時期的名著”的概率P＝＝.故選A. 方法二：從10部名著中選擇2部名著的方法數(shù)為C102＝45，所選的2部都不是魏晉南北朝時期的名著的方法數(shù)為C32＝3，由對立事件的概率計算公式得P＝1－＝.故選A. 9．將一枚骰子拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別為b，c，則方程x2＋bx＋c＝0有實根的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　若方程有實根，則Δ＝b2－4c≥0，當有序?qū)崝?shù)對(b，c)的取值為(6，6)，(6，5)，…，(6，1)，(5，6)，(5，5)，…，(5，1)，(4，4)，…，(4，1)，(3，2)，(3，1)，(2，1)時方程有實根，共19種情況，而(b，c)等可能的取值共有36種情況，所以，方程有實根的概率為P＝. 10．若將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各面上分別標有1，2，3，4，5，6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和為4的概率是________． 答案　 解析　本題基本事件共66個，點數(shù)和為4的有3個事件為(1，3)，(2，2)，(3，1)，故P＝＝. 11．據(jù)統(tǒng)計，某食品企業(yè)在一個月內(nèi)被消費者投訴次數(shù)為0，1，2的概率分別為0.4，0.5，0.1.則該企業(yè)在一個月內(nèi)被消費者投訴不超過1次的概率為________． 答案　0.9 解析　方法一：記“該食品企業(yè)在一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)為0”為事件A，“該食品企業(yè)在一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)為1”為事件B，“該食品企業(yè)在一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)為2”為事件C，“該食品企業(yè)在一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)不超過1”為事件D，而事件D包含事件A與B，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9. 方法二：記“該食品企業(yè)在一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)為2”為事件C，“該食品企業(yè)在一個月內(nèi)被消費者投訴不超過一次”為事件D，由題意知C與D是對立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.1＝0.9. 12．(2018江蘇蘇北四市調(diào)研)從1，2，3，4，5，6這六個數(shù)中一次隨機地取兩個數(shù)，則所取兩個數(shù)的和能被3整除的概率為________． 答案　 解析　從六個數(shù)中一次隨機地取兩個數(shù)，有15種等可能的結(jié)果，而所取兩個數(shù)的和能被3整除包含5種結(jié)果，即(1，2)，(1，5)，(2，4)，(3，6)，(4，5)，∴所取兩個數(shù)的和能被3整除的概率為＝. 13．某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下： 賠付金額/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000 車輛數(shù)/輛 500 130 100 150 120 (1)若每輛車的投保金額均為2 800元，估計賠付金額大于投保金額的概率； (2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4 000元的概率． 答案　(1)0.27　(2)0.24 解析　(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3 000元”，B表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12. 由于投保金額為2 800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是3 000元和4 000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27. (2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4 000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機的有0.11 000＝100輛，而賠付金額為4 000元的車輛中，車主為新司機的有0.2120＝24輛． 所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4 000元的頻率為＝0.24， 由頻率估計概率得P(C)＝0.24. 14．下表為某班的英語及數(shù)學成績，全班共有學生50人，成績分為1～5分五個檔次．例如表中所示英語成績?yōu)?分的學生共14人，數(shù)學成績?yōu)?分的共5人．設(shè)x，y分別表示英語成績和數(shù)學成績. 　　　　 y/分 　人數(shù) x分 5 4 3 2 1 5 1 3 1 0 1 4 1 0 7 5 1 3 2 1 0 9 3 2 1 b 6 0 a 1 0 0 1 1 3 (1)x＝4的概率是多少？x＝4且y＝3的概率是多少？x≥3的概率是多少？ (2)x＝2的概率是多少？a＋b的值是多少？ 答案　(1)，，　(2)，3 解析　(1)P(x＝4)＝＝； P(x＝4且y＝3)＝，P(x≥3)＝P(x＝3)＋P(x＝4)＋P(x＝5) ＝＋＋＝. (2)P(x＝2)＝1－P(x＝1)－P(x≥3)＝1－－＝. 又∵P(x＝2)＝＝，∴a＋b＝3. 15．(2018遼寧六盤山高級中學一模)某中學有初中學生1 800人，高中學生1 200人．為了解學生本學期課外閱讀時間，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，先統(tǒng)計了他們課外閱讀時間，然后按“初中學生”和“高中學生”分為兩組，再將每組學生的閱讀時間(單位：小時)分為5組：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]，并分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖． (1)寫出a的值； (2)試估計該校所有學生中，閱讀時間不少于30個小時的學生人數(shù)； (3)從閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率． 答案　(1)0.03　(2)870　(3)0.7 解析　(1)由題意得a＝0.03. (2)∵初中生中，閱讀時間不少于30個小時的學生頻率為(0.020＋0.005)10＝0.25. ∴所有初中生中，閱讀時間不少于30個小時的學生約有0.251 800＝450人． 同理，高中生中，閱讀時間不少于30個小時的學生頻率為(0.03＋0.005)10＝0.35， ∴所有高中生中．閱讀時間不少于30個小時的學生約有0.351 200＝420人． ∴該校所有學生中，閱讀時間不少于30個小時的學生人數(shù)約有450＋420＝870. (3)由分層抽樣知，抽取的初中生有60名，高中生有40名．記“從閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取2人，至少抽到1名高中生”為事件A. 初中生中，閱讀時間不足10個小時的學生頻率為0.00510＝0.05，樣本人數(shù)為0.0560＝3. 高中生中，閱讀時間不足10個小時的學生頻率為0.00510＝0.05，樣本人數(shù)為0.0540＝2. 記這3名初中生為A1，A2，A3，這2名高中生為B1，B2. 則從閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取2人，所有可能的情況有C52＝10種 其中至少有一名高中生的情況有C52－C32＝7種 ∴所求概率為＝0.7. 16．(2018四川成都一診)已知國家某5A級大型景區(qū)對擁擠等級與每百游客數(shù)量n(單位：百人)的關(guān)系有如下規(guī)定：當n∈[0，100)時，擁擠等級為“優(yōu)”；當n∈[100，200)時，擁擠等級為“良”；當n∈[200，300)時，擁擠等級為“擁擠”；當n≥300時，擁擠等級為“嚴重擁擠”．該景區(qū)對6月份的游客數(shù)量作出如圖的統(tǒng)計數(shù)據(jù)． (1)下面是根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到的頻率分布表，求出a，b的值，并估計該景區(qū)6月份游客人數(shù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)； 游客數(shù)量 (單位：百人) [0，100) [100，200) [200，300) [300，400] 天數(shù) a 10 4 1 頻率 b (2)某人選擇在6月1日至6月5日這5天中任選2天到該景區(qū)游玩，求他這2天遇到的游客擁擠等級均為“優(yōu)”的概率． 答案　(1)15，，120(百人)　(2) 解析　(1)由題圖知游客人數(shù)在[0，100)范圍內(nèi)共有15天，∴a＝15，b＝＝. 游客人數(shù)的平均數(shù)為 50＋150＋250＋350＝120(百人)． (2)設(shè)A表示事件“2天遇到的游客擁擠等級均為‘優(yōu)’”．從5天中任選2天的選擇方法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10個基本事件，其中事件A包括(1，4)，(1，5)，(4，5)，共3個基本事件，∴P(A)＝. 即他這2天遇到的游客擁擠等級均為“優(yōu)”的概率為. 17．(2017課標全國Ⅲ，文)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率； (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率． 答案　(1)0.6　(2)0.8 解析　(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25 ℃.由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25 ℃的頻率為＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6. (2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時， 若最高氣溫不低于25 ℃，則Y＝6450－4450＝900； 若最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，則Y＝6300＋2(450－300)－4450＝300； 若最高氣溫低于20 ℃，則Y＝6200＋2(450－200)－4450＝－100. 所以，Y的所有可能值為900，300，－100. Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20 ℃，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20 ℃的頻率為＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8. 1．從裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球，則與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是以下事件： ①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球．中的哪幾個(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 答案　A 解析　從口袋內(nèi)一次取出2個球，這個試驗的基本事件空間Ω＝{(白，白)，(紅，紅)，(黑，黑)，(紅，白)，(紅，黑)，(黑，白)}，包含6個基本事件，當事件A“兩球都為白球”發(fā)生時，①②不可能發(fā)生，且A不發(fā)生時，①不一定發(fā)生，②不一定發(fā)生，故非對立事件，而A發(fā)生時，③可以發(fā)生，故不是互斥事件． 2．(2013江西)集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　從A、B中各取一個數(shù)有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)共6種情況，其中和為4的有(2，2)，(3，1)，共2種情況，所求概率P＝＝，選C. 3．4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一：4位同學各自在周六、周日任選一天參加公益活動，共有24＝16(種)結(jié)果，而周六、周日都有同學參加公益活動有兩種情況：①一天一人，另一天三人，C41A22＝8(種)；②每天二人，有C42＝6(種)，所以P＝＝. 方法二(間接法)：4位同學各自在周六、周日任選一天參加公益活動，共有24＝16(種)結(jié)果，而4人都選周六或周日有2種結(jié)果，所以P＝1－＝.