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排列組合 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. 安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有( ) A. 12種 B. 18種 C. 24種 D. 36種 （正確答案）D 【分析】 本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，注意分組方法以及排列方法的區(qū)別，考查計(jì)算能力． 把工作分成3組，然后安排工作方式即可． 【解答】 解：4項(xiàng)工作分成3組，可得：C42=6， 安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成， 可得：6A33=36種． 故選D． 2. 5位同學(xué)站成一排照相，其中甲與乙必須相鄰，且甲不能站在兩端的排法總數(shù)是( ) A. 40 B. 36 C. 32 D. 24 （正確答案）B 解：分類討論，甲站第2個(gè)位置，則乙站1，3中的一個(gè)位置，不同的排法有C21A33=12種； 甲站第3個(gè)位置，則乙站2，4中的一個(gè)位置，不同的排法有C21A33=12種； 甲站第4個(gè)位置，則乙站3，5中的一個(gè)位置，不同的排法有C21A33=12種， 故共有12+12+12=36． 故選：B． 分類討論，對(duì)甲乙優(yōu)先考慮，即可得出結(jié)論． 本題考查計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，比較基礎(chǔ)． 3. 從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，生物四科競(jìng)賽，其中甲不能參加生物競(jìng)賽，則不同的參賽方案種數(shù)為( ) A. 48 B. 72 C. 90 D. 96 （正確答案）D 解：根據(jù)題意，從5名學(xué)生中選出4名分別參加競(jìng)賽， 分2種情況討論： ①、選出的4人沒(méi)有甲，即選出其他4人即可，有A44=24種情況， ②、選出的4人有甲，由于甲不能參加生物競(jìng)賽，則甲有3種選法， 在剩余4人中任選3人，參加剩下的三科競(jìng)賽，有A43=24種選法， 則此時(shí)共有324=72種選法， 則有24+72=96種不同的參賽方案； 故選：D． 根據(jù)題意，分2種情況討論選出參加競(jìng)賽的4人，①、選出的4人沒(méi)有甲，②、選出的4人有甲，分別求出每一種情況下分選法數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案． 本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，注意優(yōu)先考慮特殊元素． 4. 為了迎接一年一度的元宵節(jié)，某商場(chǎng)大樓安裝了5個(gè)彩燈，它們閃亮的順序不固定，每個(gè)彩燈閃亮只能是紅、橙、黃、綠、藍(lán)中的一種顏色，且這5個(gè)彩燈閃亮的顏色各不相同，記這5個(gè)彩燈有序地閃亮一次為一個(gè)閃爍，在每個(gè)閃爍中，每秒鐘有且只有一個(gè)彩燈閃亮，且相鄰兩個(gè)閃爍的時(shí)間間隔均為5秒，如果要實(shí)現(xiàn)所有不同的閃爍，那么需要的時(shí)間至少是( ) A. 1190秒 B. 1195秒 C. 1200秒 D. 1205秒 （正確答案）B 解：根據(jù)題意，共有5種不同的顏色，其閃爍的順序有A55=120個(gè)不同的閃爍， 而每個(gè)閃爍時(shí)間為5秒，閃爍的時(shí)間共5120=600秒； 每?jī)蓚€(gè)閃爍之間的間隔為5秒，閃爍間隔的時(shí)間5(120-1)=595秒． 那么需要的時(shí)間至少是600+595=1195秒． 故選：B． 根據(jù)題意，先依據(jù)排列數(shù)公式計(jì)算彩燈閃爍時(shí)間的情況數(shù)目，進(jìn)而分析可得彩燈閃爍的總時(shí)間以及閃爍之間的間隔總時(shí)間，將其相加即可得答案． 本題考查的是排列、組合的應(yīng)用，要求把排列問(wèn)題包含在實(shí)際問(wèn)題中，解題的關(guān)鍵是看清題目的實(shí)質(zhì)，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題． 5. 用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為( ) A. 24 B. 48 C. 60 D. 72 （正確答案）D 解：要組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則個(gè)位只能排1，3，5中的一個(gè)數(shù)，共有3種排法， 然后還剩4個(gè)數(shù)，剩余的4個(gè)數(shù)可以在十位到萬(wàn)位4個(gè)位置上全排列，共有A44=24種排法． 由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，由1、2、3、4、5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中奇數(shù)有324=72個(gè)． 故選：D． 用1、2、3、4、5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，可以看作是填5個(gè)空，要求個(gè)位是奇數(shù)，其它位置無(wú)條件限制，因此先從3個(gè)奇數(shù)中任選1個(gè)填入，其它4個(gè)數(shù)在4個(gè)位置上全排列即可． 本題考查了排列、組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題，此題是有條件限制排列，解答的關(guān)鍵是做到合理的分布，是基礎(chǔ)題． 6. 我們把各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)稱為“吉祥數(shù)”，例如123就是一個(gè)“吉祥數(shù)”，則這樣的“吉祥數(shù)”一共有( ) A. 28個(gè) B. 21個(gè) C. 35個(gè) D. 56個(gè) （正確答案）B 解：因?yàn)?+1+4=6，1+2+3=6，2+2+2=6，0+1+5=6，0+2+4=6，0+3+3=6，0+0+6=6， 所以可以分為7類， 當(dāng)三個(gè)位數(shù)字為1，1，4時(shí)，三位數(shù)有3個(gè)， 當(dāng)三個(gè)位數(shù)字為1，2，3時(shí)，三位數(shù)有A33=6個(gè)， 當(dāng)三個(gè)位數(shù)字為2，2，2時(shí)，三位數(shù)有1個(gè)， 當(dāng)三個(gè)位數(shù)字為0，1，5時(shí)，三位數(shù)有4個(gè)， 當(dāng)三個(gè)位數(shù)字為0，2，4時(shí)，三位數(shù)有4個(gè)， 當(dāng)三個(gè)位數(shù)字為0，3，3時(shí)，三位數(shù)有2個(gè)， 當(dāng)三個(gè)位數(shù)字為0，0，6時(shí)，三位數(shù)有1個(gè)， 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得三位數(shù)共有3+6+1+4+4+2+1=21． 故選B． 根據(jù)1+1+4=6，1+2+3=6，2+2+2=6，0+1+5=6，0+2+4=6，0+3+3=6，0+0+6=6，所以可以分為7類，分別求出每一類的三位數(shù)，再根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到答案． 本題主要考查了分類計(jì)數(shù)原理，關(guān)鍵是找到三個(gè)數(shù)字之和為6的數(shù)分別是什么，屬于中檔題． 7. 哈市某公司有五個(gè)不同部門，現(xiàn)有4名在校大學(xué)生來(lái)該公司實(shí)習(xí)，要求安排到該公司的兩個(gè)部門，且每部門安排兩名，則不同的安排方案種數(shù)為( ) A. 40 B. 60 C. 120 D. 240 （正確答案）B 解：此問(wèn)題可分為兩步求解，第一步將四名大學(xué)生分為兩組，由于分法為2，2，考慮到重復(fù)一半，故分組方案應(yīng)為12C42種， 第二步將此兩組大學(xué)生分到5個(gè)部門中的兩個(gè)部門中，不同的安排方式有A52， 故不同的安排方案有12C42A52=60種， 故選：B． 本題是一個(gè)計(jì)數(shù)問(wèn)題，由題意可知，可分兩步完成計(jì)數(shù)，先對(duì)四名大學(xué)生分組，分法有12C42種，然后再排到5個(gè)部門的兩個(gè)部門中，排列方法有A52，計(jì)算此兩數(shù)的乘積即可得到不同的安排方案種數(shù)，再選出正確選項(xiàng) 本題考查排列組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解事件“某公司共有5個(gè)部門，有4名大學(xué)畢業(yè)生，要安排到該公司的兩個(gè)部門且每個(gè)部門安排2名，”將問(wèn)題分為兩步來(lái)求解． 8. 世博會(huì)期間，某班有四名學(xué)生參加了志愿工作.將這四名學(xué)生分配到A、B、C三個(gè)不同的展館服務(wù)，每個(gè)展館至少分配一人.若甲要求不到A館，則不同的分配方案有( ) A. 36種 B. 30種 C. 24種 D. 20種 （正確答案）C 解：根據(jù)題意，首先分配甲，有2種方法， 再分配其余的三人：分兩種情況，①其中有一個(gè)人與甲在同一個(gè)場(chǎng)館，有A33=6種情況， ②沒(méi)有人與甲在同一個(gè)場(chǎng)館，則有C32?A22=6種情況； 則若甲要求不到A館，則不同的分配方案有2(6+6)=24種； 故選C． 根據(jù)題意中甲要求不到A館，分析可得對(duì)甲有2種不同的分配方法，進(jìn)而對(duì)剩余的三人分情況討論，，①其中有一個(gè)人與甲在同一個(gè)場(chǎng)館，②沒(méi)有人與甲在同一個(gè)場(chǎng)館，易得其情況數(shù)目，最后由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案． 本題考查排列、組合的綜合運(yùn)用，注意題意中“每個(gè)展館至少分配一人”這一條件，再分配甲之后，需要對(duì)其余的三人分情況討論． 9. 五種不同商品在貨架上排成一排，其中A，B兩種必須連排，而C，D兩種不能連排，則不同的排法共有( ) A. 48種 B. 24種 C. 20種 D. 12種 （正確答案）B 解：根據(jù)題意，先將A、B看成一個(gè)“元素”，有2種不同的排法，將C、D單獨(dú)排列，也有2種不同的排法， 進(jìn)而分2種情況討論： 若A、B與第5個(gè)元素只有一個(gè)在C、D之間，則有2C21=4種情況， 若A、B與第5個(gè)元素都在C、D之間，有2種不同的排法， 則不同的排法共有22(2+4)=24種情況； 故選：B． 根據(jù)題意，首先分析A、B與C、D的安排情況：A，B兩種必須連排，將A、B看成一個(gè)“元素”，而C，D兩種不能連排，將C、D單獨(dú)排列；進(jìn)而根據(jù)題意分2種情況討論A、B與第5個(gè)元素與C、D的關(guān)系，進(jìn)而由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案． 本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分類討論，注意要優(yōu)先滿足受到限制的元素． 10. 在2016年巴西里約奧運(yùn)會(huì)期間，6名游泳隊(duì)員從左至右排成一排合影留念，最左邊只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法種數(shù)為( ) A. 216 B. 108 C. 432 D. 120 （正確答案）A 解：根據(jù)題意，最左邊只能排甲或乙，則分2種情況討論： ①、最左邊排甲，則先在剩余5個(gè)位置選一個(gè)安排乙，乙有5種情況， 再將剩余的4個(gè)人全排列，安排在其余4個(gè)位置，有A44=24種安排方法， 此時(shí)有524=120種情況， ①、最左邊排乙，由于最右端不能排甲，則甲有4個(gè)位置可選，有4種情況， 再將剩余的4個(gè)人全排列，安排在其余4個(gè)位置，有A44=24種安排方法， 此時(shí)有424=96種情況， 則不同的排法種數(shù)為120+96=216種； 故選：A． 根據(jù)題意，分2種情況討論：①、最左邊排甲，①、最左邊排乙，分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案． 本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，注意要先分析特殊元素，由本題的甲、乙． 11. 用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有( ) A. 144個(gè) B. 120個(gè) C. 96個(gè) D. 72個(gè) （正確答案）B 解：根據(jù)題意，符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4、5其中1個(gè)，末位數(shù)字為0、2、4中其中1個(gè)； 分兩種情況討論： ①首位數(shù)字為5時(shí)，末位數(shù)字有3種情況，在剩余的4個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，放在剩余的3個(gè)位置上，有A43=24種情況，此時(shí)有324=72個(gè)， ②首位數(shù)字為4時(shí)，末位數(shù)字有2種情況，在剩余的4個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，放在剩余的3個(gè)位置上，有A43=24種情況，此時(shí)有224=48個(gè)， 共有72+48=120個(gè)． 故選：B 根據(jù)題意，符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4、5其中1個(gè)，末位數(shù)字為0、2、4中其中1個(gè)；進(jìn)而對(duì)首位數(shù)字分2種情況討論，①首位數(shù)字為5時(shí)，②首位數(shù)字為4時(shí)，每種情況下分析首位、末位數(shù)字的情況，再安排剩余的三個(gè)位置，由分步計(jì)數(shù)原理可得其情況數(shù)目，進(jìn)而由分類加法原理，計(jì)算可得答案． 本題考查計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意，分析出滿足題意的五位數(shù)的首位、末位數(shù)字的特征，進(jìn)而可得其可選的情況． 12. 將編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六個(gè)小球放入編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六個(gè)盒子，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，若有且只有三個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)相同，則不同的放法總數(shù)是( ) A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 （正確答案）A 解：根據(jù)題意，有且只有三個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)相同， 在六個(gè)盒子中任選3個(gè)，放入與其編號(hào)相同的小球，有C63=20種選法， 剩下的3個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)不相同，假設(shè)這3個(gè)盒子的編號(hào)為4、5、6， 則4號(hào)小球可以放進(jìn)5、6號(hào)盒子，有2種選法， 剩下的2個(gè)小球放進(jìn)剩下的2個(gè)盒子，有1種情況， 則不同的放法總數(shù)是2021=40； 故選：A． 根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、在六個(gè)盒子中任選3個(gè)，放入與其編號(hào)相同的小球，由組合數(shù)公式可得放法數(shù)目，②、假設(shè)剩下的3個(gè)盒子的編號(hào)為4、5、6，依次分析4、5、6號(hào)小球的放法數(shù)目即可；進(jìn)而由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案． 本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是編號(hào)與放入的小球編號(hào)不相同的情況數(shù)目的分析． 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. 某校選定甲、乙、丙、丁、戊共5名教師去3個(gè)邊遠(yuǎn)學(xué)校支教，每學(xué)校至少1人，其中甲和乙必須在同一學(xué)校，甲和丙一定在不同學(xué)校，則不同的選派方案共有______ 種. （正確答案）30 解：因?yàn)榧缀鸵彝?，甲和丙不同地，所以?、2、1和3、1、1兩種分配方案， ①2、2、1方案：甲、乙為一組，從余下3人選出2人組成一組，然后排列，共有：C32A33=18種； ②3、1、1方案：在丁、戊中選出1人，與甲乙組成一組，然后排列，共有：C21A33=12種； 所以，選派方案共有18+12=30種． 故答案為30． 甲和乙同地，甲和丙不同地，所以有2、2、1和3、1、1兩種分配方案，再根據(jù)計(jì)數(shù)原理計(jì)算結(jié)果． 本題考查了分步計(jì)數(shù)原理，關(guān)鍵是分步，屬于中檔題． 14. 現(xiàn)有7件互不相同的產(chǎn)品，其中有4件次品，3件正品，每次從中任取一件測(cè)試，直到4件次品全被測(cè)出為止，則第三件次品恰好在第4次被測(cè)出的所有檢測(cè)方法有______ 種. （正確答案）1080 解：第三件次品恰好在第4次被測(cè)出，說(shuō)明第四次測(cè)出的是次品，而前三次有一次沒(méi)有測(cè)出次品，最后一件次品可能在第五次被測(cè)出，第六次，或者第七次被測(cè)出，由此知最后一件次品被檢測(cè)出可以分為三類，故所有的檢測(cè)方法有C31C31C41C31C21(1+21+211)=1080 故答案為：1080． 第三件次品恰好在第4次被測(cè)出，說(shuō)明第四次測(cè)出的是次品，而前三次有一次沒(méi)有測(cè)出次品，有分步原理計(jì)算即可 本題考查排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握計(jì)數(shù)原理及排列組合的公式，對(duì)問(wèn)題的理解、轉(zhuǎn)化也很關(guān)鍵． 15. 從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_________種.(用數(shù)字填寫答案) （正確答案）16 解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42=12，2女1男，有C22C41=4 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得，共有12+4=16種， 方法二，間接法：C63-C43=20-4=16種， 故答案為：16 方法一：直接法，分類即可求出， 方法二：間接法，先求出沒(méi)有限制的種數(shù)，再排除全是男生的種數(shù)． 本題考查了分類計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題 16. 用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有______ 個(gè).(用數(shù)字作答) （正確答案）1080 解：根據(jù)題意，分2種情況討論： ①、四位數(shù)中沒(méi)有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，即在1、3、5、7、9種任選4個(gè)，組成一共四位數(shù)即可， 有A54=120種情況，即有120個(gè)沒(méi)有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字四位數(shù)； ②、四位數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字， 在1、3、5、7、9種選出3個(gè)，在2、4、6、8中選出1個(gè)，有C53?C41=40種取法， 將取出的4個(gè)數(shù)字全排列，有A44=24種順序， 則有4024=960個(gè)只有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字的四位數(shù)； 則至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有120+960=1080個(gè)； 故答案為：1080． 根據(jù)題意，要求四位數(shù)中至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)，分2種情況討論：①、四位數(shù)中沒(méi)有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，②、四位數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，分別求出每種情況下四位數(shù)的數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案． 本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意要分類討論．