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培優(yōu)點十九 幾何概型 1.長度類幾何概型 例1：已知函數(shù)，，在定義域內任取一點，使的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先解出時的取值范圍：， 從而在數(shù)軸上區(qū)間長度占區(qū)間長度的比例即為事件發(fā)生的概率， ∴，故選C． 2．面積類幾何概型 （1）圖形類幾何概型 例2-1：如圖所示，在矩形中，，，圖中陰影部分是以為直徑的半圓，現(xiàn)在向矩形內隨機撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不計），根據(jù)你所學的概率統(tǒng)計知識，下列四個選項中最有可能落在陰影部分內的豆子數(shù)目是（ ） A．1000 B．2000 C．3000 D．4000 【答案】C 【解析】在矩形中，，，面積為，半圓的面積為， 故由幾何概型可知，半圓所占比例為，隨機撒4000粒豆子， 落在陰影部分內的豆子數(shù)目大約為3000，故選C． （2）線性規(guī)劃類幾何概型 例2-2：甲乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?小時，假定他們在一晝夜的時間段中隨機地到達，試求這兩艘船中至少有一艘在停泊位時必須等待的概率（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】設甲船到達的時間為，乙船到達的時間為， 則所有基本事件構成的區(qū)域Ω滿足， 這兩艘船中至少有一艘在停泊位時必須等待包含的基本事件構成的區(qū)域滿足，作出對應的平面區(qū)域如圖所示： 這兩艘船中至少有一艘在停泊位時必須等待的概率為， 故選D． 3．體積類幾何概型 例3：一個多面體的直觀圖和三視圖所示，是的中點，一只蝴蝶在幾何體內自由飛翔，由它飛入幾何體內的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】所求概率為棱錐的體積與棱柱體積的比值． 由三視圖可得，且，，兩兩垂直， 可得， 棱錐體積，而， ∴．從而．故選D． 對點增分集訓 一、單選題 1．如圖，邊長為2的正方形中有一陰影區(qū)域，在正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內的概率為．則陰影區(qū)域的面積約為（ ） A． B． C． D．無法計算 【答案】C 【解析】設陰影區(qū)域的面積為，，∴．故選C． 2．某景區(qū)在開放時間內，每個整點時會有一趟觀光車從景區(qū)入口發(fā)車，某人上午到達景區(qū)入口，準備乘坐觀光車，則他等待時間不多于10分鐘的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意，此人在50分到整點之間的10分鐘內到達，等待時間不多于10分鐘， ∴概率．故選B． 3．一只螞蟻在邊長為4的正三角形區(qū)域內隨機爬行，則它在離三個頂點距離都大于2的區(qū)域內的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】滿足條件的正三角形如圖所示： 其中正三角形的面積 滿足到正三角形的頂點，，的距離都小于2的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 則，則使取到的點到三個頂點，，的距離都大于2的概率為： ．故選A． 4．在區(qū)間上隨機取兩個數(shù)，，記為事件的概率，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如圖所示，，表示的平面區(qū)域為， 平面區(qū)域內滿足的部分為陰影部分的區(qū)域，其中，， 結合幾何概型計算公式可得滿足題意的概率值為，故選D． 5．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，的值介于0到之間的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，或， ∴或， 記的值介于0到之間， 則構成事件的區(qū)域長度為；全部結果的區(qū)域長度為2； ∴，故選A． 6．點在邊長為1的正方形內運動，則動點到定點的距離的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】滿足條件的正方形，如圖所示： 其中滿足動點到定點的距離的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 則正方形的面積，陰影部分的面積． 故動點到定點的距離的概率．故選C． 7．已知實數(shù)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于103的概率為 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設實數(shù)，經(jīng)過第一次循環(huán)得到，； 經(jīng)過第二次循環(huán)得到，； 經(jīng)過第三次循環(huán)得到，，此時輸出， 輸出的值為， 令得， 由幾何概型概率得到輸出的不小于103的概率為，故選B． 8．《九章算術》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊分別為5步和12步，問其內切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內隨機投一粒豆子， 則豆子落在其內切圓外的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直角三角形的斜邊長為， 設內切圓的半徑為，則，解得，∴內切圓的面積為， ∴豆子落在其內切圓外部的概率是，故選C． 9．把不超過實數(shù)的最大整數(shù)記為，則函數(shù)稱作取整函數(shù)，又叫高斯函數(shù)，在上任取，則的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】當時，則，滿足； 當時，，，則，滿足； 當時，，，則不滿足； 當時，，，則，不滿足． 綜上，滿足的，則的概率為，故選D． 10．關于圓周率，數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多有創(chuàng)意的求法，如著名的普豐實驗和查理斯實驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值：先請120名同學每人隨機寫下一個，都小于1的正實數(shù)對，再統(tǒng)計其中x，y能與1構成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù)，最后根據(jù)統(tǒng)計個數(shù)估計的值．如果統(tǒng)計結果是，那么可以估計的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由題意，120對都小于1的正實數(shù)，滿足，面積為1， 兩個數(shù)能與1構成鈍角三角形的三邊的數(shù)對， 滿足且，面積為， ∵統(tǒng)計兩數(shù)能與1構成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù)為， 則，∴，故選B． 11．為了節(jié)省材料，某市下水道井蓋的形狀如圖1所示，其外圍是由以正三角形的頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑的三段圓弧組成的曲邊三角形，這個曲邊三角形稱作“菜洛三角形”．現(xiàn)有一顆質量均勻的彈珠落在如圖2所示的萊洛三角形內，則彈珠恰好落在三角形內的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】彈珠落在萊洛三角形內的每一個位置是等可能的， 由幾何概型的概率計算公式可知所求概率： ， (為萊洛三角形的面積），故選A． 12．下圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊，．的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III．在整個圖形中隨機取一點，此點取自I，II，III的概率分別記為，，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設，，，則有， 從而可以求得的面積為， 黑色部分的面積為 ， 其余部分的面積為，∴有， 根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，可以得到，故選A． 二、填空題 13．在區(qū)間內任取一個實數(shù)，則使函數(shù)在上為減函數(shù)的概率是___________． 【答案】 【解析】∵函數(shù)在上為減函數(shù)， ∴，，因此所求概率為． 14．記集合，集合表示的平面區(qū)域分別為，．若在區(qū)域內任取一點，則點落在區(qū)域中的概率為__________． 【答案】 【解析】畫出表示的區(qū)域，即圖中以原點為圓心，半徑為2的圓； 集合表示的區(qū)域，即圖中的陰影部分． 由題意可得，， 根據(jù)幾何概型概率公式可得所求概率為． 15．任取兩個小于1的正數(shù)、，若、、1能作為三角形的三條邊長，則它們能構成鈍角三角形三條邊長的概率是________． 【答案】 【解析】根據(jù)題意可得，三邊可以構成三角形的條件為：． 這三個邊正好是鈍角三角形的三個邊，應滿足以下條件：， 對應的區(qū)域如圖， 由圓面積的為，直線和區(qū)域圍成的三角形面積是， 則、、1能作為三角形的三條邊長， 則它們能構成鈍角三角形三條邊長的概率．故答案為． 16．父親節(jié)小明給爸爸從網(wǎng)上購買了一雙運動鞋，就在父親節(jié)的當天，快遞公司給小明打電話話說鞋子已經(jīng)到達快遞公司了，馬上可以送到小明家，到達時間為晚上6點到7點之間，小明的爸爸晚上5點下班之后需要坐公共汽車回家，到家的時間在晚上5點半到6點半之間．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快遞員把鞋子送到小明家的時候，會把鞋子放在小明家門口的“豐巢”中）為__________． 【答案】 【解析】設爸爸到家時間為，快遞員到達時間為， 以橫坐標表示爸爸到家時間，以縱坐標表示快遞送達時間，建立平面直角坐標系， 爸爸到家之后就能收到鞋子的事件構成區(qū)域如下圖： 根據(jù)題意，所有基本事件構成的平面區(qū)域為，面積， 爸爸到家之后就能收到鞋子的事件，構成的平面區(qū)域為， 直線與直線和交點坐標分別為和， 由幾何概型概率公式可得，爸爸到家之后就能收到鞋子的概率：． 故答案為．