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課時規(guī)范練39　空間圖形的基本關(guān)系與公理 基礎(chǔ)鞏固組 1.若空間中有兩條直線,則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既非充分又非必要條件 2.(2018河北衡水二調(diào),3)已知l,m是兩條不同的直線,α是一個平面,則下列命題中正確的是(　　) A.若l∥α,m?α,則l∥m B.若l∥α,m∥α,則l∥m C.若l⊥m,m?α,則l⊥α D.若l⊥α,l∥m,則m⊥α 3.(2018河南六市一模,6)在空間中,a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則下列命題中的真命題是 (　　) A.若a∥α,b∥α,則a∥b B.若a?α,b?β,α⊥β,則a⊥b C.若a∥α,a∥b,則b∥α D.若α∥β,a?α,則a∥β 4.(2018廣東深圳二模,5)已知m、n為兩條不同的直線,α、β為兩個不同的平面,則下列命題中正確的是(　　) A.若l⊥m,l⊥n,且m,n?α,則l⊥α B.若平面α內(nèi)有不共線的三點到平面β的距離相等,則α∥β C.若m⊥α,m⊥n,則n∥α D.若m∥n,n⊥α,則m⊥α 5. 如圖所示,ABCD-A1B1C1D1是長方體,O是B1D1的中點,直線A1C交平面AB1D1于點M,則下列結(jié)論正確的是(　　) A.A,M,O三點共線 B.A,M,O,A1不共面 C.A,M,C,O不共面 D.B,B1,O,M共面 6.(2018廣東佛山模擬,4)在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分別為棱AA1,CC1的中點,則在空間中與直線A1B1,EF,BC都相交的直線(　　) A.不存在 B.有且只有兩條 C.有且只有三條 D.有無數(shù)條 7.(2018云南保山統(tǒng)考二,10)四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是邊長為2的正方形,PA=5,E為PC的中點,則異面直線BE與PD所成角的余弦值為 (　　) A.1310 B.155 C.1339 D.1539 8. (2018河北衡水一模,14)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,D是AB的中點,∠ACB=90,AC=BC=CC1,過點D、C作截面交BB1于點E,若點E恰好是BB1的中點,則直線AC1與DE所成角的余弦值為　　　　　. 綜合提升組 9.平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為(　　) A.32 B.22 C.33 D. 10. (2018重慶模擬,14)如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,則異面直線AP與BD所成的角為　　　　　. 11.α,β是兩個平面,m,n是兩條直線,有下列四個命題: ①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β. ②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n. ③如果α∥β,m?α,那么m∥β. ④如果m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等. 其中正確的命題有　　　.(填寫所有正確命題的編號) 創(chuàng)新應(yīng)用組 12. (2018山西太原三模,10)如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別是DE,BE,EF,EC的中點,在這個正四面體中:①DE與MN平行;②BD與MN為異面直線;③GH與MN成60角;④DE與MN垂直.以上四個命題中,正確命題的個數(shù)是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 13. (2018陜西黃陵中學(xué)6月模擬,7)我國古代《九章算術(shù)》里,記載了一個例子:“今有羨除,下廣六尺,上廣一丈,深三尺,末廣八尺,無深,袤七尺,問積幾何?”該問題中的羨除是如圖所示的五面體ABCDEF,其三個側(cè)面皆為等腰梯形,兩個底面為直角三角形,其中AB=6尺,CD=10尺,EF=8尺,AB,CD間的距離為3尺,CD,EF間的距離為7尺,則異面直線DF與AB所成角的正弦值為(　　) A.9130130 B.7130130 C. D. 參考答案 課時規(guī)范練39　空間圖形的基本關(guān)系與公理 1.A　“兩條直線為異面直線”?“兩條直線無公共點”.“兩直線無公共點”?“兩直線異面或平行”.故選A. 2.D　由題意,A中,若l∥α,m?α,則l∥m或l與m異面,所以不正確;B中,若l∥α,m∥α,則l∥m或l與m相交或異面,所以不正確;C中,若l⊥m,m?α,則l⊥α或l與平面α斜交或平行,所以不正確;D中,若l⊥α,l∥m,則m⊥α是正確的,故選D. 3.D　若a∥α,b∥α,則a,b位置關(guān)系不定;若a?α,b?β,α⊥β,則a,b位置關(guān)系不定;若a∥α,a∥b,則b∥α或b?α;若α∥β,a?α,則a∥β,選D. 4.D　對于選項A,若l⊥m,l⊥n,且m,n?α,則l不一定垂直平面α,因為m有可能和n平行,所以該選項錯誤;對于選項B,若平面α內(nèi)有不共線的三點到平面β的距離相等,則α,β可能相交或平行,所以該選項錯誤;對于選項C,若m⊥α,m⊥n,則n有可能在平面α內(nèi),所以該選項錯誤;對于選項D,由于兩平行線中有一條垂直平面α,則另一條也垂直平面α,所以該選項正確.故答案為D. 5.A　連接A1C1,AC,則A1C1∥AC, 所以A1,C1,A,C四點共面. 所以A1C?平面ACC1A1. 因為M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1. 又M∈平面AB1D1, 所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上. 同理A,O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,所以A,M,O三點共線. 6.D　 在EF上任意取一點M,直線A1B1與M確定一個平面,這個平面與BC有且僅有1個交點N,當M的位置不同時確定不同的平面,從而與BC有不同的交點N,而直線MN與A1B1,EF,BC分別有交點P,M,N,如圖,故有無數(shù)條直線與直線A1B1,EF,BC都相交. 7.C　取CD的中點F,連接BF,EF, ∵E是PC的中點,∴EF∥PD, 則∠BEF是BE與PD的夾角,EF=12PD=32. ∵PC=13, ∴cos∠BPC=32+(13)2-222313=313, ∴BE2=32+1322-23132313=134. 又BF=5, ∴cos∠BEF=BE2+EF2-BF22BEEF=134+94-5213232=1339. 8.63　連接AB1,且AB1∥DE,所以直線AC1與DE所成角為∠C1AB1,由CC1⊥底面ABC,所以為直三棱柱,設(shè)AC=BC=CC1=1,∠ACB=90,所以B1C1=1,AC1=2,AB1=3,且B1C1⊥AC1,cos∠C1AB1=AC1AB1=63.填63. 9.A　(方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1. ∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1. ∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角. ∵△B1D1C為正三角形,∴∠B1D1C=60, ∴m,n所成的角的正弦值為32. (方法二)由題意畫出圖形如圖,將正方體ABCD-A1B1C1D1平移, 補形為兩個全等的正方體如圖,易證平面AEF∥平面CB1D1, 所以平面AEF即為平面α,m即為AE,n即為AF,所以AE與AF所成的角即為m與n所成的角. 因為△AEF是正三角形,所以∠EAF=60, 故m,n所成角的正弦值為32. 10.　如圖,將原圖補成正方體ABCD-QGHP,連接GP,則GP∥BD, 所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角, 在△AGP中,AG=GP=AP, 所以∠APG=π3. 11.②③④　對于①,若m⊥n,m⊥α,n∥β,則α,β的位置關(guān)系無法確定,故錯誤;對于②,因為n∥α,所以過直線n作平面γ與平面α相交于直線c,則n∥c.因為m⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,故②正確;對于③,由兩個平面平行的性質(zhì)可知正確;對于④,由線面所成角的定義和等角定理可知其正確,故正確命題的編號有②③④. 12.C　 將正四面體的平面展開圖復(fù)原為正四面體A(B、C)-DEF,如圖: 對于①,M、N分別為EF、AE的中點,則MN∥AF,而DE與AF異面,故DE與MN不平行,故①錯誤; 對于②,BD與MN為異面直線,正確(假設(shè)BD與MN共面,則A、D、E、F四點共面,與ADEF為正四面體矛盾,故假設(shè)不成立,故BD與MN異面); 對于③,依題意,GH∥AD,MN∥AF,∠DAF=60,故GH與MN成60角,故③正確; 對于④,連接GF,A點在平面DEF的射影A1在GF上,∴DE⊥平面AGF,DE⊥AF, 而AF∥MN,∴DE與MN垂直,故④正確. 綜上所述,正確命題的序號是②③④,故答案為②③④. 13.B　 如圖:根據(jù)題意AB∥CD,所以∠FDC為異面直線DF與AB所成角,又因為CD=10尺,EF=8尺且側(cè)面為等腰梯形,過點F作FG⊥DC,則DG=9尺,CD,EF間的距離為7尺,故FG=7尺,由勾股定理得DF=81+49=130尺,所以sin∠FDC=7130=7130130,故選B.