《高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 3.2.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算學(xué)案 新人教A版選修12》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 3.2.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算學(xué)案 新人教A版選修12（6頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3.2.2　復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2.理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)加法的分配律．(易混點(diǎn))3.了解共軛復(fù)數(shù)的概念．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則 (1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則 已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，則z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 思考1：復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法有何不同？ [提示]復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式乘法是類似的，有一點(diǎn)不同即必須在所得結(jié)果中把i2換成－1，再把實(shí)部、虛部分別合并． (2)復(fù)數(shù)乘

2、法的運(yùn)算律 對(duì)于任意z1，z2，z3∈C，有 交換律 z1z2＝z2z1 結(jié)合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法對(duì)加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 思考2：|z|2＝z2，正確嗎？ [提示]不正確．例如，|i|2＝1，而i2＝－1. 2．共軛復(fù)數(shù) 如果兩個(gè)復(fù)數(shù)滿足實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)為共軛復(fù)數(shù)，z的共軛復(fù)數(shù)用表示．即z＝a＋bi，則＝a－bi. 3．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則 (a＋bi)(c＋di)＝＋i(c＋di≠0) [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)實(shí)數(shù)不存在共軛復(fù)數(shù)． (　　) (2)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的差為

3、純虛數(shù)． (　　) (3)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，則z1＝z2＝0. (　　) [答案]　(1)　(2)√　(3) 2．復(fù)數(shù)(3＋2i)i等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662149】 A．－2－3i　　　　　　 B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i B　[(3＋2i)i＝3i＋2ii＝－2＋3i，選B.] 3. 已知復(fù)數(shù)z＝2－i，則z的值為(　　) A．5 B. C．3 D. A　[z＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故選A.] 4. (2－i)i＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662150】 －1－2i　[(2－i)i＝

4、＝＝－1－2i.] [合 作 探 究攻 重 難] 復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算 　(1)若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1)　　　 B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) (2)計(jì)算： ①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； ②(3＋4i)(3－4i)； ③(1＋i)2. (1)[解析]　z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得a<－1 ，故選B [答案]　B (2)①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i

5、； ②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25； ③(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i. [規(guī)律方法]　 1．兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法 復(fù)數(shù)的乘法可以按多項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行，注意選用恰當(dāng)?shù)某朔ü竭M(jìn)行簡便運(yùn)算，例如平方差公式、完全平方公式等 2．常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)； (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； (3)(1i)2＝2i. [跟蹤訓(xùn)練] 1．(1)下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是(　　) A．i(1＋i)2 B．i2(1－i) C．(1＋i)2 D．i(1＋i)

6、 (2)復(fù)數(shù)z＝(1＋2i)(3－i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662151】 (1)C　(2)5　[(1)A項(xiàng)，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i2i＝－2，不是純虛數(shù)． B項(xiàng)，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是純虛數(shù)． C項(xiàng)，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是純虛數(shù)． D項(xiàng)，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是純虛數(shù)． 故選C. (2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i， 所以z的實(shí)部是5.] 復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算 　(1)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量分別是，，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的

7、點(diǎn)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)計(jì)算：＋－. (1)[解析]　由復(fù)數(shù)的幾何意義知，z1＝－2－i，z2＝i，所以＝＝－1＋2i，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限． [答案]　B (2)原式＝[(1＋i)2]3＋[(1－i)2]3－＝(2i)3i＋(－2i)3(－i)－＝8＋8－16－16i＝－16i. [規(guī)律方法]　 1．兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算步驟 (1)首先將除式寫為分式； (2)再將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)； (3)然后將分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算，并將其化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式． 2．常用公式 (1)＝－i；(2)＝i；(

8、3)＝－i. [跟蹤訓(xùn)練] 2．(1)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足＝i，則|z|＝(　　) A．1 B． C． D．2 (2)計(jì)算： ①；② (1)A　[由＝i得1＋z＝i(1－z)， 即z＝，z＝＝＝i， |z|＝1，選A.] (2)①＝＝＝1－i. ②＝＝＝－1－3i. 共軛復(fù)數(shù)及其應(yīng)用 [探究問題] 1．若z＝，則z是什么數(shù)？這個(gè)性質(zhì)有什么作用？ 提示：z＝?z∈R，利用這個(gè)性質(zhì)可證明一個(gè)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)． 2．若z≠0且z＋＝0，則z 是什么數(shù)？這個(gè)性質(zhì)有什么作用？ 提示：z≠0且z＋＝0，則z為純虛數(shù)，利用這個(gè)性質(zhì)，可證明一個(gè)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)． 3．三個(gè)實(shí)數(shù)|z|，

9、||，z具有怎樣的關(guān)系？ 提示：設(shè)z＝a＋bi，則＝a－bi，所以|z|＝，||＝＝，z＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，所以|z|2＝||2＝z. 　(1)已知復(fù)數(shù)z＝，是z的共軛復(fù)數(shù)，則z等于(　　) A.　　　　B.　　　　C．1　　　　D．2 (2)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝，且(1－2i)z是實(shí)數(shù)，求. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662152】 思路探究：可以先設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解；也可以利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)求解． (1)[解析]　法一：∵z＝＝＝＝＝＝－＋， ∴＝－－，∴z＝. 法二：∵z＝， ∴|z|＝＝＝＝， ∴z＝. [答

10、案]　A (2)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i.又因?yàn)?1－2i)z是實(shí)數(shù)，所以b－2a＝0，即b＝2a，又|z|＝，所以a2＋b2＝5.解得a＝1，b＝2.所以z＝1＋2i或－1－2i，所以＝1－2i或－1＋2i，即＝(1－2i)． 母題探究：1.在題設(shè)(1)條件不變的情況下，求. [解]　由例題(1)的解析可知z＝－＋，＝－－，z＝，∴＝＝＝－i. 2．把題設(shè)(2)的條件“(1－2i)z是實(shí)數(shù)”換成“(1－2i)z是純虛數(shù)”，求. [解]　設(shè)z＝a＋bi，則＝a－bi，由例題(2)的解可知a＝－2b，由|z|

11、＝＝＝，得b＝1，a＝－2；或b＝－1，a＝2.所以＝－2－i，或＝2＋i. [規(guī)律方法]　 1．由比較復(fù)雜的復(fù)數(shù)運(yùn)算給出的復(fù)數(shù)，求其共軛復(fù)數(shù)，可先按復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，將復(fù)數(shù)寫成代數(shù)形式，再寫出其共軛復(fù)數(shù)． 2．注意共軛復(fù)數(shù)的簡單性質(zhì)的運(yùn)用． [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz＝1，其中i為虛數(shù)單位，則z等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662153】 A．－i　　　　　　 B．i C．－1 D．1 A　[z＝＝－i.] 2．若復(fù)數(shù)z＝i(3－2i)(i是虛數(shù)單位)，則＝(　　) A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i

12、A　[∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴＝2－3i.] 3．復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的實(shí)部等于________． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662154】 －3　[由題可得＝－3－i，－3－i的實(shí)部為－3.] 4．(1＋i)2－＝________. －＋i　[∵(1＋i)2－＝2i－＝－＋i.] 5．已知復(fù)數(shù)z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝，其中a，b∈R.若z1與z2互為共軛復(fù)數(shù)，求a，b的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662155】 [解]　z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i, z2＝＝＝＝＋i. 由于z1和z2互為共軛復(fù)數(shù)，所以有 解得 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375