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基礎課3　機械能守恒定律及其應用 一、選擇題(1～6題為單項選擇題，7～10題為多項選擇題) 1．關于機械能守恒，下列說法中正確的是(　　) A．物體做勻速運動，其機械能一定守恒 B．物體所受合力不為零，其機械能一定不守恒 C．物體所受合力做功不為零，其機械能一定不守恒 D．物體沿豎直方向向下做加速度為5 m/s2的勻加速運動，其機械能減少 解析　物體做勻速運動其動能不變，但機械能可能變，如物體勻速上升或下降，機械能會相應的增加或減少，選項A錯誤；物體僅受重力作用，只有重力做功，或受其他力但其他力不做功或做功的代數和為零時，物體的機械能守恒，選項B、C錯誤；物體沿豎直方向向下做加速度為5 m/s2 的勻加速運動時，物體一定受到一個與運動方向相反的力的作用，此力對物體做負功，物體的機械能減少，故選項D正確。 答案　D 2．如圖1所示，在輕彈簧的下端懸掛一個質量為m的小球A，將小球A從彈簧原長位置由靜止釋放，小球A能夠下降的最大高度為h。若將小球A換為質量為3m的小球B，仍從彈簧原長位置由靜止釋放，重力加速度為g，不計空氣阻力，則小球B下降h時的速度為(　　) 圖1 A. B. C. D. 解析　根據系統(tǒng)機械能守恒得，對A下降h的過程有mgh＝Ep，對B下降h的過程有3mgh＝Ep＋3mv2，解得v＝，只有選項A正確。 答案　A 3．(2017前黃中學)一輕繩系住一質量為m的小球懸掛在O點，在最低點先給小球一水平初速度，小球恰能在豎直平面內繞O點做圓周運動，若在水平半徑OP的中點A處釘一枚光滑的釘子，仍在最低點給小球同樣的初速度，則小球向上通過P點后將繞A點做圓周運動，則到達最高點N時，繩子的拉力大小為 (　　) 圖2 A．0 B．2mg C．3mg D．4mg 解析　恰能做圓周運動，則在最高點有 mg＝ 解得v＝。 由機械能守恒定律可知 mg2R＝mv－mv2 解得初速度v0＝，根據機械能守恒，在最高點N的速度為v′，則： mgR＝mv－mv′2 根據向心力公式：T＋mg＝ 聯立得T＝3mg。故選項C正確。 答案　C 4．將一小球從高處水平拋出，最初2 s內小球動能Ek隨時間t變化的圖像如圖3所示，不計空氣阻力，g取10 m/s2。根據圖像信息，不能確定的物理量是(　　) 圖3 A．小球的質量 B．小球的初速度 C．最初2 s內重力對小球做功的平均功率 D．小球拋出時的高度 解析　由機械能守恒定律可得Ek＝Ek0＋mgh，又h＝gt2，所以Ek＝Ek0＋mg2t2。當t＝0時，Ek0＝mv＝5 J，當t＝2 s時，Ek＝Ek0＋2mg2＝30 J，聯立方程解得m＝0.125 kg，v0＝4 m/s。當t＝2 s時，由動能定理得WG＝ΔEk＝25 J，故＝＝12.5 W。根據圖像信息，無法確定小球拋出時離地面的高度。綜上所述，應選D。 答案　D 5．如圖4所示，傾角θ＝30的光滑斜面固定在水平地面上，斜面頂端固定一光滑的小定滑輪，質量分別為m和2m的兩小物塊A、B用輕繩連接，其中B被垂直斜面的擋板擋住而靜止在斜面上，定滑輪與A之間的繩子水平，已知繩子開始時剛好拉直，且A與定滑輪之間的距離為l?，F使A由靜止下落，在A向下運動至O點正下方的過程中，下列說法正確的是 (　　) 圖4 A．物塊B始終處于靜止狀態(tài) B．物塊A運動到最低點時的速度大小為 C．物塊A運動到最低點時的速度方向為水平向左 D．繩子拉力對物塊B做正功 解析　若物塊B不會滑動，則當物塊A向下運動到最低點時，繩子上的拉力必大于mg，故物塊B一定會向上滑動，所以A錯誤；設物塊A運動到最低點時，定滑輪與A之間的距離為x，對A、B由機械能守恒有＋＝mgx－2mg(x－l)sin θ，得vA＝，則vA＜，A的速度方向不垂直繩子，B、C錯誤；B向上運動，繩子拉力做正功，D正確。 答案　D 6．如圖5所示，可視為質點的小球A和B用一根長為0.2 m 的輕桿相連，兩球質量相等，開始時兩小球置于光滑的水平面上，并給兩小球一個2 m/s的初速度，經一段時間兩小球滑上一個傾角為30的光滑斜面，不計球與斜面碰撞時的機械能損失，g取10 m/s2，在兩小球的速度減小為零的過程中，下列判斷正確的是(　　) 圖5 A．桿對小球A做負功 B．小球A的機械能守恒 C．桿對小球B做正功 D．小球B速度為零時距水平面的高度為0.15 m 解析　將小球A、B視為一個系統(tǒng)，設小球的質量均為m，最后小球B上升的高度為h，根據機械能守恒定律有2mv2＝mgh＋mg(h＋0.2 msin 30)，解得h＝0.15 m，選項D正確；以小球A為研究對象，由動能定理有－mg(h＋0.2 msin 30)＋W＝0－mv2，可知W＞0，可見桿對小球A做正功，選項A、B錯誤；由于系統(tǒng)機械能守恒，故小球A增加的機械能等于小球B減小的機械能，桿對小球B做負功，選項C錯誤。 答案　D 7．如圖6所示，下列關于機械能是否守恒的判斷正確的是(　　) 圖6 A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，A機械能守恒 B．乙圖中，物體B在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑時，B機械能守恒 C．丙圖中，斜面光滑，物體在推力F作用下沿斜面向下運動的過程中，物體機械能守恒 D．丁圖中，斜面光滑，物體在斜面上下滑的過程中，物體機械能守恒 解析　弄清楚機械能守恒的條件是分析此問題的關鍵。表解如下： 選項 結論 分析 A 物體壓縮彈簧的過程中，物體所受重力和彈簧的彈力都對其做功，所以A機械能不守恒 B √ 物體沿斜面下滑過程中，除重力做功外，其他力做功的代數和始終為零，所以B機械能守恒 C 物體下滑過程中，除重力外還有推力F對其做功，所以物體機械能不守恒 D √ 物體沿斜面下滑過程中，只有重力對其做功，所以物體機械能守恒 答案　BD 8．(2016浙江舟山模擬)如圖7所示，一個小環(huán)沿豎直放置的光滑圓環(huán)形軌道做圓周運動。小環(huán)從最高點A滑到最低點B的過程中，小環(huán)線速度大小的平方v2隨下落高度h的變化圖像可能是(　　) 圖7 解析　對小環(huán)由機械能守恒定律得mgh＝mv2－mv，則v2＝2gh＋v，當v0＝0時，B正確；當v0≠0時，A正確。 答案　AB 9．(2016金陵中學)一鋼球從某高度自由下落到一放在水平地面的彈簧上，從鋼球與彈簧接觸到壓縮到最短的過程中，彈簧的彈力F、鋼球的加速度a、重力所做的功WG以及小球的機械能E與彈簧壓縮量x的變化圖線如下圖(不考慮空間阻力)，選小球與彈簧開始接觸點為原點，建立圖示坐標系，并規(guī)定向下為正方向，則下述選項中的圖像符合實際的是(　　) 圖8 解析　由于向下為正方向，而彈簧中的彈力方向向上，A錯誤；對小球受力分析易知，B正確；根據重力做功的計算式WG＝mgx可知，C正確；小球和彈簧整體的機械能守恒，D錯誤。 答案　BC 10．2022年第24屆冬季奧林匹克運動會將在北京舉行，跳臺滑雪是冬奧會的比賽項目之一。如圖9所示為一簡化后的跳臺滑雪的雪道示意圖，運動員從O點由靜止開始，在不借助其他外力的情況下，自由滑過一段圓心角為60的光滑圓弧軌道后從A點水平飛出，然后落到斜坡上的B點。已知A點是斜坡的起點，光滑圓弧軌道半徑為40 m，斜坡與水平面的夾角θ＝30，運動員的質量m＝50 kg，重力加速度g＝10 m/s2，忽略空氣阻力。下列說法正確的是(　　) 圖9 A．運動員從O點運動到B點的整個過程中機械能守恒 B．運動員到達A點時的速度為20 m/s C．運動員到達B點時的動能為10 kJ D．運動員從A點飛出到落到B點所用的時間為 s 解析　由題意可得，運動員從O點運動到B點的整個過程機械能守恒，選項A正確；由圓周運動過程機械能守恒可得，運動員到達A點時的速度為20 m/s，選項B正確；由機械能守恒和平拋運動規(guī)律可知運動員到達B點時的豎直方向分速度為v⊥＝v02tan θ＝ m/s，則運動員到達B點時的動能大于10 kJ，選項C錯誤；設運動員從A點飛出到落到B點所用的時間為t，則v⊥＝gt，t＝ s，選項D錯誤。 答案　AB 二、非選擇題 11.質量分別為m和2m的兩個小球P和Q，中間用輕質桿固定連接，桿長為L，在離P球處有一個光滑固定軸O，如圖10所示?，F在把桿置于水平位置后自由釋放，在Q球順時針擺動到最低位置時，求： 圖10 (1)小球P的速度大??； (2)在此過程中小球P機械能的變化量。 解析　(1)兩球和桿組成的系統(tǒng)機械能守恒，設小球Q擺到最低位置時P球的速度為v，由于P、Q兩球的角速度相等，Q球運動半徑是P球運動半徑的兩倍，故Q球的速度為2v。由機械能守恒定律得 2mgL－mgL＝mv2＋2m(2v)2， 解得v＝。 (2)小球P機械能增加量ΔE＝mgL＋mv2＝mgL 答案　(1)　(2)增加了mgL 12．如圖11所示，質量為3 kg小球A和質量為5 kg的B通過一壓縮彈簧鎖定在一起，靜止于光滑平臺上，解除鎖定，兩小球在彈力作用下分離，A球分離后向左運動恰好通過半徑R＝0.5 m的光滑半圓軌道的最高點，B球分離后從平臺上以速度vB＝3 m/s水平拋出，恰好落在臨近平臺的一傾角為α的光滑斜面頂端，并剛好沿光滑斜面下滑，已知斜面頂端與平臺的高度差h＝0.8 m，g＝10 m/s2，求： 圖11 (1)A、B兩球剛分離時A的速度大??； (2)彈簧鎖定時的彈性勢能； (3)斜面的傾角α。 解析　(1)小球A恰好通過半徑R＝0.5 m的光滑半圓軌道的最高點，設在最高點速度為v0， 在最高點有mAg＝mA， 物體沿光滑半圓軌道上滑到最高點的過程中機械能守恒， mAg2R＋mAv＝mAv，聯立解得vA＝5 m/s。 (2)根據機械能守恒定律，彈簧鎖定時的彈性勢能 Ep＝mAv＋mBv＝60 J。 (3)B球分離后做平拋運動，根據平拋運動規(guī)律有 h＝gt2，解得t＝0.4 s，vy＝gt＝4 m/s， 小球剛好沿斜面下滑，tan α＝＝，解得α＝53。 答案　(1)5 m/s　(2)60 J　(3)53