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第三章 不等式 滾動訓練(五) 一、填空題 1．在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若A＋C＝2B，a＝1，b＝，則S△ABC＝________. 考點　解三角形求面積 題點　先用余弦定理求邊或角再求面積 答案　 解析　由A＋C＝2B，解得B＝. 由余弦定理，得()2＝1＋c2－2ccos， 解得c＝2或c＝－1(舍去)． 于是S△ABC＝acsinB＝12sin＝. 2．下列不等式中正確的是________． ①若a∈R，則a2＋9>6a； ②若a，b∈R，則≥2； ③若a>0，b>0，則2lg≥lga＋lgb； ④若x∈R，則x2＋>1. 考點　基本不等式的理解 題點　基本不等式的理解 答案?、? 解析　∵a>0，b>0，∴≥. ∴2lg≥2lg＝lg(ab)＝lga＋lgb. 3．在△ABC中，若＝3，b2－a2＝ac，則cosB＝______. 考點　用正弦、余弦定理解三角形 題點　用正弦、余弦定理解三角形 答案　 解析　由題意及正弦定理知，c＝3a，b2－a2＝ac＝c2－2accos B，所以cosB＝＝＝. 4．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S11＝22，則a3＋a7＋a8＝________. 考點　等差數(shù)列前n項和 題點　等差數(shù)列前n項和有關的基本量計算問題 答案　6 解析　設等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6. 5．若關于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a＝________. 考點　“三個二次”間對應關系的應用 題點　由“三個二次”的對應關系求參數(shù)值 答案　 解析　由條件知x1，x2為方程x2－2ax－8a2＝0(a>0)的兩根，則x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝. 6．已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y＝2，則＋的最小值是________． 考點　基本不等式求最值 題點　利用基本不等式求最值 答案　1 解析　∵x，y∈(0，＋∞)，∴＋＝≥＝，當且僅當x＝y(tǒng)時取等號． ∵log2x＋log2y＝log2(xy)＝2，∴xy＝4. ∴＋≥＝1. 7．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，則m的最大值為________． 考點　基本不等式求最值 題點　利用基本不等式求最值 答案　6 解析　∵2a＋b＝6(2a＋b) ＝6≥6(5＋4)＝54(當且僅當a＝b時，取等號)． ∴9m≤54，即m≤6. 8．若直線＋＝1(a>0，b>0)過點(1,1)，則a＋b的最小值為________ 考點　基本不等式求最值 題點　利用基本不等式求最值 答案　4 解析　因為直線＋＝1(a>0，b>0)過點(1,1)，所以＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，當且僅當a＝b＝2時取“＝”． 9．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝則a3a4＝________. 考點　數(shù)列的通項公式 題點　已知通項公式求項或項數(shù) 答案　54 解析　由題意知，a3＝23－5＝1，a4＝234－1＝54， ∴a3a4＝54. 10．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an＋(n∈N*)，則{an}的通項公式an＝________. 考點　an與Sn關系 題點　由Sn與an遞推式求通項 答案　n－1 解析　當n＝1時，a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， ∴＝－. ∴數(shù)列{an}是首項a1＝1，公比q＝－的等比數(shù)列， 故an＝n－1(n∈N*)． 二、解答題 11．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R. (1)若a＝2，試求函數(shù)y＝(x>0)的最小值； (2)對于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a恒成立，試求a的取值范圍． 考點　一元二次不等式恒成立問題 題點　一元二次不等式在區(qū)間上恒成立 解　(1)依題意得y＝＝＝x＋－4. 因為x>0，所以x＋≥2， 當且僅當x＝，即x＝1時，等號成立， 所以y≥－2. 所以當x＝1時，y＝的最小值為－2. (2)因為f(x)－a＝x2－2ax－1， 所以要使得“任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a恒成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”． 不妨設g(x)＝x2－2ax－1， 則只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可． 所以 即 解得a≥. 故a的取值范圍為. 12．已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通項公式； (2)求數(shù)列{a2nbn}的前n項和(n∈N*)． 考點　數(shù)列前n項和的求法 題點　錯位相減法求和 解　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q. 由已知b2＋b3＝12， 得b1(q＋q2)＝12. 而b1＝2，所以q2＋q－6＝0， 解得q＝－3或q＝2. 又因為q＞0，所以q＝2.所以bn＝2n(n∈N*)． 由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.① 由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.② 聯(lián)立①②，解得a1＝1，d＝3， 由此可得an＝3n－2(n∈N*)． 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－2(n∈N*)，數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n(n∈N*)． (2)設數(shù)列{a2nbn}的前n項和為Tn. 由a2n＝6n－2，得 Tn＝42＋1022＋1623＋…＋(6n－2)2n， 2Tn＝422＋1023＋1624＋…＋(6n－8)2n＋(6n－2)2n＋1. 上述兩式相減，得 －Tn＝42＋622＋623＋…＋62n－(6n－2)2n＋1 ＝－4－(6n－2)2n＋1＝－(3n－4)2n＋2－16， 所以Tn＝(3n－4)2n＋2＋16. 所以數(shù)列{a2nbn}的前n項和為(3n－4)2n＋2＋16. 13．某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲、乙兩種產(chǎn)品所需煤、電力、勞動力、獲得利潤及每天資源限額(最大供應量)如表所示： 產(chǎn)品消耗量資源 甲產(chǎn)品(每噸) 乙產(chǎn)品(每噸) 資源限額(每天) 煤(t) 9 4 360 電力(kwh) 4 5 200 勞動力(個) 3 10 300 利潤(萬元) 6 12 問：每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸時，獲得利潤總額最大？ 考點　不等式(組)表示平面區(qū)域在生活中的應用 題點　不等式(組)表示平面區(qū)域在生活中的應用 解　設此工廠每天應分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品x噸、y噸，獲得利潤z萬元． 依題意可得約束條件 作出可行域如圖(陰影部分，含邊界)． 利潤目標函數(shù)z＝6x＋12y， 由幾何意義知，當直線l：z＝6x＋12y經(jīng)過可行域上的點M時，z＝6x＋12y取最大值．解方程組 得x＝20，y＝24，即M(20,24)． 所以生產(chǎn)甲種產(chǎn)品20噸，乙種產(chǎn)品24噸，才能使此工廠獲得最大利潤． 三、探究與拓展 14．若正實數(shù)x，y，z滿足x2＋4y2＝z＋3xy，則當取最大值時，＋－的最大值為________． 考點　基本不等式求最值 題點　利用基本不等式求最值 答案　 解析　∵z＝x2＋4y2－3xy，x，y，z∈(0，＋∞)， ∴＝＝≤＝1(當且僅當x＝2y時等號成立)， 此時＋－＝－， 令＝t>0，則＋－＝t－t2＝－(t－1)2＋≤(當且僅當t＝1，即y＝1時等號成立)． 15．若不等式組表示的平面區(qū)域為一個銳角三角形及其內(nèi)部，則實數(shù)k的取值范圍是________． 考點　線性規(guī)劃中的參數(shù)問題 題點　線性規(guī)劃中的參數(shù)問題 答案　(0,1) 解析　直線y＝kx＋3恒過定點(0,3)，作出不等式組表示的可行域(陰影部分所示)，要使可行域為一個銳角三角形及其內(nèi)部，需要直線y＝kx＋3的斜率在0與1之間，即k∈(0,1)．