《2019高考數(shù)學(xué) 突破三角函數(shù)與解三角形問題中的套路 專題03 三角恒等變換學(xué)案 理.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019高考數(shù)學(xué) 突破三角函數(shù)與解三角形問題中的套路 專題03 三角恒等變換學(xué)案 理.doc（11頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

專題03 三角恒等變換 知識必備 一、兩角和與差的三角函數(shù)公式 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 （1）： （2）： （3）： （4）： （5）： （6）： 2．二倍角公式 （1）： （2）： （3）： 3．公式的常用變形 （1）； （2）降冪公式：；； （3）升冪公式：；；； （4）輔助角公式：，其中， 二、簡單的三角恒等變換 1．半角公式 （1） （2） （3） 【注】此公式不用死記硬背，可由二倍角公式推導(dǎo)而來，如下圖： 2．公式的常見變形（和差化積、積化和差公式） （1）積化和差公式： ； ； ； . （2）和差化積公式： ； ； ； . 核心考點(diǎn) 考點(diǎn)一 三角函數(shù)式的化簡與求值 【例1】（三角函數(shù)式的化簡）__________． 【答案】1 【解析】 ． 故答案為1． 備考指南 1．三角化簡、求值的常用方法：異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，切化弦，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化． 2．三角化簡的標(biāo)準(zhǔn)：三角函數(shù)名稱盡量少，次數(shù)盡量低，最好不含分母，能求值的盡量求值． 3．在化簡時要注意角的取值范圍. 【例2】（給角求值）的值是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，故選B． 備考指南 給角求值中一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)非特殊角與特殊角之間總有一定的關(guān)系．解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)，從而得解. 【例3】（給值求值）“”是“”的 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】C 備考指南 已知三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)式的值的一般思路： （1）先化簡所求式子． （2）觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手)． （3）將已知條件代入所求式子，化簡求值． 【例4】（給值求角）已知，，，，則角的值為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，，∴， ∵，，，故選D. 備考指南 通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，有以下原則： （1）已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)． （2）已知正、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù)．若角的范圍是，則選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，則選余弦較好；若角的范圍為，則選正弦較好. 考點(diǎn)二 三角恒等變換的應(yīng)用 【例5】（與三角函數(shù)定義的綜合應(yīng)用）如圖，點(diǎn)為單位圓上一點(diǎn)，，已知點(diǎn)沿單位圓按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，則的值為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意可得，cos（+）=，sin（+）=，∈（0，）． ∴cos（+2）=2﹣1=2﹣1=﹣，即﹣sin2=﹣，∴sin2=， 故選B． 備考指南 1．理解三角函數(shù)定義. 2．熟練掌握三角恒等變換公式——二倍角公式，以及誘導(dǎo)公式. 【例6】（在三角形中的應(yīng)用）在三角形中，的值是 . 【答案】1 備考指南 1．掌握三角恒等變換公式的逆用. 2．熟悉并記憶三角形中隱含條件：三角形內(nèi)角和為π. 【例7】（在三角函數(shù)圖象與性質(zhì)中的應(yīng)用）已知函數(shù). （1）當(dāng)時，求函數(shù)的值域； （2）已知，函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的最大值. 【解析】（1）， ∵， ∴， ∴， ∴函數(shù)的值域?yàn)? （2）， 當(dāng)時，， ∵在區(qū)間上是增函數(shù)，且， ∴，即，化簡得， ∵，∴， ∴，解得，因此，的最大值為. 備考指南 1．熟練應(yīng)用三角恒等變換公式變形. 2．掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì). 【例8】（在解三角形中的應(yīng)用）在中，角的對邊分別是，若，，則的周長為 A．5 B．6 C．7 D． 【答案】A 【解析】由正弦定理可得，即， ∵，∴，故的周長為，故選A． 備考指南 1．熟練應(yīng)用三角恒等變換公式變形. 2．掌握正、余弦定理. 能力突破 1．若，，則的值為 A． B． C． D． 【答案】A 2．已知，為銳角，且，，則 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， ∴， ,選C． 3．設(shè),且滿足,則的取值范圍為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，又，則，所以，所以，故選B． 4．已知為正整數(shù)，，且，則當(dāng)函數(shù)取得最大值時，___________． 【答案】 【解析】由條件知，則由，得＝，即，解得或（舍去），則．因?yàn)椋?，則當(dāng)，即時，函數(shù)取得最大值． 5．設(shè)，且滿足. （1）求的值； （2）求的值. 【解析】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）由（1）可得：， ∵， ∴， ∴. ∴. 高考通關(guān) 1．（2016新課標(biāo)Ⅱ理）若cos(?α)=，則sin 2α= A． B． C．? D．? 【答案】D 【名師點(diǎn)睛】對于三角函數(shù)的給值求值問題，關(guān)鍵是把待求角用已知角表示： (1)已知角為兩個時，待求角一般表示為已知角的和或差． (2)已知角為一個時，待求角一般與已知角成“倍的關(guān)系”或“互余、互補(bǔ)”關(guān)系． 2．（2016新課標(biāo)Ⅲ理）若，則 A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】方法一：由tan α=,cos2α+sin2α=1,得或,則sin 2α=2sin αcos α=,則cos2α+2sin 2α=+. 方法二：cos2α+2sin 2α=.故選A． 【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)求值： ①“給角求值”將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，通過相消或相約消去非特殊角，進(jìn)而求出三角函數(shù)值； ②“給值求值”關(guān)鍵是目標(biāo)明確，建立已知和所求之間的聯(lián)系． 3．（2017北京理）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若 ，則=___________. 【答案】 【名師點(diǎn)睛】本題考查了角的對稱關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式，常用的一些對稱關(guān)系包含：若與的終邊關(guān)于軸對稱，則 ，若與的終邊關(guān)于軸對稱，則，若與的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱，則. 4．（2018新課標(biāo)Ⅱ理）已知，，則__________． 【答案】 【解析】因?yàn)椋?，所以? 因此 5．（2016四川理）cos2–sin2= . 【答案】 【解析】由三角函數(shù)的半角公式得， 【名師點(diǎn)睛】本題也可以看作來自于課本的題，直接利用課本公式解題，這告訴我們一定要立足于課本．有許多三角函數(shù)的求值問題都是通過三角函數(shù)公式把一般的三角函數(shù)求值轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)求值而得解． 6．（2016浙江理）已知，則A=______，b=________． 【答案】， 【解析】，所以 【思路點(diǎn)睛】解答本題時先用降冪公式化簡，再用輔助角公式化簡，進(jìn)而對照可得和的值． 7．（2018江蘇）已知為銳角，，． （1）求的值； （2）求的值． 【解析】（1）因?yàn)椋?，所以? 因?yàn)椋裕? 因此，． （2）因?yàn)闉殇J角，所以． 又因?yàn)椋裕? 因此． 因?yàn)?，所以? 因此，． 【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值的三種類型 （1）給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)． （2）給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異．一般有如下兩種思路：①適當(dāng)變換已知式，進(jìn)而求得待求式的值；②變換待求式，便于將已知式的值代入，從而達(dá)到解題的目的． （3）給值求角：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，進(jìn)而確定角． 你都掌握了嗎？ 有哪些問題？整理一下！