《高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題對(duì)點(diǎn)練11 三角變換與解三角形 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題對(duì)點(diǎn)練11 三角變換與解三角形 理（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 專題對(duì)點(diǎn)練11　三角變換與解三角形 1.(2017全國(guó)Ⅲ,理17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sin A+3cos A=0,a=27,b=2. (1)求c; (2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且AD⊥AC,求△ABD的面積. 解 (1)由已知可得tan A=-3,所以A=2π3. 在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos2π3, 即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去),c=4. (2)由題設(shè)可得∠CAD=π2, 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.故△ABD面積與△ACD面積的比值為12ABADsinπ612ACAD=1. 又△ABC

2、的面積為1242sin∠BAC=23, 所以△ABD的面積為3. 2.已知a,b,c分別為銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,且3a=2csin A. (1)求角C; (2)若c=7,且△ABC的面積為332,求a+b的值. 解 (1)由3a=2csin A及正弦定理得3sin A=2sin Csin A. ∵sin A≠0,∴sin C=32.∵△ABC是銳角三角形,∴C=π3. (2)∵C=π3,△ABC的面積為332, ∴12absin π3=332,即ab=6. ① ∵c=7,∴由余弦定理得a2+b2-2abcos π3=7, 即(a+b)2=3ab+7. ②

3、 將①代入②得(a+b)2=25,故a+b=5. 3.(2017河南商丘二模,理17)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b(1+cos C)=c(2-cos B). (1)求證:a,c,b成等差數(shù)列; (2)若C=π3,△ABC的面積為43,求c. (1)證明 ∵b(1+cos C)=c(2-cos B), ∴由正弦定理可得sin B+sin Bcos C=2sin C-sin Ccos B, 可得sin Bcos C+sin Ccos B+sin B=2sin C, ∴sin A+sin B=2sin C,∴a+b=2c,即a,c,b成等差數(shù)列. (2)

4、解 ∵C=π3,△ABC的面積為43=12absin C=34ab, ∴ab=16,∵由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, ∵a+b=2c,∴可得c2=4c2-316,解得c=4. 4.(2017河南六市聯(lián)考二模,理17)已知在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且asin B+bcos A=0. (1)求角A的大小; (2)若a=25,b=2,求△ABC的面積. 解 (1)在△ABC中,由正弦定理得sin Asin B+sin Bcos A=0,即sin B(sin A+cos A)=0,又角B為三角形內(nèi)角,sin

5、 B≠0,所以sin A+cos A=0,即2sinA+π4=0, 又因?yàn)锳∈(0,π),所以A=3π4. (2)在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,則20=4+c2-4c-22, 即c2+22c-16=0,解得c=-42(舍)或c=22, 又S=12bcsin A,所以S=1222222=2. 5.(2017四川成都二診,理17)如圖,在梯形ABCD中,已知∠A=π2,∠B=2π3,AB=6,在AB邊上取點(diǎn)E,使得BE=1,連接EC,ED.若∠CED=2π3,EC=7. (1)求sin∠BCE的值; (2)求CD的長(zhǎng). 解 (1)在△CBE中,由

6、正弦定理得CEsinB=BEsin∠BCE,sin∠BCE=BEsinBCE=1327=2114. (2)在△CBE中,由余弦定理得CE2=BE2+CB2-2BECBcos2π3,即7=1+CB2+CB,解得CB=2. 由余弦定理得CB2=BE2+CE2-2BECEcos∠BEC,cos∠BEC=277,sin∠BEC=217, sin∠AED=sin2π3+∠BEC=32277-12217=2114,cos∠AED=5714, 在Rt△ADE中,AE=5,AEDE=cos∠AED=5714,DE=27, 在△CED中,由余弦定理得CD2=CE2+DE2-2CEDEcos2π3=49

7、,∴CD=7. ?導(dǎo)學(xué)號(hào)16804183? 6. (2017江西宜春二模,理17)如圖,某生態(tài)園將一塊三角形地ABC的一角APQ開辟為水果園,已知角A為2π3,AB,AC的長(zhǎng)度均大于200米,現(xiàn)在邊界AP,AQ處建圍墻,在PQ處圍竹籬笆. (1)若圍墻AP,AQ總長(zhǎng)度為200米,如何可使得三角形地塊APQ面積最大? (2)已知竹籬笆長(zhǎng)為503米,AP段圍墻高1米,AQ段圍墻高2米,造價(jià)均為每平方米100元,若AP≥AQ,求圍墻總造價(jià)的取值范圍. 解 設(shè)AP=x,則AQ=200-x, ∴S△APQ=12x(200-x)sin2π3≤3420022=2 5003, 當(dāng)且僅當(dāng)x=2

8、00-x時(shí),取等號(hào),即AP=AQ=100時(shí),S△APQ有最大值為2 5003平方米. (2)由正弦定理APsin∠AQP=AQsin∠APQ=PQsin∠A,得AP=100sin∠AQP,AQ=100sin∠APQ. 故圍墻總造價(jià)y=100(AP+2AQ) =10 000(sin∠AQP+2sin∠APQ) =10 0003cos∠AQP. 因?yàn)锳P≥AQ,所以π6≤∠AQP<π3, 所以32<3cos∠AQP≤32. 所以圍墻總造價(jià)(單位:元)的取值范圍為(5 0003,15 000].?導(dǎo)學(xué)號(hào)16804184? 7.已知向量a=cosπ2+x,sinπ2+x,b=(-sin

9、 x,3sin x),f(x)=ab. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及f(x)的最大值; (2)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若fA2=1,a=23,求△ABC面積的最大值. 解 (1)易得a=(-sin x,cos x), 則f(x)=ab=sin 2x+3sin xcos x=12-12cos 2x+32sin 2x =sin2x-π6+12, ∴f(x)的最小正周期T=2π2=π, 當(dāng)2x-π6=π2+2kπ(k∈Z)時(shí),即x=π3+kπ(k∈Z),f(x)取最大值是32. (2)∵fA2=sinA-π6+12=1, ∴sinA-π6=1

10、2,∴A=π3. ∵a2=b2+c2-2bccos A,∴12=b2+c2-bc,∴b2+c2=12+bc≥2bc,∴bc≤12.(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立) ∴S=12bcsin A=34bc≤33. ∴當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)面積最大,最大值是33. ?導(dǎo)學(xué)號(hào)16804185? 8.(2017陜西咸陽(yáng)二模,理17)設(shè)函數(shù)f(x)=sin xcos x-sin2x-π4(x∈R). (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)在銳角三角形ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若fC2=0,c=2,求△ABC面積的最大值. 解 (1)函數(shù)f(x)=sin xcos x-si

11、n2x-π4(x∈R),化簡(jiǎn)可得f(x)=12sin 2x-121-cos2x-π2=sin 2x-12. 令2kπ-π2≤2x≤2kπ+π2(k∈Z),則kπ-π4≤x≤kπ+π4(k∈Z),即f(x)的遞增區(qū)間為kπ-π4,kπ+π4(k∈Z), 令2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2(k∈Z), 則kπ+π4≤x≤kπ+3π4(k∈Z). 可得f(x)的遞減區(qū)間為kπ+π4,kπ+3π4(k∈Z). (2)由fC2=0,得sin C=12. ∵△ABC是銳角三角形,∴C=π6. 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,將c=2,C=π6代入得4=a2+b2-3ab. 由基本不等式得a2+b2=4+3ab≥2ab,即ab≤4(2+3), ∴S△ABC=12absin C≤124(2+3)12=2+3, 即△ABC面積的最大值為2+3. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375