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課時規(guī)范練22　解三角形 基礎鞏固組 1.(2017安徽馬鞍山一模,文3)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=3,b=2,A=60,則c=(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.12 B.1 C.3 D.2 2.(2017江西宜春中學3月模擬,文4)在△ABC中,已知acos A=bcos B,則△ABC的形狀是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 3.(2017河北邯鄲一模,文5)已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C依次成等差數(shù)列,BC邊上的中線AD=7,AB=2,則S△ABC=(　　) A.3 B.23 C.33 D.6 4.在△ABC中,B=π4,BC邊上的高等于13BC,則sin A= (　　) A.310 B.1010 C.55 D.31010 5.(2017遼寧撫順重點校一模,文6)在△ABC中,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcos A+acos B=c2,a=b=2,則△ABC的周長為(　　) A.7.5 B.7 C.6 D.5 6.已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足(sinA-sinC)(a+c)b=sin A-sin B,則C=　　　　　. 7.(2017河南南陽一模,文15)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2ccos B=2a+b,若△ABC的面積為S=32c,則ab的最小值為　　　　　. 8.如圖所示,長為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上,另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上,石堤的傾斜角為α,則坡度值tan α=. 9.(2017北京海淀一模,文17)在△ABC中,A=2B. (1)求證:a=2bcos B; (2)若b=2,c=4,求B的值. 10.已知島A南偏西38方向,距島A 3 n mile的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向島北偏西22方向行駛,問緝私艇朝何方向以多大速度行駛,恰好用0.5 h能截住該走私船? 參考數(shù)據(jù):sin38=5314,sin22=3314 ?導學號24190901? 綜合提升組 11.(2017全國Ⅰ,文11)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,則C=(　　) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 12.(2017河南濮陽一模,文8)在△ABC中,D為BC邊上的一點,AD=BD=5,DC=4,∠BAD=∠DAC,則AC= (　　) A.9 B.8 C.7 D.6 13.如圖,為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點,從點A測得點M的仰角∠MAN=60,點C的仰角∠CAB=45以及∠MAC=75;從點C測得∠MCA=60.已知山高BC=100 m,則山高MN=　　　　　 m. ?導學號24190902? 14.(2017廣東廣州二模,文17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bcos C+bsin C=a. (1)求角B的大小; (2)若BC邊上的高等于14a,求cos A的值. ?導學號24190903? 創(chuàng)新應用組 15.(2017遼寧沈陽一模,文12)為了豎一塊廣告牌,要制造三角形支架,如圖,要求∠ACB=60,BC的長度大于1米,且AC比AB長0.5米,為了穩(wěn)固廣告牌,要求AC越短越好,則AC最短為(　　) A.1+32米 B.2米 C.(1+3)米 D.(2+3)米 16.(2017河南洛陽一模,文17)已知f(x)=3sin(π+ωx)sin32π-ωx-cos2ωx(ω>0)的最小正周期為T=π. (1)求f4π3的值. (2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若(2a-c)cos B=bcos C,求角B的大小以及f(A)的取值范圍. 答案： 1.B　由已知及余弦定理,得3=4+c2-22c12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故選B. 2.D　∵acos A=bcos B, ∴sin Acos A=sin Bcos B, ∴sin 2A=sin 2B, ∴A=B,或2A+2B=180, 即A+B=90, ∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.故選D. 3.C　∵A,B,C成等差數(shù)列,∴B=60.在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B,即7=4+BD2-2BD,∴BD=3或-1(舍去),可得BC=6, ∴S△ABC=12ABBCsin B=122632=33. 4.D　(方法一)記角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則由題意,得S△ABC=12a13a=12acsin B,即c=23a. 由正弦定理,得sin C=23sin A. ∵C=3π4-A, ∴sin C=sin3π4-A=23sin A, 即22cos A+22sin A=23sin A, 整理,得sin A=-3cos A. ∵sin2A+cos2A=1, ∴sin2A+19sin2A=1, 即sin2A=910,解得sin A=31010(排除負值).故選D. (方法二)記角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則由題意得S△ABC=12aa3=12acsin B,∴c=23a. ∴b2=a2+23a2-2a2a322=5a29,即b=5a3. 由正弦定理asinA=bsinB,得sin A=asinBb=a225a3=31010.故選D. 5.D　∵bcos A+acos B=c2,a=b=2, ∴由余弦定理可得bb2+c2-a22bc+aa2+c2-b22ac=c2,整理可得2c2=2c3, 解得c=1,則△ABC的周長為a+b+c=2+2+1=5.故選D. 6.π3　在△ABC中,∵(sinA-sinC)(a+c)b =sin A-sin B, ∴(a-c)(a+c)b=a-b, ∴a2+b2-c2=ab, ∴cos C=a2+b2-c22ab=12, ∴C=π3. 7.12　在△ABC中,由條件并結合正弦定理可得2sin Ccos B=2sin A+sin B=2sin(B+C)+sin B, 即2sin Ccos B=2sin Bcos C+2sin Ccos B+sin B,∴2sin Bcos C+sin B=0,∴cos C=-12,C=2π3. 由于△ABC的面積為S=12absin C=34ab=32c,∴c=12ab. 再由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C, 整理可得14a2b2=a2+b2+ab≥3ab, 當且僅當a=b時,取等號, ∴ab≥12,故答案為12. 8.2315　在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π. 由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos∠ACB, 即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(π-α), 解得cos α=516,則sin α=23116, 所以tan α=sinαcosα=2315. 9.(1)證明 因為A=2B,所以由正弦定理asinA=bsinB,得asin2B=bsinB,所以a=2bcos B. (2)解 由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A, 因為b=2,c=4,A=2B,所以16cos2B=4+16-16cos 2B, 所以cos2B=34, 因為A+B=2B+B<π, 所以B<π3,所以cos B=32, 所以B=π6. 10. 解 設緝私艇在C處截住走私船,D為島A正南方向上的一點,緝私艇的速度為x n mile/h,則BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依題意,∠BAC=180-38-22=120,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14. 又由正弦定理得sin∠ABC=ACsin∠BACBC=5327=5314, 所以∠ABC=38. 又∠BAD=38,所以BC∥AD. 故緝私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行駛,恰好用0.5 h截住該走私船. 11.B　由題意結合三角形的內(nèi)角和,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0, 則sin C(sin A+cos A)=0,因為sin C>0,所以sin A+cos A=0, 即tan A=-1,因為A∈(0,π),所以A=3π4.由正弦定理asinA=csinC,得2sin3π4=2sinC,即sin C=12,所以C=π6,故選B. 12.D　設∠B=θ,則∠ADC=2θ,在△ADC中,由DCsinθ=ACsin2θ, 所以AC=8cos θ, 在△ABC中,由ACsinθ=9sin2θ,可得8cosθsinθ=9sin2θ, 所以16cos2θ=9,可得cos θ=34, 所以AC=834=6.故選D. 13.150　在Rt△ABC中,∠CAB=45,BC=100 m,所以AC=1002 m. 在△AMC中,∠MAC=75,∠MCA=60,從而∠AMC=45,由正弦定理,得ACsin45=AMsin60,因此AM=1003 m. 在Rt△MNA中,AM=1003 m,∠MAN=60,由MNAM=sin 60, 得MN=100332=150(m). 14.解 (1)因為bcos C+bsin C=a,由正弦定理,得sin Bcos C+sin Bsin C=sin A. 因為A+B+C=π, 所以sin Bcos C+sin Bsin C=sin(B+C). 即sin Bcos C+sin Bsin C=sin Bcos C+cos Bsin C. 因為sin C≠0,所以sin B=cos B. 因為cos B≠0,所以tan B=1. 因為B∈(0,π),所以B=π4. (2)設BC邊上的高線為AD, 則AD=14a.因為B=π4, 則BD=AD=14a,CD=34a. 所以AC=AD2+DC2=104a,AB=24a.由余弦定理得cos A=AB2+AC2-BC22ABAC=-55. 15.D　設BC的長度為x米,AC的長度為y米,則AB的長度為(y-0.5)米, 在△ABC中,依余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos∠ACB, 即(y-0.5)2=y2+x2-2yx12, 化簡得y(x-1)=x2-14, ∵x>1,∴x-1>0,因此y=x2-14x-1,y=(x-1)+34(x-1)+2≥3+2, 當且僅當x-1=34(x-1)時,取“=”號,即x=1+32時,y有最小值2+3. 16.解 (1)f(x)=3sin(π+ωx)sin3π2-ωx-cos2ωx=3sin ωxcos ωx-cos2ωx =32sin 2ωx-12cos 2ωx-12=sin2ωx-π6-12. ∵最小正周期為T=π, ∴2π2ω=π,即ω=1. ∴f(x)=sin2x-π6-12, ∴f4π3=sin24π3-π6-12=12. (2)∵(2a-c)cos B=bcos C, ∴(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, 2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A. ∵sin A>0,∴cos B=12. ∵B∈(0,π),∴B=π3.∴A∈0,2π3,2A-π6∈-π6,7π6, ,∴sin2A-π6∈-12,1. f(A)的取值范圍是-1,12.