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7.概率與統(tǒng)計 1．隨機抽樣方法 簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的共同點是抽樣過程中每個個體被抽取的機會相等，且是不放回抽樣． [問題1]　某社區(qū)現(xiàn)有480個住戶，其中中等收入家庭200戶、低收入家庭160戶，其他為高收入家庭．在建設(shè)幸福社區(qū)的某次分層抽樣調(diào)查中，高收入家庭被抽取了6戶，則該社區(qū)本次抽取的總戶數(shù)為________． 答案　24 解析　設(shè)本次抽取的總戶數(shù)為x，由抽樣比例可知，＝，則x＝24. 2．對于統(tǒng)計圖表問題，求解時，最重要的就是認(rèn)真觀察圖表，從中提取有用信息和數(shù)據(jù)．對于頻率分布直方圖，應(yīng)注意的是圖中的每一個小矩形的面積是數(shù)據(jù)落在該區(qū)間上的頻率．莖葉圖沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，但數(shù)據(jù)很大或有多組數(shù)據(jù)時，莖葉圖就不那么直觀、清晰了． [問題2]　某中學(xué)高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，他們?nèi)〉玫某煽?滿分100分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學(xué)生的平均分是85，乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83，則x＋y的值為________. 答案　8 解析　依題意，甲班學(xué)生的平均分為 85＝，故x＝5. 乙班學(xué)生成績的中位數(shù)為83， 故其成績?yōu)?6,81,81,83,91,91,96， 所以y＝3，x＋y＝8. 3．在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數(shù)的值．平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和，眾數(shù)是最高矩形的中點的橫坐標(biāo)． [問題3]　某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，隨機調(diào)查了40個用戶，根據(jù)用戶滿意度的評分制成頻率分布直方圖(如下)，則該地區(qū)滿意度評分的平均值為________． 答案　77.5 解析　由直方圖估計評分的平均值為550.05＋650.2＋750.35＋850.25＋950.15＝77.5. 4．互斥事件的概率公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B) (1)公式適合范圍：事件A與B互斥． (2)P()＝1－P(A)． [問題4]　拋擲一枚骰子，觀察擲出的點數(shù)，設(shè)事件A為出現(xiàn)奇數(shù)點，事件B為出現(xiàn)2點，已知P(A)＝，P(B)＝，則出現(xiàn)奇數(shù)點或2點的概率之和為________． 答案　 5．古典概型 P(A)＝(其中，n為一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，m為事件A在試驗中包含的基本事件個數(shù))． [問題5]　袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球、2個白球和3個黑球．從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率為________． 答案　 解析　設(shè)袋中1個紅球用a表示，2個白球分別用b1，b2表示，3個黑球分別用c1，c2，c3表示，則從袋中任取兩球所含基本事件為(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15個． 兩球顏色為一白一黑的基本事件為(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6個． ∴其概率為＝. 6．幾何概型 一般地，在幾何區(qū)域D內(nèi)隨機地取一點，記事件“該點在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為P(A)＝.此處D的測度不為0，其中“測度”的意義依D確定，當(dāng)D分別是線段、平面圖形和立體圖形時，相應(yīng)的測度分別為長度、面積和體積等． 即P(A)＝. [問題6]　在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________． 答案　1－ 解析　記“點P到點O的距離大于1”為事件A， P(A)＝＝1－. 易錯點1　抽樣方法理解不準(zhǔn) 例1　一個總體中100個個體的編號為0,1,2,3，…，99，并依次將其分為10個小組，組號為0,1,2，…，9.要用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果第0組(號碼0～9)隨機抽取的號碼為l，那么依次錯位地抽取后面各組的號碼，即第k組中抽取的號碼的個位數(shù)為l＋k或l＋k－10(如果l＋k≥10)．若l＝6，則所抽取的第5組的號碼是________． 易錯分析　本題易錯點有兩個：一是忽視題中對組號的描述，誤以為第一個號碼6為第一組的號碼導(dǎo)致錯誤；二是忽視系統(tǒng)抽樣號碼抽樣法則的制定，誤以為組距為10，所以每組抽取號碼的個位數(shù)都為6.所以解決此類問題，一定要根據(jù)題中的條件準(zhǔn)確進行編號與抽樣． 解析　由題意，第0組抽取的號碼為6，則第一組抽取的號碼的個位數(shù)為6＋1＝7，所以選17. 因為7＋1＝8，第二組抽取號碼的個位數(shù)為8，故選28. 因為8＋1＝9，第三組抽取號碼的個位數(shù)為9，故選39. 因為9＋1＝10≥10,9＋1－10＝0，第四組抽取號碼的個位數(shù)為0，故選40. 因為0＋1＝1，第五組抽取號碼的個位數(shù)為1，故選51. 答案　51 易錯點2　誤解基本事件的等可能性 例2　若將一枚質(zhì)地均勻的骰子(一種各面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和為4的概率為________． 易錯分析　解本題時易出現(xiàn)的錯誤在于對等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，錯誤地認(rèn)為基本事件總數(shù)為11(點數(shù)和等于2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)，或者將點數(shù)和為4的事件錯誤地計算為(1,3)(2,2)兩種，從而導(dǎo)致出錯． 解析　將先后擲2次出現(xiàn)向上的點數(shù)記作點坐標(biāo)(x，y)，則共可得點坐標(biāo)的個數(shù)為66＝36，而向上點數(shù)之和為4的點坐標(biāo)有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3個，故先后擲2次，出現(xiàn)向上的點數(shù)之和為4的概率P＝＝. 答案　 易錯點3　幾何概型中“測度”確定不準(zhǔn) 例3　在等腰直角三角形ABC中，直角頂點為C. (1)在斜邊AB上任取一點M，求AM90， 解得x>8?x＝9，所以所求概率為. 6．某中學(xué)部分學(xué)生參加高中數(shù)學(xué)競賽，指導(dǎo)老師統(tǒng)計了本校所有參賽學(xué)生的成績(成績均為整數(shù)，滿分120分)，并且按[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120]繪制了如圖所示的頻數(shù)分布圖，如果不低于90分則獲獎，那么該校參賽學(xué)生的獲獎率為________． 答案　43.75% 解析　由題意知，參賽人數(shù)為4＋6＋8＋7＋5＋2＝32，獲獎人數(shù)為7＋5＋2＝14，所以該校參賽學(xué)生的獲獎率為＝43.75%. 7．一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都減去80，得一組新數(shù)據(jù)，若求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.2，方差是4.4，則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是________． 答案　81.2,4.4 解析　設(shè)這組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，都減去80后，得到新數(shù)據(jù)為，…，，則＝1.2， 所以＝＝1.2＋80＝81.2. 因為方差是刻畫數(shù)據(jù)離散程度的， 所以各數(shù)據(jù)減去(或加上)同一個數(shù)后，方差的大小不變． 8．袋中有形狀、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________． 答案　 解析　方法一　從5只球中一次隨機摸出2只球，有10種取法，摸出2只顏色不同球的情況有23＝6(種)，故其概率為＝. 方法二　從5只球中一次隨機摸出2只球，有10種取法，摸出2只顏色相同的情況有3＋1＝4(種)，故摸出2只顏色不同的球的概率為1－＝. 9．設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為________． 答案　－ 解析　由|z|≤1，可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1,0)為圓心，半徑為1的圓及其內(nèi)部，滿足y≥x的部分為如圖陰影所示，由幾何概型概率公式，可得所求概率為 P＝＝＝－. 10．在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時間沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”．根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是________．(填序號) ①甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4； ②乙地：總體均值為1，總體方差大于0； ③丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3； ④丁地：總體均值為2，總體方差為3. 答案　④ 解析　根據(jù)信息可知，連續(xù)10天內(nèi)，每天的新增疑似病例不能有超過7的數(shù)，①中，中位數(shù)為4，可能存在大于7的數(shù)；同理，在③中也有可能；②中的總體方差大于0，敘述不明確，如果數(shù)目太大，也有可能存在大于7的數(shù)；④中，根據(jù)方差公式，如果有大于7的數(shù)存在，那么方差不會為3，故填④.