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第1講　集合 1.元素與集合 (1)集合元素的性質(zhì):　　　　、　　　　、無序性. (2)集合與元素的關(guān)系:①屬于,記為　　　　;②不屬于,記為　　　　. (3)集合的表示方法:列舉法、　　　　和　　　　. (4)常見數(shù)集及記法 數(shù)集 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集 符號 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 2.集合間的基本關(guān)系 文字語言 符號語言 記法 基本 關(guān)系 子集 集合A中的　　　　都是集合B中的元素 x∈A?x∈B A?B或 　 集合A是集合B的子集,但集合B中　　有一個(gè)元素不屬于A A?B,?x0∈ B,x0?A A　 B或 B? A 相等 集合A,B的元素完全　 A?B,B?A 　 空集 　　任何元素的集合,空集是任何集合的子集 ?x,x??, ??A ? 3.集合的基本運(yùn)算 　表示 運(yùn)算 　 文字語言 符號語言 圖形語言 記法 交集 屬于A　　屬于B的元素組成的集合 {x|x∈A, 　　x∈B} 　　 并集 屬于A 屬于B的元素組成的集合 {x|x∈A, 　　x∈B} 　　 補(bǔ)集 全集U中　　屬于A的元素組成的集合 {x|x∈U, x　 　A} 　　 4.集合的運(yùn)算性質(zhì) (1)并集的性質(zhì):A∪?=A;A∪A=A;A∪B=　　　　;A∪B=　　　　?B?A. (2)交集的性質(zhì):A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A　　　　B. (3)補(bǔ)集的性質(zhì):A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=　　　　; ?U(?UA)=　　　　;?U(A∪B)=(?UA)　　　　(?UB);?U(A∩B)=　　　　∪　　　　. 常用結(jié)論 (1)非常規(guī)性表示常用數(shù)集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}為偶數(shù)集,{x|x=4n1,n∈Z}為奇數(shù)集等. (2)①一個(gè)集合的真子集必是其子集,一個(gè)集合的子集不一定是其真子集; ②任何一個(gè)集合是它本身的子集; ③對于集合A,B,C,若A?B,B?C,則A?C(真子集也滿足); ④若A?B,則有A=?和A≠?兩種可能. (3)集合子集的個(gè)數(shù):集合A中有n個(gè)元素,則集合A有2n個(gè)子集、2n-1個(gè)真子集、2n-1個(gè)非空子集、2n-2個(gè)非空真子集.集合元素個(gè)數(shù):card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在實(shí)際問題中). 題組一　常識(shí)題 1.[教材改編] 已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,則實(shí)數(shù)x的值為　　　　. 2.[教材改編] 已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},則滿足條件的集合B有　　　　個(gè). 3.[教材改編] 設(shè)全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},則(?UA)∪B=　　　　　　　. 4.[教材改編] 已知集合A={-1,1},B={a,a2+2}.若A∩B={1},則實(shí)數(shù)a的值為　　　　. 題組二　常錯(cuò)題 ◆索引:忽視集合元素的性質(zhì)致錯(cuò);對集合的表示方法理解不到位致錯(cuò);忘記空集的情況導(dǎo)致出錯(cuò);忽視集合運(yùn)算中端點(diǎn)取值致錯(cuò). 5.已知集合A={1,3,m},B={1,m},若B?A,則m=　　　　. 6.已知x∈N,y∈N,M={(x,y)|x+y≤2},N={(x,y)|x-y≥0},則M∩N中元素的個(gè)數(shù)是　　　　. 7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,則實(shí)數(shù)a的值是　　　　. 8.設(shè)集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1e} [總結(jié)反思] 對于已知集合的運(yùn)算,可根據(jù)集合的交集和并集的定義直接求解,必要時(shí)可結(jié)合數(shù)軸以及Venn圖求解. 角度2　利用集合運(yùn)算求參數(shù) 例4 (1)已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B中有三個(gè)元素,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A.[3,6) B.[1,2) C.[2,4) D.(2,4] (2)設(shè)全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},若(?UA)∩B=?,則p應(yīng)該滿足的條件是 (　　) A.p>1 B.p≥1 C.p<1 D.p≤1 [總結(jié)反思] 根據(jù)集合運(yùn)算求參數(shù),要把集合語言轉(zhuǎn)換為方程或不等式,然后解方程或不等式,再利用數(shù)形結(jié)合法求解. 角度3　集合語言的運(yùn)用 例5 (1)已知集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一個(gè)子集,當(dāng)x∈A時(shí),若有x-1?A且x+1?A,則稱x為A的一個(gè)“孤立元素”,那么S的無“孤立元素”的非空子集的個(gè)數(shù)為 (　　) A.16 B.17 C.18 D.20 (2)對于a,b∈N,規(guī)定a*b=a+b,a與b的奇偶性相同,ab,a與b的奇偶性不同,集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N*},則M中的元素個(gè)數(shù)為　　　　. [總結(jié)反思] 解決集合新定義問題的關(guān)鍵是: (1)準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化:解決新定義問題時(shí),一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義,緊扣題目所給定義,結(jié)合題目的要求進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化,切忌同已有概念或定義相混淆. (2)方法選取:對于新定義問題,可恰當(dāng)選用特例法、篩選法、一般邏輯推理等方法,并結(jié)合集合的相關(guān)性質(zhì)求解. 第1講　集合 考試說明 1.集合的含義與表示: (1)了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系; (2)能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題. 2.集合間的基本關(guān)系: (1)理解集合之間包含與相等的含義,能識(shí)別給定集合的子集; (2)在具體情境中,了解全集與空集的含義. 3.集合的基本運(yùn)算: (1)理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義,會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集與交集; (2)理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義,會(huì)求給定子集的補(bǔ)集; (3)能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合間的關(guān)系及運(yùn)算. 【課前雙基鞏固】 知識(shí)聚焦 1.(1)確定性　互異性　(2)∈　?　(3)描述法　圖示法　(4)N　N*或N+　Z　Q　R 2.任意一個(gè)元素　B?A　至少　?　相同　A=B　不含 3.且　且　A∩B　或　或　A∪B　不　?　?UA 4.(1)B∪A　A　(2)?　(3)?　A　∩　(?UA)　(?UB) 對點(diǎn)演練 1.4或1　[解析] 因?yàn)?4∈A,所以x2-5x=-4,解得x=1或x=4. 2.4　[解析] 因?yàn)?A∪B)?B,A={a,b},所以滿足條件的集合B可以是{c},{a,c},{b,c},{a,b,c},所以滿足條件的集合B有4個(gè). 3.(-∞,0)∪[1,+∞)　[解析] 因?yàn)?UA={x|x>2或x<0},B={y|1≤y≤3},所以(?UA)∪B=(-∞,0)∪[1,+∞). 4.1　[解析] 由題意可得1∈B,又a2+2≥2,故a=1,此時(shí)B={1,3},符合題意. 5.0或3　[解析] 因?yàn)锽?A,所以m=3或m=m,即m=3或m=0或m=1,根據(jù)集合元素的互異性可知,m≠1,所以m=0或3. 6.4　[解析] 依題意得M={(0,2),(0,1),(1,1),(0,0),(1,0),(2,0)},所以M∩N={(1,1),(0,0),(1,0),(2,0)},所以M∩N中有4個(gè)元素. 7.0或1或-1　[解析] 易得M={a}.∵M(jìn)∩N=N,∴N?M,∴N=?或N=M,∴a=0或a=1. 8.2≤a≤4　[解析] 由|x-a|<1得-11,a+1≤5,∴2≤a≤4. 【課堂考點(diǎn)探究】 例1　[思路點(diǎn)撥] (1)根據(jù)列舉法,確定圓及其內(nèi)部整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)因?yàn)?∈A,所以依據(jù)2a-1=9或a2=9分類求解,但要注意集合元素的互異性. (1)A　(2)-3　[解析] (1)當(dāng)x=-1時(shí),y=-1,0,1;當(dāng)x=0時(shí),y=-1,0,1;當(dāng)x=1時(shí),y=-1,0,1.所以集合A={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)},共有9個(gè)元素. (2)∵集合A,B中有唯一的公共元素9,∴9∈A. 若2a-1=9,即a=5,此時(shí)A={-4,9,25},B={9,0,-4},則集合A,B中有兩個(gè)公共元素-4,9,與已知矛盾,舍去. 若a2=9,則a=3,當(dāng)a=3時(shí),A={-4,9,5},B={-2,-2,9},B中有兩個(gè)元素均為-2,與集合中元素的互異性矛盾,應(yīng)舍去; 當(dāng)a=-3時(shí),A={-4,-7,9},B={9,-8,4},符合題意. 綜上所述,a=-3. 變式題　(1)C　(2)2　[解析] (1)當(dāng)k=0時(shí),x=-1,所以-1∈A,所以A錯(cuò)誤;令-11=3k-1,得k=-103?Z,所以-11?A,所以B錯(cuò)誤;令-34=3k-1,得k=-11,所以-34∈A,所以D錯(cuò)誤;因?yàn)閗∈Z,所以k2∈Z,則3k2-1∈A,所以C正確. (2)由題知,若3-m=2,則m=1,此時(shí)集合B不符合元素的互異性,故m≠1; 若3-m=1,則m=2,符合題意; 若3-m=3,則m=0,不符合題意.故答案為2. 例2　[思路點(diǎn)撥] (1)先求出集合M={x|x2=1}={-1,1},當(dāng)a=0和a≠0時(shí),分析集合N,再根據(jù)集合M,N的關(guān)系求a;(2)把集合對應(yīng)的函數(shù)化簡,求出集合M,N,即可得M,N的關(guān)系. (1)D　(2)A　[解析] (1)∵集合M={x|x2=1}={-1,1},N={x|ax=1},N?M, ∴當(dāng)a=0時(shí),N=?,成立; 當(dāng)a≠0時(shí),N=1a,則1a=-1或1a=1, 解得a=-1或a=1. 綜上,實(shí)數(shù)a的取值集合為{1,-1,0}.故選D. (2)集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R}={x|x=(a-2)2+1,a∈R}={x|x≥1}, N={y|y=4b2+4b+2,b∈R}={y|y=(2b+1)2+1,b∈R}={y|y≥1},∴M=N. 變式題　(1)B　(2)a<-12或a>1　[解析] (1)由題意得,集合A={(x,y)|y=x}表示直線y=x上的所有點(diǎn),集合B=(x,y)yx=1表示直線y=x上除點(diǎn)(0,0)外的所有點(diǎn),所以B?A.故選B. (2)當(dāng)N=?時(shí),由a>3a+1得a<-12,滿足M∩N=?;當(dāng)N≠?時(shí),由M∩N=?得11.所以a的取值范圍是a<-12或a>1. 例3　[思路點(diǎn)撥] (1)先求出?RA,?RB,再判斷各選項(xiàng)是否正確;(2)先求出A,B中不等式的解集,確定出集合A,B,再求出兩集合的并集即可. (1)C　(2)A　[解析] (1)∵集合A={x|x<1},B={x|ex<1}={x|x<0}, ∴?RB={x|x≥0},?RA={x|x≥1}.易知A∩B={x|x<0},故A錯(cuò)誤; A∪B={x|x<1},故B錯(cuò)誤;A∪(?RB)=R,故C正確;(?RA)∩B=?,故D錯(cuò)誤.故選C. (2)集合A={x|2x≤1}={x|x≤0},B={x|ln x<1}={x|02m}=x|x>m2,∵A∩B中有三個(gè)元素,∴1≤m2<2,解得2≤m<4,∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2,4). (2)∵全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p}, ∴?UA={x|x≤1},又(?UA)∩B=?,∴p≥1. 例5　[思路點(diǎn)撥] (1)按照S的無“孤立元素”的非空子集所含元素個(gè)數(shù)的多少分類討論,可得出結(jié)果;(2)根據(jù)定義分情況討論滿足條件的點(diǎn)(a,b)的個(gè)數(shù),從而得出M中的元素個(gè)數(shù). (1)D　(2)41　[解析] (1)根據(jù)“孤立元素”的定義知,單元素集合都含“孤立元素”.S的無“孤立元素”且含2個(gè)元素的子集為{0,1},{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},共5個(gè);S的無“孤立元素”且含3個(gè)元素的子集為{0,1,2},{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},共4個(gè);S的無“孤立元素”且含4個(gè)元素的子集為{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},共6個(gè);S的無“孤立元素”且含5個(gè)元素的子集為{0,1,2,3,4},{1,2,3,4,5},{0,1,2,4,5},{0,1,3,4,5},共4個(gè);S的無“孤立元素”且含6個(gè)元素的子集為{0,1,2,3,4,5},共1個(gè).故S的無“孤立元素”的非空子集有5+4+6+4+1=20(個(gè)). (2)由a*b=36,a,b∈N*知, 若a和b一奇一偶,則ab=36,滿足此條件的有136=312=49,故點(diǎn)(a,b)有6個(gè); 若a和b同奇同偶,則a+b=36,滿足此條件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18,共18組, 故點(diǎn)(a,b)有35個(gè). 所以M中的元素個(gè)數(shù)為41. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【備選理由】 例1考查對兩集合之間關(guān)系以及元素與集合之間關(guān)系的理解;例2考查集合的運(yùn)算及集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算;例3考查集合的運(yùn)算;例4為根據(jù)集合運(yùn)算求參數(shù)問題,重點(diǎn)關(guān)注區(qū)間端點(diǎn)的取值情況. 例1　[配合例2使用] [2018陜西黃陵中學(xué)三模] 已知集合M={x|y=(-x2+2x+3)12,x∈N},Q={z|z=x+y,x∈M,y∈M},則下列運(yùn)算正確的是 (　　) A.M∩Q=? B.M∪Q=Z C.M∪Q=Q D.M∩Q=Q [解析] C　由-x2+2x+3>0,得-10,得x<-3, 所以A∩B={x|x≥3或x≤-1}∩{x|x<-3}={x|x<-3},故選C. 例4　[配合例4使用] 已知集合A={x|y=4-x2},B={x|a≤x≤a+1},若A∪B=A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (　　) A.(-∞,-3]∪[2,+∞) B.[-1,2] C.[-2,1] D.[2,+∞) [解析] C　要使函數(shù)y=4-x2有意義,則4-x2≥0,據(jù)此可得A={x|-2≤x≤2}. 若A∪B=A,則集合B是集合A的子集,據(jù)此有a≥-2,a+1≤2,求解不等式組可得,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-2,1].