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12＋4分項練11 直線與圓
1．(2018襄陽調(diào)研)已知點P(1,2)和圓C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，過點P作圓C的切線有兩條，則k的取值范圍是( )
A．R B.
C. D.
答案 C
解析 圓C：2＋2＝1－k2，
因為過P 有兩條切線，
所以P在圓外，從而
解得－
0)，現(xiàn)給出下列四個命題：
p1：?k∈R，l與C相交；
p2：?k0∈R，l與C相切；
p3：?r>0，l與C相交；
p4：?r0>0，l與C相切．
其中真命題為( )
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
答案 A
解析 因為圓C是以(1,0)為圓心，以r為半徑的圓，
而直線l是過點(1,0)，且斜率是k的直線，
所以無論k，r取何值，都有直線過圓心，
所以有?k∈R，?r>0，都有l(wèi)與 C相交，所以真命題有p1，p3.
4．(2018西安市長安區(qū)聯(lián)考)已知直線x＋y－k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點A，B，O是坐標(biāo)原點，且有≥，那么k的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 設(shè)AB的中點為D，則OD⊥AB，
因為|＋|≥||，
所以|2|≥||，
所以，
因為2＋2＝4，
所以2≥1，
因為直線x＋y－k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點，
所以2<4，所以1≤2<4，
即1≤2<4，且k>0，
解得≤k<2.
5．(2018湖南師大附中月考)與圓x2＋(y－2)2＝2相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有( )
A．2條 B．3條
C．4條 D．6條
答案 B
解析 直線過原點時，設(shè)方程為y＝kx，利用點到直線的距離等于半徑可求得k＝1，即直線方程為y＝x；直線不過原點時，設(shè)其方程為＋＝1(a≠0)，同理可求得a＝4，直線方程為x＋y＝4，所以符合題意的直線共3條，故選B.
6．(2018湖北省荊、荊、襄、宜四地七校聯(lián)考)若圓O1：x2＋y2＝5與圓O2：2＋y2＝20相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是( )
A．3 B．4 C．2 D．8
答案 B
解析 由題意可知，O1(0,0)，O2(－m,0)，
根據(jù)圓心距大于半徑之差而小于半徑之和，
可得<|m|<3.
再根據(jù)題意可得O1A⊥AO2，
∴m2＝5＋20＝25，∴m＝5，
∴利用5＝2＝10，
解得|AB|＝4.
7．(2018河北省衡水中學(xué)模擬)若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為2，動點P與A，B的距離之比為，當(dāng)P，A，B不共線時，△PAB面積的最大值是( )
A．2 B. C. D.
答案 A
解析 以線段AB的中點O為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則A(1,0)，B，
設(shè)P(x，y)，
則＝，化簡得2＋y2＝8，
當(dāng)點P到AB(x軸)距離最大時，
△PAB的面積取得最大值，由圓的性質(zhì)可得，
△PAB面積的最大值為22＝2.
8．已知點A(2,3)，B(－3，－2)，若直線kx－y＋1－k＝0與線段AB相交，則k的取值范圍是( )
A. B.∪[2，＋∞)
C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．[1,2]
答案 B
解析 直線kx－y＋1－k＝0恒過點P(1,1)，
kPA＝＝2，kPB＝＝，若直線kx－y＋1－k＝0與線段AB相交，結(jié)合圖象(圖略)得k≤或k≥2，故選B.
9．已知點Q，P是圓C：(x－a)2＋2＝4上任意一點，若線段PQ的中點M的軌跡方程為x2＋2＝1，則m的值為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 設(shè)P(x，y)，PQ的中點為M，
則由中點坐標(biāo)公式得
因為點M在圓x2＋2＝1上，
所以2＋2＝1，
即(x－1)2＋2＝4.
將此方程與方程(x－a)2＋2＝4
比較可得
解得m＝4.
10．(2018四川省綿陽市南山中學(xué)模擬)若圓x2＋y2＋4x－4y－10＝0上至少有三個不同的點到直線l：ax＋by＝0的距離為2，則直線l的斜率的取值范圍是( )
A．[2－，2＋] B．[－2－，－2]
C．[－2－，2＋] D．[－2－，2－]
答案 B
解析 圓x2＋y2＋4x－4y－10＝0可化為(x＋2)2＋2＝18，則圓心為(－2,2)，半徑為3，
則由圓x2＋y2＋4x－4y－10＝0上至少有三個不同的點到直線l：ax＋by＝0的距離為2可得，
圓心到直線l：ax＋by＝0的距離d≤3－2＝，
即≤，
則a2＋b2－4ab≤0，若b＝0，則a＝0，故不成立，
故b≠0，則上式可化為
1＋2－4≤0.
由直線l的斜率k＝－，
可知上式可化為k2＋4k＋1≤0，
解得－2－≤k≤－2＋.
11．(2018甘肅省西北師范大學(xué)附屬中學(xué)診斷)若直線l：ax＋by＋1＝0始終平分圓M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周長，則(a－2)2＋(b－2)2的最小值為( )
A. B．5 C．2 D．10
答案 B
解析 由直線ax＋by＋1＝0始終平分圓M的周長，
可知直線必過圓M的圓心，
由圓的方程可得圓M的圓心坐標(biāo)為(－2，－1)，
代入直線方程ax＋by＋1＝0可得2a＋b－1＝0，
又由(a－2)2＋(b－2)2表示點(2,2)與直線2a＋b－1＝0上的任一點的距離的平方，
由點到直線的距離公式得d＝＝，
所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值為d2＝2＝5.
12．(2017全國Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為( )
A．3 B．2 C. D．2
答案 A
解析 以A為坐標(biāo)原點，分別以AD，AB所在直線為x軸，y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則C點坐標(biāo)為(2,1)．
設(shè)BD與圓C切于點E，連接CE，則CE⊥BD.
∵CD＝1，BC＝2，
∴BD＝＝，
EC＝＝＝，
即圓C的半徑為，
∴P點的軌跡方程為(x－2)2＋(y－1)2＝.
設(shè)P(x0，y0)，則(θ為參數(shù))，
而＝(x0，y0)，＝(0,1)，＝(2,0)．
∵＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，
∴μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y(tǒng)0＝1＋sin θ.
兩式相加，得
λ＋μ＝1＋sin θ＋1＋cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，
當(dāng)且僅當(dāng)θ＝＋2kπ－φ，k∈Z時，λ＋μ取得最大值3.
故選A.
13．設(shè)直線l1：(a＋1)x＋3y＋2－a＝0，直線l2：2x＋(a＋2)y＋1＝0.若l1⊥l2，則實數(shù)a的值為________，若l1∥l2，則實數(shù)a的值為________．
答案?。。?
解析 若l1⊥l2，則2(a＋1)＋3＝0，
整理可得5a＋8＝0，
求解關(guān)于實數(shù)a的方程可得a＝－.
若l1∥l2，則＝≠，
據(jù)此可得a＝－4.
14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P是直線3x＋4y＋3＝0上的動點，過點P作圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，切點分別是A，B，則|AB|的取值范圍為__________．
答案 [，2)
解析 由題意知，圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑為1，要使AB的長度最小，則∠ACB最小，即∠PCB最小，即PC最小，由點到直線的距離公式可得點C到直線3x＋4y＋3＝0的距離d＝＝2，則∠PCB＝60，∠ACB＝120，即|AB|＝，當(dāng)P在直線3x＋4y＋3＝0上無限遠時，∠ACB趨近180，此時|AB|趨近直徑2.
故|AB|的取值范圍為[，2)．
15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓M：x2＋y2－6x－4y＋8＝0與x軸的兩個交點分別為A，B，其中A在B的右側(cè)，以AB為直徑的圓記為圓N，過點A作直線l與圓M，圓N分別交于C，D兩點．若D為線段AC的中點，則直線l的方程為________．
答案 x＋2y－4＝0
解析 由題意得圓M的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝5，
令y＝0，得x＝2或x＝4，所以A(4,0)，B(2,0)．
則圓N的方程為(x－3)2＋y2＝1，
由題意得直線l的斜率存在，所以設(shè)直線l：y＝k(x－4)．
聯(lián)立直線l的方程和圓M的方程消去y，
得(1＋k2)x2－(8k2＋4k＋6)x＋16k2＋16k＋8＝0，
所以4＋xC＝，①
聯(lián)立
得(1＋k2)x2－(8k2＋6)x＋16k2＋8＝0，
所以4＋xD＝，②
依題意得xC＋4＝2xD，③
解①②③得k＝－.
所以直線l的方程為x＋2y－4＝0.
16．已知圓C1：(x－2cos θ)2＋(y－2sin θ)2＝1與圓C2：x2＋y2＝1，下列說法中：
①對于任意的θ，圓C1與圓C2始終外切；
②對于任意的θ，圓C1與圓C2始終有四條公切線；
③當(dāng)θ＝時，圓C1被直線l：x－y－1＝0截得的弦長為；
④若點P，Q分別為圓C1與圓C2上的動點，則|PQ|的最大值為4.
正確命題的序號為________．
答案?、佗邰?
解析 對于①，我們知道兩個圓外切等價于兩個圓的圓心距剛好等于兩個圓的半徑之和，
由題意，得圓C1的半徑為1，圓心坐標(biāo)為(2cos θ，2sin θ)，圓C2的半徑為1，圓心坐標(biāo)為(0,0)，
所以兩個圓的圓心距為＝＝2.
又因為兩圓的半徑之和為1＋1＝2，
所以對于任意θ，圓C1和圓C2始終外切，所以①正確；
對于②，由①得，兩圓外切，所以兩圓只有三條公切線，所以②錯誤；
對于③，此時圓C1的方程為：(x－)2＋(y－1)2＝1，
故圓C1的圓心坐標(biāo)為(，1)，
所以圓心到直線l的距離為＝.
又因為圓C1的半徑為1，
所以其所截的弦長為2 ＝，所以③正確；
對于④，由①得，兩圓外切，所以兩圓上的點的最大距離就是兩圓的直徑之和，
因為C1的直徑為2，C2的直徑也為2，
故|PQ|的最大值為2＋2＝4.所以④正確．
故正確命題的序號為①③④.
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