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第73練 拋物線 [基礎保分練] 1.拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是(　　) A.B.C.D.0 2.若拋物線y＝ax2的焦點坐標是(0,1)，則a等于(　　) A.1B.C.2D. 3.已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線經過點(－1,1)，則該拋物線焦點的坐標為(　　) A.(－1,0) B.(1,0) C.(0，－1) D.(0,1) 4.已知點F是拋物線y2＝4x的焦點，M，N是該拋物線上兩點，|MF|＋|NF|＝6，則MN中點的橫坐標為(　　) A.B.2C.D.3 5.已知M是拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點，F是拋物線C的焦點，若|MF|＝p，K是拋物線C的準線與x軸的交點，則∠MKF等于(　　) A.45B.30C.15D.60 6.(2019嘉興模擬)已知拋物線C的頂點為坐標原點，對稱軸為坐標軸，直線l過拋物線C的焦點F，且與拋物線的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，且|AB|＝8，M為拋物線C準線上一點，則△ABM的面積為(　　) A.16B.18C.24D.32 7.(2019杭州模擬)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準線l與x軸的交點為K，P是拋物線上一點，若|PF|＝5，則△PKF的面積為(　　) A.4B.5C.8D.10 8.以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點.已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準線的距離為(　　) A.2B.4C.6D.8 9.已知拋物線y2＝4x，過焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，過A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為C，D，則|AC|＋|BD|的最小值為________. 10.(2019湖州模擬)已知拋物線C：x2＝2y，F是其焦點，AB是拋物線C上的一條弦.若點A的坐標為(－2,2)，點B在第一象限上，且|BF|＝2|AF|，則直線AB的斜率為______，△ABF的外接圓的標準方程為________________________________. [能力提升練] 1.已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2＝x1＋x3，則有(　　) A.|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B.|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C.|FP1|＋|FP3|＝2|FP2| D.|FP1||FP3|＝|FP2|2 2.已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　) A.2B.3C.D. 3.(2019嘉興模擬)已知點A(0,2)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準線相交于點N，若＝，則p的值等于(　　) A.B.2C.4D.8 4.(2019杭州模擬)如圖，已知直線l：y＝k(x＋1)(k>0)與拋物線C：y2＝4x相交于A，B兩點，且A，B兩點在拋物線準線上的投影分別是M，N，若|AM|＝2|BN|，則k的值是(　　) A. B. C. D.2 5.已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A，B兩點.若該拋物線上存在點C，使得∠ACB為直角，則實數a的取值范圍為________. 6.在平面直角坐標系xOy中，雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右支與焦點為F的拋物線x2＝2py(p＞0)交于A，B兩點，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________. 答案精析 基礎保分練 1．B　2.D　3.B　4.B　5.A　6.A　7.A　8．B　9.2 10.　2＋2＝ 解析　因為|BF|＝2|AF|， 所以yB＋＝2 ＝2，解得yB＝， 代入拋物線的方程得點B的坐標為， 則直線AB的斜率kAB＝＝， 直線AF的斜率kAF＝＝－， 直線BF的斜率kBF＝＝， 則kAFkBF＝－1，直線AF與直線BF相互垂直，則△ABF為直角三角形， 則△ABF的外接圓的圓心為，即， 半徑為＝， 所以外接圓的標準方程為2＋2＝. 能力提升練 1．C　2.A 3．B　[過點M作拋物線的準線的垂線，垂足為點M′(圖略)，則易得|MM′|＝|MF|， 所以cos∠NMM′＝＝＝， 則kAM＝－tan∠NMM′ ＝－＝－2， 則直線AM的方程為y－2＝－2x， 令y＝0得拋物線的焦點坐標F(1,0)， 則p＝21＝2，故選B.] 4．C　[聯立直線與拋物線的方程消去y整理得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由Δ＝(2k2－4)2－4k2k2>0得，16－16k2>0，k2<1，則xA＋xB＝，xAxB＝1，又因為|AM|＝2|BN|，即xA＋1＝2(xB＋1)，解得則xA＋xB＝＝，解得k＝(舍負)，故選C.] 5．[1，＋∞) 解析　如圖， 設C(x0，x)(x≠a)，A(－，a)， B(，a)， 則＝(－－x0，a－x)，＝(－x0，a－x)． ∵CA⊥CB，∴＝0， 即－(a－x)＋(a－x)2＝0， (a－x)(－1＋a－x)＝0. ∴x＝a－1≥0，∴a≥1. 6．y＝x 解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， ∴y1＋y2＝. 又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|， ∴y1＋＋y2＋＝4，即y1＋y2＝p， ∴＝p，即＝，∴＝， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝x.